培优课求数列的通项

培优课——求数列的通项必备知识基础练1.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2021,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M等于()A.2021×22018 B.2022×22019C.2021×22019 D.2022×220202.(多选题)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=2Sn+n1,则下列结论正确的是()A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n11C.数列{an+1}为等比数列D.数列{SnSn1+1}为等比数列3.已知在数列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n3)an1(n≥2),则数列{an}的通项公式为.

4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n4.(1)求a1的值;(2)若bn=an1,试证明数列{bn}为等比数列.5.已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1,且前n项和Sn满足SnSn1=Sn+Sn-1(n≥2).试求数列关键能力提升练6.在数列{an}中,a1=5,且满足an+12n-52=an2n-A.2n3 B.2n7C.(2n3)(2n7) D.2n57.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn=log21an+1,则数列{bn}的通项公式bnA.12n B.n1 C.n D.28.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2n,则a6=.

9.已知在数列{an}中,an+1=2an+3·2n+1,且a1=2,则数列{an}的通项公式为.

10.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式a11.某企业投资1000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出200万元进行广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(取lg2≈0.30103)学科素养创新练12.设关于x的二次方程anx2an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:an-(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式

参考答案培优课——求数列的通项1.B记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an1+2n2,∴an2n-2=an-12n∴an2n-2=2+(n1)×1=n+1,∴an=(n+1)又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2021行,∴M=a2021=2022×22019.2.AD因为Sn+1=2Sn+n1,所以Sn+1+又S1+1=2,所以数列{Sn+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确;所以Sn+n=2n,则Sn=2nn.当n≥2时,an=SnSn1=2n11,但a1≠2111,故B错误;由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4,即a3+1a2+1由Sn=2nn,所以SnSn1+1=2nn2n1+n1+1=2n1,故D正确.3.an=3(2n-1)(2n+1)由(2n+1)an=(2n3)所以a2a1=15,a3a2=37,a4a3=59,a5又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3(2n-1)(24.(1)解因为Sn=2an+n4,所以当n=1时,S1=2a1+14,解得a1=3.(2)证明因为Sn=2an+n4,所以当n≥2时,Sn1=2an1+n14,SnSn1=(2an+n4)(2an1+n5),即an=2an11,所以an1=2(an11),又bn=an1,所以bn=2bn1,且b1=a11=2≠0,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.5.解∵SnSn1=Sn+Sn∴(Sn+Sn-1)(Sn-又Sn>0,∴Sn-又S1=∴数列{Sn}是首项为1,公差为1的等差数列∴Sn=1+(n1)×1=n,故Sn=n2当n≥2时,bn=SnSn1=n2(n1)2=2n1.当n=1时,b1=1符合上式.∴bn=2n1.6.C因为an+12n-52=又a12-7=1,所以数列an2n-7是以1为首项,公差为2的等差数列,所以an2n-7=1+2(n1)7.C由an+1=anan+2,得1a所以1an+1+1=21an又1a1+1=2,所以数列1an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以1an+1=2·所以bn=log21an+1=log22n=n.8.2016因为an+1=4an+2n,所以an+1+2n=4(an+2n1),所以数列{an+2n1}是等比数列,首项为2,公比为4,则an+2n1=2×4n1,可得an=22n12n1,则a6=22×61261=21125=2016.9.an=(3n2)·2n∵an+1=2an+3·2n+1,∴an+12n+1=a∴数列an2n是公差为又a12=1,∴an2n=1+3(n1),∴an=(3n10.解由a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n1)an1=n2an两式作差得nan=n+12an+1n2得(n+1)an+1=3nan(n≥2),即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2×3n2.于是an=111.解设该项目n年后资金数为an,n∈N*.则由已知得an+1=an(1+25%)200,即an+1=54an200令an+1x=54(anx),即an+1=54an由x4=200,得x=800∴an+1800=54(an800)故数列{an800}是以a1800为首项,54为公比的等比数列∵a1=1000×(1+25%)200=1050,∴a1800=250,∴an800=250×54n1,∴an=800+250×54n1(n∈N*).由题意知an≥4000,∴800+250×54n1≥4000,即54n≥16两边取常用对数得nlg54≥lg16,即n(13lg2)≥4lg2∵lg2≈0.30103,∴不等式化为n≥4lg21-3lg2≈∴n≥13.故经过13年后,该项目资金可达到或超过翻两番的目标.12.(1)解根据根与系数的关系,得α代入题设条件6(α+β)2αβ=3,得6an+1所以an+1=12an+1(2)证明因为an+1=12an+1所以an+123=12an若an=2