2024-2025学年广西名校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西名校高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={1,2a+1}，B={3,a−1,3a−2}，若A⊆B，则a=(

)A.−2 B.−1 C.1 D.32.若复数z是方程x2−4x+5=0的一个根，则|z|=(

)A.3 B.3 C.5 D.3.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠A=45°，DE=2EC，则A.1 B.32 C.2 D.4.已知sin(π4+α)=3sin(πA.−45 B.−35 C.5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2+aA.634 B.63 C.312 6.已知a=e4+1e，b=log32，c=log5A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a7.已知点P在抛物线M：y2=4x上，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，若切线长为2A.5 B.29 C.6 D.8.根据公式sin3α=3sinα−4sin3α，sin10°的值所在的区间是A.(17,16) B.(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：月份t12345销量y(万辆)11.712.413.813.214.6根据上表的数据，下列说法正确的是(

)A.销量的极差为3.6 B.销量的平均数为13.5

C.销量的第40百分位数为13.8 D.销量的中位数为13.210.已知函数f(x)=cos(ωx−π6A.当ω=2时，−π是f(x)的一个周期

B.将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则ω的最小值为2

C.若存在x1,x2∈[−π6,π6ω](x1≠11.已知双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2且倾斜角为α的直线l与双曲线的右支交于A、A.双曲线C的虚轴长为3

B.π3<α<2π3

C.△ABF1的周长的最小值为16

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sin2x+3x+1，且f(a)=4，则f(−a)=______．13.将一个底面半径为2，高为3的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为______．14.已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知4S=3(b2−a2−c2)．

(1)求∠B的大小；

(2)16.(本小题15分)

某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的次品率均为18.组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品．

(1)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，求X的分布列和期望；

(2)设A=“任取一件产品为次品”，B=“该产品仅有一个电子元件是次品”，求P(B|A)；

(3)安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场.现有两种方案，

方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；

方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作.更换电子元件的费用为15元/个．

已知每位质检员的月工资为3000元，该企业每月生产该产品80017.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PBD⊥底面ABCD，PB=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形．

(1)求证：PA=PC；

(2)E是棱PA上一点，若AC与平面BDE所成角为60°，求四棱锥E−ABCD的体积．18.(本小题17分)

椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，过点P(a,b)的直线l与椭圆E交于M，N两点.当直线l过坐标原点O时，|MN|=25．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax−1(a∈R)，且x轴是曲线y=f(x)的切线，

(1)求f(x)的最小值；

(2)证明：1n+1+1n+2+…+12n<ln2(n∈N∗)；参考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9.AB

10.ABC

11.BCD

12.−2

13.12π

14.177015.解：(1)由4S=3(b2−a2−c2)，

可得4×12acsinB=3(b2−a2−c2)，

由余弦定理，可得sinB=−3cosB，

即tanB=−3，又B∈(0,π)，

所以B=2π3；

(2)因为AB⊥BE16.解：(1)根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，

易知P(X=0)=(1−18)3=343512，P(X=1)=C31X0123P343147211可得期望值为E(X)=0×343512+1×147512+2×21512+3×1512=192512=38；

(2)由(1)可知P(A)=1−343512=169512，P(AB)=147512，

则P(B|A)=P(AB)P(A)=147512169512=147169；17.(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接OP，

因为底面ABCD是边长为2的正方形，

所以AC⊥BD，且点O既是AC的中点，也是BD的中点，

又平面PBD⊥底面ABCD，平面PBD∩底面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥平面PBD，

因为OP⊂平面PBD，所以AC⊥OP，

又点O是AC的中点，

所以PA=PC．

(2)解：因为PB=PD，O是BD的中点，所以BD⊥OP，

结合(1)可得，OA，OB，OP两两垂直，

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，C(−1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,3)，

所以CA=(2,0,0)，DB=(0,2,0)，PA=(1,0,−3)，

设PE=λPA=(λ,0,−3λ)，λ∈[0,1]，

则DE=DP+PE=(0,1,3)+(λ,0,−3λ)=(λ,1,3−3λ)，

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DB=2y=0n⋅18.解：(1)由题意得e=ca=1−b2a2=223，所以ba=13，

当过点P(a,b)的直线l过坐标原点O时，直线斜率为ba=13，

则此时直线l的方程为y=13x，设直线l与椭圆E交点M(x0,y0)，

不妨取x0>0，则N(−x0,−y0)，且y0=13x0①，

因为|MN|=25，所以x02+y02=5②，

由①②可得x0=322，y0=22，M(322,22)，

所以92a2+12b2=1ba=13，解得a=3b=119.(1)解：由f(x)=lnx+ax−1(a∈R)得f′(x)=1x−ax2，

因切线方程为y=0，令f′(x)=1x−ax2=0，得x=a，故可知切点为(a,0)，

所以f(a)=lna+aa−1=0，得a=1，

故f(x)=lnx+1x−1，f′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,1)上单调递减，

当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，

故f(x)的最小值为f(1)=0．

(2)证明：由(1)可知f(x)=lnx+1x−1