选择性必修第一册测试 高二上学期数学人教A版

选择性必修一数学测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l:y=3x-2,则直线l经过的象限为 ()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值是 ()A.2 B.-2 C.10 D.-103.已知抛物线的方程为x2=-2y,则该抛物线的准线方程为 ()A.y=-1 B.y=1C.y=12 D.y=-4.圆C1:(x+1)2+(y+1)2=1与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有且仅有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足OA+OB=0(O为坐标原点),AF2·FA.y=22x B.y=-22xC.y=-32x D6.如图四棱锥P-OABC的底面是矩形,设OA=a,OC=b,OP=c,E是PC的中点,则 ()A.BE=-12a-12b+12cB.BE=-a-12b+12cC.BE=-a+12b+12cD.BE7.如图为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得AB=10mm,若所用钢珠的直径为26mm,则凹坑深度为 ()A.1mm B.2mmC.3mm D.4mm8.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A,已知Qc,3a2,|F2Q|>|F2A|,点P是双曲线C右支上的动点,且|PF1|+|PQ|>32|F1F2|A.102,+∞ B.1,76C.76,102 D.1,102二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于点A,B,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△PAB面积的可能取值是 ()A.2 B.2C.4 D.610.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B11.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AP,BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m(m≠0),则下列结论正确的是 ()A.当m=-1时,点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)B.当-1<m<0时,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)C.当0<m<1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线D.当m>1时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)12.设抛物线y=ax2的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则()A.点P的坐标为0,-14aB.直线AB的方程为y=14aC.PA⊥PBD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=.

14.已知圆x2+y2-6x+4y+12=0与直线x-ay-3=0相切,则a=.

15.在边长为1的等边三角形ABC中,将三角形ABC沿边BC的高线AD折起,使得二面角B-AD-C为60°,则点D到平面ABC的距离为.

16.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,点P(4,y0)在抛物线上,K为l与y轴的交点,且|PK|=2|PF|,则y0=.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.(1)求顶点C的坐标;(2)求△ABC的面积.18.(12分)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中点.(1)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值;(2)求点P到平面ACM的距离.19.(12分)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,点(-1,1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程;(2)已知直线l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),证明直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦最短时的直线l的方程.20.(12分)给出下列条件:①抛物线C上的点A到点12,0的距离比它到直线x=-32的距离小1;②F是椭圆x234p+③B(0,1),对于抛物线C上的点A,|AB|+|AF|的最小值为52从这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,满足.

(1)求抛物线C的方程;(2)D(2,y)是抛物线C上在第一象限内的一点,直线l:y=x+m与C交于M,N两点,若△DMN的面积为m2,求m的值.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)21.(12分)如图在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是矩形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=2,AC=1,BC=5,AA1=2.(1)求证:AA1⊥平面ABC.(2)在线段BC1上是否存在一点D,使得AD⊥A1B?若存在,求出BDBC22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,左顶点为A(-2,0).过点A作直线l交椭圆C于另一点D,交(1)求椭圆C的方程.(2)若P为AD的中点,是否存在定点Q,对任意的直线l,OP⊥EQ恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.单元测试卷答案1.D[解析]直线l:y=3x-2在x轴上的截距为233,在y轴上的截距为-2,所以直线l:y=3x-2.A[解析]a+b=(1,-1,2),由(a+b)∥c,得-21=m-1=-3.C[解析]由抛物线的方程为x2=-2y,可得抛物线的焦点在y轴的负半轴上,则其准线方程为y=12.故选C4.D[解析]两圆的圆心分别为C1(-1,-1),C2(2,1),半径r1=r2=1,因为|C1C2|=(-1-2)2+(-15.A[解析]设A(x1,y1),因为OA+OB=0,所以B(-x1,-y1),又F1(-c,0),F2(c,0),所以AF2=(c-x1,-y1),F1F2=(2c,0),又因为AF2·F1F2=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,得x1=c,代入椭圆方程得y1=b2a,因为椭圆的离心率e=22,所以a=2c,b=c6.B[解析]连接OB,OE,BE=BO+OE=(BA+BC)+12(OP+OC)=-(OC+OA)+12(OP+OC)=-OA-12OC+127.A[解析]凹坑深度d=|OC|-|OM|,其中|OC|=r=13mm,|OM|=r2-|AM|2=132-52=8.B[解析]将x=c代入双曲线的方程,可得y=±bc2a2-1=±b2a,则Ac,b2a.由|F2Q|>|F2A|,可得3a2>b2a,即3a2>2b2=2(c2-a2),即e=ca<102①.连接PF2,由|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,当P为线段F2Q与双曲线的交点时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=3a2,此时3c<2a+3a2,即e=c9.BCD[解析]直线x+y+2=0与坐标轴的交点分别为A(-2,0),B(0,-2),则|AB|=22,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d=|2+0+2|2=22,圆的半径为2,所以圆周上的点到直线x+y+2=0的距离的最大值为d+2=32,最小值为d-2=2,所以△PAB面积的最大值为12×22×32=6,最小值为12×22×2=10.AC[解析]由A1C1∥EF,知A1C1∥平面CEF,A正确.建立空间直角坐标系如图,设AB=2,则D(0,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2).设n=(x,y,z)是平面CEF的法向量,由n⊥EF得-x+y=0,由n⊥CF得-y+2z=0,取z=1,得x=2,y=2,因此n=(2,2,1).又DB1=(2,2,2),由n与DB1不平行,得B1D与平面CEF不垂直,B错误.CE=CD+DD1+D1E=12DA+DD1-DC,C正确.∵DC=(0,2,0),设D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DC·n||n|=44+4+1=43,连接B1C,又B1C=(-2,0,11.ABD[解析]设点P的坐标为(x,y),则kAP=yx+1(x≠-1),kBP=yx-1(x≠1),由已知得,yx+1×yx-1=m(x≠±1),化简得点P的轨迹方程为x12.ABC[解析]由y=ax2得x2=1ay,当a>0时,2p=1a,∴p=12a,焦点F0,14a,准线方程为y=-14a,∴P0,-14a,A正确;不妨设A在第一象限,设切线方程为y=kx-14a,由y=ax2,y=kx-14a,得ax2-kx+14a=0,Δ=k2-4×a×14a=0,解得k=±1,∴A12a,14a,B-12a,14a,因此直线AB的方程为y=14a,B正确;又PA=12a,12a,PB=-12a,113.257[解析]由条件得3+5-2z=0,x-1+5y14.±33[解析]由已知得圆的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=1,∴圆心坐标为(3,-2),半径r=1.由题知圆心到直线x-ay-3=0的距离d=|3+2a-3|15.1510[解析]因为AD⊥BD,AD⊥DC,所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角,则∠BDC=60°,易知AD=32,BD=CD=12,所以BC=1则D(0,0,0),A0,0,32,C0,12,0,B34,14,0,设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则n·AC=12y-32z=0,n·BC=-34x+14y=016.2[解析]作PM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|PM|=|PF|,又|PK|=2|PF|,所以在直角三角形PKM中,sin∠PKM=|PM||PK|=|PF||PK|=22,所以∠PKM=45°,所以△PMK为等腰直角三角形,所以|PM|=|MK|=4,又点P在抛物线17.解:由顶点A(5,1),和边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,得直线AC的方程为2x+y-11=0①,又中线CM所在直线方程为2x-y-5=0②,由①②解得x=4,y=3,所以顶点C的坐标为(4,3).(2)设顶点B的坐标为(m,n),因为AB的中点在直线CM上,所以2×m+52-n+12-5=0③,因为高BH所在直线方程为x-2y-5=0,所以m-2n-5=0④,由③④解得m=-1,n=-3,所以顶点B的坐标为(-1,-3).因为顶点B(-1,-3)到直线AC:2x+y-11=0的距离为|2×(-1)-3-11|22+12=16518.解:如图所示,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),则AC=(2,4,0),AM=(0,2,2),CD=(-2,0,0),AP=(0,0,4).设平面ACM的法向量为n=(x,y,z),由n⊥AC,n⊥AM可得2x+4y=0,2y+2z=0(1)设直线CD与平面ACM所成的角为α,则sinα=CD·n|CD||(2)设点P到平面ACM的距离为h,则h=AP·n|n|19.解:(1)因为直线AB的方程为x-3y-6=0且AD⊥AB,所以kAD=-3.又点(-1,1)在边AD所在的直线上,所以边AD所在直线的方程是y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.由x-3y-6=0,3x+y+2=0得A(0,-2).所以|AP|=4+4=22(2)直线l的方程可化为k(-2x+y+4)+x+y-5=0,因为k∈R,所以直线l恒过直线-2x+y+4=0与x+y-5=0的交点Q(3,2),由|QP|2=(3-2)2+22=5<8,知点Q在圆P内,所以l与圆P恒相交.设l与圆P的两个交点为M,N,则|MN|=28-d2(d为P到l的距离),设直线PQ与l的夹角为θ,则d=|PQ|sinθ=5sinθ,当θ=90°时,d最大,|MN|最小,此时l的斜率为-12,故l的方程为y-2=-12(x-3),即x+220.解:(1)方案一:选条件①.由条件可知,点A到点12,0的距离与到直线x=-12的距离相等,由抛物线的定义可得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.方案二:选条件②.因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为p2,0,所以椭圆x234p+y212p=1的一个焦点为p2,0,所以34p-12p=p24,又p>方案三:选条件③.由题意可得,当F,A,B三点共线时,|AB|+|AF|=|FB|=52,由两点间距离公式得p24+1=52,则p=1,所以抛物线C的方程为(2)把D(2,y)的坐标代入方程y2=2x,可得D(2,2),设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=x+m,y2=2x,消去y可得x2+(2m-2)x+m2=0,由Δ=(2m-2)2-4m2>0,解得m<12,又x1+x2=2-2m,x1x2=m2,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=24-8m=221-2m,又D(2,2)到直线l的距离d=|2-2+m|1+1=|m|2,所以S△21.解:(1)证明:因为侧面AA1C1C是