广西陆川县中学高三下学期3月月考数学（理）试题

广西陆川县中学2018年春季期高三3月月考理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集,函数的定义域为,,则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,所以,选D.2.已知集合A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，，所以，选D.3.函数是A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数【答案】A【解析】因为所以函数是周期为的奇函数，选A.4.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得所以选B.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意知，试验发生包含事件是从数字中任取两个不同的数字，构成一个两位数，共种结果，满足条件的时间可以列举出：，共有个，根据古典概型的概率公式，得到，故选D．6.设，则a，b，c的大小关系是A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c【答案】D【解析】试题分析：因为，所以选D.考点：比较大小【名师点睛】比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解.7.“m＜0”是“函数存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：“函数不存在零点”即，故是充分不必要条件.考点：充要条件．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个圆锥，且挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积，故选A.9.已知A，B是圆上的两个动点，，若M是线段AB的中点，则的值为A.B.C.2D.3【答案】D【解析】是线段的中点，所以，所以.由圆的方程可知圆的半径为2，又因为，所以，所以，，所以10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=A.26B.44C.68D.100【答案】B【解析】执行循环得：结束循环，输出选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】渐近线方程与直线，联立可得的坐标为，由，可得的坐标为，将点坐标代入双曲线方程，可得，化为，，即双曲线的离心率为,故选B.12.设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】的零点是方程即的解，的零点是是方程，即的解，即是与与交点的横坐标，可得，的图象与关于对称，的图象也关于对称，关于对称，设关于对称点与重合，，，的取值范围是,故选D.【方法点睛】本题主要考查函数的零点、反函数的性质，函数零点问题主要有以下思路：(1)直接法，函数图象与横轴的交点横坐标；(2)转化为方程解的问题；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点问题，二是转化为的交点问题.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.设，满足约束条件，则的最大值为_______．【答案】4【解析】,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算.画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：质量指标分组频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为_______．【答案】144【解析】由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为，故方差为．答案：点睛：在频率分布直方图中平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，在频率分布表中平均数的估计值等于每个分组的中点值乘以该组频率之和．利用类似的方法也可根据频率分布直方图或频率分布表求得方差．15.的展开式中常数项为_______．【答案】672【解析】表示9个相乘，从这9个中选取6个且只取其中的，从剩余的3个中只取，相乘后即可得到常数项，故常数项为．答案：16.若函数在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为_______．【答案】【解析】,其中,,故,解得,故,解得.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，展开得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.18.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，延迟退休已成为人们越来越关心的话题.为了了解公众对延迟退休的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取50人进行调查，将调查结果整理后制成下表：年龄人数46753年龄人数67444经调查，年龄在，的被调查者中赞成延迟退休的人数分别为4和3，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.（1）求年龄在的被调查者中选取的2人都赞成延迟退休的概率；（2）若选中的4人中，两组中不赞成延迟退休的人数之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析:（1）利用古典概型的概率公式，求出年龄在［25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（2）由已知得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.试题解析：(Ⅰ)设“年龄在的被调查者中选取的人都是赞成”为事件，所以(Ⅱ)的可能取值为，，，所以，，所以点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是判断取值，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是求概率，即利用排列组合，穷举法等求出随机变量每个值时的概率;第三步是写分布列，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是求期望值，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小.解析：（1）解法一：取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面.解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，设平面的一个法向量是.由得令，则.又因为，所以，又平面，故平面.（2）由（1）可知平面的一个法向量是.易得平面的一个法向量是所以，又二面角为锐角，故二面角的余弦值大小为.20.已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．【答案】（1）（2）①②【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得，（2）①先根据点斜式得直线方程，再与椭圆方程联立解得坐标，根据直线与圆相切，得斜率相反，同理可得最后根据斜率公式求斜率，②设直线MN方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）可得，设椭圆的半焦距为，所以，因为C过点，所以，又，解得，所以椭圆方程为．（2）①显然两直线的斜率存在，设为，，由于直线与圆相切，则有，直线的方程为，联立方程组消去，得，因为为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，，所以，而，所以直线的斜率．②设直线的方程为，联立方程组消去得，所以，原点到直线的距离，面积为，当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．所以面积的最大值为．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.试题解析：解：（1）由，得.由题意，，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是.（3）不等式等价于，整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得..因为，所以，令，得.①当，即时，在上单调递增.只需，解得.②当即时，在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③当，即时，在上单调递减，只需，解得.综上所述，实数的取值范围是.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的普通方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴和轴的交点分别为、，为圆上的任意一点，求的取值范围.【答案】（1）圆的参数方程为（为参数）.直线的直角坐标方程为.（2）【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标,设点，代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.【试题解析】（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数