3.1.1椭圆及其标准方程（知识解题达标测试）（原卷版）

3.1.1椭圆及其标准方程

【考点1：椭圆的定义】【考点2：利用椭圆的定义求方程】【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】【考点4：含有参数的椭圆方程】

【考点5：共焦点的椭圆方程】【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】知识点1椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．知识点2椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2知识点3椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.（3）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．【考点1：椭圆的定义】【典例1】点P是椭圆x22+y2A．2 B．2 C．22 【变式11】已知P是椭圆E：x216+y29=1上一点，F1，A．8 B．6 C．4 D．3【变式12】已知F1,F2分别是椭圆M:x216+y25A．2 B．3 C．5 D．6【变式13】设P是椭圆x24+y2【考点2：利用椭圆的定义求方程】【典例2】椭圆的两个焦点是−4,0和4,0，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（

）A．x25+C．x225+【变式21】已知平面内一动点P到两定点F1−2，0，F2A．x216+y24=1 B．【变式22】方程(x−4)2+yA．x23+y25=1 B．【变式23】平面内点P到F1−3,0、F23,0的距离之和是10，则动点A．x225+C．y225+【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点的坐标分别是−4,0，4,0，并且经过点52(2)经过两点2,−2，−1,【变式31】若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（

）A．x216+y28=1 B．【变式312】已知椭圆的焦点在x轴上，a=2，c=1，则其标准方程为（

）A．x24+C．x22+【变式33】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点1,32,0,−3A．x24+yC．x24−y【考点4：含有参数的椭圆方程】【典例4】已知方程x2k+5+y23−k=1A．(−5,3) B．(−5,−1) C．(−1,3) D．(3,+【变式41】已知方程mx2+2m−1y2=1A．0,12 B．12,1 C．【变式42】已知方程x2m+1+y2A．−1,7 B．−1,3 C．3,7 D．−1,3【变式43】若方程x26−m+y2

【考点5：共焦点的椭圆方程】【典例5】过点(3,−2)且与x29+A．x215+C．x210+【变式51】过点(－3，2)且与x29+A．x215+C．x29+【变式52】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)经过点P(−23，0)，(2)与椭圆x24＋y2【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】

【典例6】设F1，F2分别为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，过F1且不与坐标轴重合的直线l椭圆A．4 B．8 C．16 D．32【变式61】已知椭圆x23+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若过A．2 B．23 C．4 D．【变式62】已知椭圆E：x24+y23=1，点A，B在椭圆上且在x轴异侧，FA．8 B．4 C．3 D．4+2【变式63】已知F1是椭圆C:x22+y2=1的左焦点，直线x=1与C交于A．2 B．3 C．22 D．【典例7】已知F1，F2为椭圆x216+y212=1A．152 B．6 C．8 D．【变式71】椭圆x225+y216=1与y轴的交点为P，两个焦点为FA．6 B．8 C．10 D．12【变式72】已知F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，点P在椭圆上，PF【变式73】该椭圆C:x236+y29=1的左右焦点为F1,F21．椭圆x25+A．±6,0 B．±2,0 C．0,±62．已知椭圆C：x28+y2k=1A．4 B．8 C．10 D．123．已知椭圆x29+y24=1A．6 B．3 C．4 D．24．已知方程x2k−4+y2A．4,6 B．6,8 C．4,8 D．4,65．椭圆x23+6．设P为曲线C：x=4−4y2上一点，A−3,0，B7．已知F1,F2分别为椭圆x218+y28．已知M,N分别为椭圆E:x2a2+