安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

舒城中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二理数选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的 （）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．如果将一组数据中的每一个样本数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的 （）A.平均数与方差都不变 B.平均数不变,方差改变C.平均数改变,方差不变 D.平均数和方差都改变3．下列推理过程是演绎推理的是 （）A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．某校高二班有人，班有人，由此得高二所有班人数都超过人C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （）A.56 B.60 C.120 D5．函数的图象大致是 （）舒中高二期中理数第2页(共4页)A． B． C. D．舒中高二期中理数第2页(共4页)6.设函数，计算的值为 （）A． B． C． D．7．在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示. （）若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 （）A.3 B.4 C.5 D.8.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （）A． B． C． D．9.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是（）A.s≤? B.s≤?C.s≤? D.s≤?10．设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是这两曲线的交点，则的外接圆半径为（）A.1 B.2C.11．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，若，且，则有 （）A． B． C． D．不确定12．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP＝eq\r(3)，则球的体积为 （）A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3) C.eq\f(4π,3) D.eq\f(8π,3)填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某市有高中生3万人，其中女生4千人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的数量为__________．14．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为__________．15．一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知,身高y(单位:cm)与年龄x(单位:岁)之间的线性回归方程为=8.8x+QUOTE,预测该学生10岁时的身高约为 __________cm．年龄x6789身高y118126136[学14416.已知函数.若对，总有，则实数的取值范围为________．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.(本小题满分10分)“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某网站于2017年3月14日到3月20日持续一周网上调查公众日平均睡眠的时间(单位:小时),共有2000人参加调查,现将数据整理分组后如下表所示.序号(i)分组睡眠时间组中值(mi)频数(人数)频率(fi)1[4,5)4.5802[5,6)5.55200.263[6,7)6.56000.304[7,8)7.55[8,9)8.52000.106[9,10]9.5400.02(1)求出表中空白处的数据,并将表格补充完整。.(2)为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算.程序框图如图所示,求输出的S值,并说明S的统计意义.舒中高二期中理数第4页(共4页)舒中高二期中理数第4页(共4页)18．(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥，，平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）若是棱的中点,求证:；（2）若二面角的大小为,试求的值．19.(本小题满分12分)已知抛物线上一点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.20．(本小题满分12分)已知椭圆(1)求椭圆的离心率；(2)设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．21．(本小题满分12分)已知函数，，其中．（）若在处取得极值，求的值．（）求的单调区间．22．(本小题满分12分)已知函数且恒成立.(1)求实数的值；(2)证明：存在唯一的极大值点，且

20172018学年度第二学期期中考试高二年级 数学学科试卷（理）答案选择题DCCDBBBCCDAC填空题20,153三、解答题17.(本小题满分10分)“解:(1)0.04,560,0.28(2)由程序框图输出S=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7,S的统计意义即指参与调查者的日平均睡眠时间.18．(本小题满分12分)解：证明：（Ⅰ）连接，交于,连接，且，即且，∴四边形为平行四边形,故为的中点.又∵点是棱的中点,.∵平面，平面，∴．（Ⅱ）因为为的中点,则．∵平面平面,且平面平面,∴平面,∵平面,∴.∵,为的中点,∴四边形为平行四边形,∴,又∵,∴,即．以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系（如图），则,,,，，，.设，则.设平面的法向量为，由得，令，得平面的一个法向量为，又是平面的一法向量，二面角的大小为,∴,解得（舍），∴．19.(本小题满分12分)（2）∵点在抛物线上，且.∴∴，设过点的直线的方程为，即，代入得，设，，则，，所以.20．(本小题满分12分)20．解：(1)e＝eq\f(\r(2),2).(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq\f(2y0,x0).当x0＝t时，y0＝－eq\f(t2,2)，代入椭圆C的方程，得t＝±eq\r(2)，故直线AB的方程为x＝±eq\r(2).圆心O到直线AB的距离d＝eq\r(2)，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝eq\f(y0－2,x0－t)(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝eq\f(|2x0－ty0|,\r(（y0－2）2＋（x0－t）2)).又xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝4，t＝－eq\f(2y0,x0)，故d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(2yeq\o\al(2,0),x0))),\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋\f(4yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0))＋4))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4＋xeq\o\al(2,0),x0))),\r(\f(xeq\o\al(4,0)＋8xeq\o\al(2,0)＋16,2xeq\o\al(2,0))))＝eq\r(2).此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．21．(本小题满分12分)解：（），∵在处取得极值，∴，即，解得，经检验，符合题意，∴．（），∵，，∴，①当时，在区间上，，∴的单调增区间为．②当时，由解得，由，解得，综上，当时，的单调增区间为，当时，的单调减区间为，单调增区间为．22．(本小题满分12分)解：（1），∵,∴恒成立。令，问题等价于恒