广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训三角函数含解析

PAGE三角函数一、选择题1．已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则θ是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[由sin(θ＋π)＜0，得－sinθ＜0，即sinθ＞0.由cos(θ－π)＞0，得－cosθ＞0，即cosθ＜0.∴θ是其次象限角．]2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)D[由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).故选D．]3．化简eq\r(1－sin2160°)的结果是()A．cos160° B．±|cos160°|C．±cos160° D．－cos160°D[eq\r(1－sin2160°)＝eq\r(cos2160°)＝|cos160°|＝－cos160°.]4．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，则sinαcosα等于()A．eq\f(\r(7),4) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(9,32) D．eq\f(9,32)C[因为sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，平方可得1－2sinα·cosα＝eq\f(25,16)，所以2sinαcosα＝－eq\f(9,16)，即sinαcosα＝－eq\f(9,32).]5．若tanα＝2，则eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值为()A．0 B．eq\f(3,4)C．1 D．eq\f(5,4)B[利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα(cosα≠0)得，原式＝eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝eq\f(\f(2sinα－cosα,cosα),\f(sinα＋2cosα,cosα))＝eq\f(2tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3,4).]6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，则tanφ等于()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)C[由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，得sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴tanφ＝－eq\r(3).]7．下列函数中，周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))A[因为函数周期为π，所以解除C，D．又因为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为增函数，故B不符合．故选A．]8．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上全部的点向左平移eq\f(π,2)个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不行能等于()A．4 B．6C．8 D．12B[对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)，图象向左平移eq\f(π,2)个单位得：y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋φ))＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)图象．]9．函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的一个单调递增区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))D[由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z.当k＝0时，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8))).]10．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))等于()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)D[由已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，得cosα＝eq\f(3,5).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(4,5).所以sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).]11．点P从(1,0)点动身，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f(π,3)弧长到达Q点，则Q点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))A[设∠POQ＝θ，则θ＝eq\f(π,3).又设Q(x，y)，则x＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，y＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).]12．已知a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))，b＝coseq\f(23π,4)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,4)π))，则a，b，c的大小关系是()A．b>a>c B．a>b>cC．b>c>a D．a>c>bA[a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,6)))＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，b＝coseq\f(23,4)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,4)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8π－\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以b>a>c.故选A．]13．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于()A．eq\f(π,3) B．1C．eq\f(2π,3) D．3B[因为弧长l＝3r－2r＝r，所以圆心角α＝eq\f(l,r)＝1.]14．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝eq\f(5π,3)对称，则实数a的值为()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)B[由x＝eq\f(5π,3)是f(x)图象的一条对称轴，可得f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)))，解得a＝－eq\f(\r(3),3).]15．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))图象上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，t))向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,6)B．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,6)C．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,3)D．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,3)A[将x＝eq\f(π,4)代入得，t＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))图象上的点P向左平移s个单位，得到P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－s，\f(1,2)))，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2s))＝cos2s＝eq\f(1,2)，则2s＝±eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得s＝±eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z，由s>0得：当k＝0时，s的最小值为eq\f(π,6).]二、填空题16．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝.－eq\f(1,3)[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝－eq\f(1,3).]17．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))取最大值时自变量的取值集合是．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5π,3)＋4kπ，k∈Z))))[当eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq\f(5π,3)＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值．]18．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝.eq\f(9π,10)[由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(3π,4)))＝eq\f(5π,2)，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,2)，∴ω＝eq\f(4,5).∵当x＝eq\f(3π,4)时，y有最小值－1，∴eq\f(4,5)×eq\f(3π,4)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)．∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9π,10).]19．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对随意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对随意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是(填序号)．①④[φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数．φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cosx是偶函数．]三、解答题20．已知cosα＝eq\f(1,3)，0＜α＜π.(1)求sinα，tanα的值；(2)设f(x)＝eq\f(cosπ＋xsin2π－x,cosπ－x)，求f(α)的值．[解](1)∵cosα＝eq\f(1,3)，0＜α＜π，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)