四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，则1+i2+21−i的值为A.4 B.2 C.0 D.4i2.已知集合A=x−1≤x≤2，B=x−a≤x≤a+1，则“a=1”是“A⊆BA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.若双曲线E：x2a2−y2b2A.22 B.2 C.34.如图，在▵ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且BD=DA，AE=3EC，点F为DE中点，则BF=A.−18BA+38BC B.5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg)，将全部数据按区间[50,60),[60,70)，…，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是(

)A.图中a的值为0.005

B.这200天中有140天的日销售量不低于80kg

C.这200天销售量的中位数的估计值为85kg

D.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求)，则每天的苹果进货量应为91kg6.函数fx=14cosπx⋅A.

B.

C. D.7.已知正四棱锥P−ABCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36π，若正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为(

)A.16 B.8 C.4 D.28.已知a,b,c∈0,4，且满足a+12=cos2aA.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=sinωx+3cosωx(ω>0)

A.fx的最大值为2

B.fx在−π3,π6上单调递增

C.fx的图象关于点−π10.已知椭圆E:x24+y23=1的左顶点为A，左、右焦点分别为FA.F1F2=1

B.PQ≤4

C.当F2,P,Q不共线时，▵F2PQ的周长为811.已知函数fx=x−1eA.fx的极小值一定小于−1

B.函数y=ffx有6个互不相同的零点

C.若对于任意的x∈R，fx≥ax−1，则a的值为−1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P1,2，则cos2α=

．13.已知数列an满足a3=5，a2n=2an+1，2an+1=an14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=ni=1xi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi,Y=y)P(T=y)，其中x1,x2,⋅⋅⋅,xn为X的所有可能取值集合，PX=x,Y=y表示事件“X=x”与事件“四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin(1)求角A；(2)若∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD=4，b=5，求▵ABC的面积．16.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC．(1)求证；平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=5，BC=12，三棱锥P−ABC的体积为100，求二面角A−PB−C的余弦值．17.(本小题12分)已知函数fx(1)若fx在0,+∞上单调递减，求a(2)若a<0，证明：fx>018.(本小题12分)甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，未投进记−1(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率；(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为X．①求X的分布列和数学期望；②若X>0，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续nn≥8轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为Y，当n为何值时，PY=819.(本小题12分)已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B，▵AOB面积的最小值为12(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fnn∈N∗：F1的坐标为p,0，直线AFn，BFn与C的另一个交点分别为(1)求p的值；(2)求数列xn(3)数列xn中，是否存在连续三项(按原顺序)构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由．

参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.−313.n214.2

15.【小问1详解】因为sin所以a2=b所以cosA=−因为A∈0,π，所以A=【小问2详解】根据题意及余弦定理有AD所以cosC=则sinC=根据正弦定理有ACsin所以S▵ABC

16.【小问1详解】证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC⊥BC，PA,AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC．【小问2详解】因为AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以S▵ABC又因为三棱锥P−ABC的

体积为100，即100=13×PA×30由题意可得以A为

原点，分别以平行于BC，及AC，AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则A0,0,0，B12,5,0C所以AP=0,0,10，CB=设平面APB的一个法向量为n=则n⋅PB=12x+5y−10z=0n⋅AP=10z=0设平面PBC的一个法向量为m=则m⋅PB=12a+5b−10c=0m⋅CB=12a=0设二面角A−PB−C为θ，则cosθ=所以锐二面角A−PB−C的余弦值为24

17.【小问1详解】由fx=xln因为fx在0,+∞上单调递减，所以f′x=所以lnx+1−2ax≤0，即a≥构造函数gx=ln当x∈0,1时，g′x>0；当x∈所以gx在区间0,1上单调递增，在区间1,+∞所以当x=1时fx取得极大值也是最大值，即gxmax所以a的取值范围为12【小问2详解】由题意得fx=xln当a<0时，要证fx>0，即证：x构造函数ℎx=ln所以ℎ′x=1因为函数Tx的对称轴为x=12a<0，所以且T0=−1<0，T1=−a>0，所以存在所以当x∈0,x0时，T当x∈x0,+∞时，T所以ℎx在0,x0所以当x=x0时，ℎx又因为−ax02+x令px=lnx+2所以px在0,1上单调递减，所以px>p所以即证ℎxmin>0

18.【小问1详解】甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(2【小问2详解】①由题知X可能取值为−4,−2,0,2,4，P(X=−4)=13×P(X=0)=1P(X=2)=23×所以X的分布列为X−4−2024P111311数学期望E(X)=(−4)×1②由①知P(X>0)=13+19由P(n=k)≥P(n=k−1)得到Cnk(整理得到4Cn得到4×(n−k+1)≥5k5×(k+1)≥4(n−k)，所以4n−5由题有k=8，所以4n−59≤8≤4n+49，得到17≤n≤774，又n∈N

19.【小问1详解】设直线AB:x=ty+p2联立y2=2pxx=ty+得Δ=由韦达定理可知：y由题可知：S因为面积的最小值为12，且p>0所以p【小问2详解】设Anx由题可知yan2=