2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省名校联考联合体高三（上）第一次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−6,−4,3,6}，B={x|3−x<x}，则A∩B=(

)A.{3,6} B.{−4,3} C.{−6} D.{6}2.已知复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，则|z2|=A.2 B.3 C.4 D.53.已知等差数列{an}中，a2=3，前5项和S5A.−2 B.−52 C.−1 4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为(

)A.1176π平方英寸 B.294π平方英寸 C.245π平方英寸 D.196π平方英寸5.已知向量a=(1,2),b=(−1,1)，若c=(x,y)满足(cA.−3 B.2 C.−5 D.46.已知函数f(x)=3x2−2lnx+(a−1)x+3在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围是A.a>−3 B.−493<a<−10 C.−7.已知F1为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，A.3 B.2 C.5 D.8.若α,β,γ∈(2π,5π2)，且sinα−2cosβ+γ2A.±12 B.12 C.±二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分。9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，如表为2014年—2023年中国茶叶产量(单位：万吨)，根据该表，则(

)年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年−2023年中国茶叶产量的极差是150.1

C.2014年−2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7

D.2019年−2023年中国茶叶产量的平均数大于31010.已知n>m2，且x=|log2A.若x=y，则n>12B.若x=y，则m+n的最大值为2

C.若x=y=z，则m4+2m11.已知首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1−4Sn+1SA.{Sn}为等比数列B.an=9n−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−y)7的展开式中x13.设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|=______．14.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=CA=2，PA=PB，二面角P−AB−C的大小为π3，则PA2+PB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6．

(1)求cosA；

(2)若点D为AB的中点，且CD=10，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35(1)请将上述列联表补充完整；

(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

(3)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

附：χ2=P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22，且C的离心率为22．

(1)求C的标准方程；

(2)若A(−3,0)，直线l：x=ty+1(t>0)18.(本小题17分)

已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1底面ABCD为边长为3的正方形，AA1=6，点E，F，G分别在线段A1D1，AA1，B1C1上，且A119.(本小题17分)

若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，则称f(x)是类周期为T的“类周期函数”．

(1)若函数f(x)是类周期为1的“类周期函数”，证明：f(x)是周期函数；

(2)已知f(x)=2x−sinωx(ω>0)是“类周期函数”，求ω的值及f(x)的类周期；

(3)若奇函数f(x)是类周期为T(T>0)的“类周期函数”，且f(3T)f(T)=1，求T的值，并给出符合条件的一个f(x)．

参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.21

13.14

14.315.解：(1)因为(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6，

设a+b=5t(t>0)，则b+c=7t，c+a=6t，联立解得a=2t，b=3t，c=4t，

所以由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=9t2+16t2−4t224t2=78；

(2)在△ACD中，cosA=78，CD=10，16.解：(1)在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35，

则喜欢游泳的学生人数为100×35=60

喜欢游泳

不喜欢游泳

合计

男生

25

25

50

女生

35

15

50

合计

60

40100(2)∵χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×15−35×25)260×40×50×50≈4.1667<10.828，

∴依据小概率值α=0.001的独立性检验，不能认为喜欢游泳与性别有关联．

(3)由题意可得，X～B(3,35)，X所有可能取值为0，1，2，3，

X

0

1

2

3

P

8

36

5427故E(X)=3×3517.解：(1)由题意得：2c=22,e=ca=22，即c=2,a=2，则b2=a2−c2=2，

所以C的标准方程为：x24+y22=1．

(2)由题意设E(x1,y1)，F(x2,y2)18.解：(1)如图，以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系：

依题意可得，A1(3,0,6)，B1(3,3,6)，F(3,0,4)，E(2,0,6)，G(32,3,6)，

设H(3,3,a)，则EF=(1,0,−2)，GH=(32,0,a−6)，

∵EF/​/GH，∴EF//GH，∴321=a−6−2，解得a=3，即H(3,3,3)，

易知平面A1B1HF的一个法向量n1=(1,0,0)，且FH=(0,3,−1)，

设平面EFHG的一个法向量n2=(a,b,c)，

由n2⋅FH=0n2⋅EF=0，可得3b−c=0a−2c=0，取n2=(6,1,3)，

∴锐二面角A119.解：(1)证明：因为f(x)是类周期为1的“类周期函数”，

所以f(x−1)+f(x+1)=f(x)，①

用x+1代换x得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，②

①+②得f(x+2)=−f(x−1)，所以f(x+3)=−f(x)，

所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数．

(2)因为f(x)是“类周期函数”，

所以存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，

即2(x−T)−sin(ωx−ωT)+2(x+T)−sin(ωx+ωT)=2Tx−Tsinωx，

整理得4x−2sinωxcosωT=2Tx−Tsinωx，

所以4=2T,2cosωT=T，所以T=2，cos2ω=1，

所以ω=kπ(k∈N∗)，f(x)的类周期为2．

(3)因为奇