北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（

）A．B．C．D．2．如果点C是线段AB延长线上的—点，且，那么等于（

）A．5：2B．1：2C．3：2D．2：33．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关4．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（

）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（）A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”6．如图，点在的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点P在上的对应点的坐标为（

）A．B．C．D．7．如图，直线，直线c与直线a、b都相交，从，，，这四个角中任意选取2个角，则所选取的2个角互为补角的概率是（

）A．B．C．D．8．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．如图，矩形中，对角线，交于点.若，，则的长为（

）A．4B．C．3D．510．如图，菱形ABCD的面积为120cm，正方形AECF的面积为50cm，则AB的长为（）A．9cmB．12cmC．13cmD．15cm二、填空题11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．12．已知，则的值为______．13．在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为，则白球的个数为______．14．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形，若，且菱形的面积为16，则正方形ABCD的面积为______．15．如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为______．16．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①；②四边形EFBC是正方形；③；④，其中结论正确的为______．（填写序号即可）三、解答题17．用适当的方法解方程：18．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．19．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作．请用画树状图或列表法求点恰好落在第二象限的概率．20．在四边形ABCD中，，，，，的平分线分别交AD、AC于点E、F，求的值．21．某商店将进价为每件10元的商品以每件14元的价格售出，平均每天能售出220件．经市场调查发现：这种商品每件的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件，该商店计划通过提高售价减少销售量的办法来增加利润．若物价部门规定此种商品每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少元？22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得．在AD上截取，连接EH、ED．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若，，求EH的长．23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作且，连接AE交OD于点F，连接OE．（1）求证：；（2）若菱形ABCD的边长为4，，求AE的长．24．已知四边形ABCD是正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），，于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：；（2）求证：四边形PEFD是菱形；（3）若，．求四边形PEFD的面积．25．如图，在和中，，，且，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE．（1）如图1，当B，D，E三点共线时，求证：；（2）如图2，当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F，求证：．参考答案1．D【解析】【分析】先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．【详解】解：原方程变形为：，，配方为：，．故选：D．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解题的关键是熟练配方法的步骤．2．C【解析】【分析】先画出图形，设为，然后用表示出，最后求出即可．【详解】根据题意可画出下图：，设，则，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确设出线段的长度是解题的关键．3．A【解析】【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．C【解析】【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．【详解】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；故选：C．【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．5．D【解析】【详解】解：如图，因为p（正，正）=，则出现其他结果的概率为：．A．根据出现抛出两个相同面的概率为：，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此选项正确不符合题意；B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为：，故此时公平，故此选项正确不符合题意；C．∵小明获胜概率为：，小刚获胜概率为：，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，故此时公平，故此选项正确不符合题意；D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故此选项错误符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．6．C【解析】【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．【详解】解：∵点在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（3，2）．故答案选C【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．7．B【解析】【分析】用列表法列出所有结果数，再求出所选取的2个角互为补角结果数，即可求解．【详解】解：从，，，这四个角中任意选取2个角，列表可得：，，，，，，，，，，，，共有12种结果，其中所选取的2个角互为补角有6种结果（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）所选取的2个角互为补角的概率为故选B【点睛】此题考查了列表法或树状图求概率，涉及了平行线的性质以及补角的定义，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率的方法．8．B【解析】【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．9．A【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的值．【详解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．C【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC的长，根据菱形的面积求出BD的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=所以菱形的边长=故选C．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．11．且【解析】【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于的不等式，由于一元二次方程二次项系数不为0得出，，求解即可．【详解】关于的一元二次方程有实数根，，且．解得：且．故答案为：且．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程有两个实数根，则”是解题的关键.12．【解析】【分析】设=k，用k表示出a、b、c，代入求值即可.【详解】解：设=k，∴a=2k，b=3k，c=4k，∴==.故答案是：.【点睛】本题考查了比例的性质，涉及到连比时一般假设比值为k，这是常用的方法.13．12【解析】【分析】设该盒中白球的个数为个，根据意得，解此方程即可求得答案．【详解】解：设该盒中白球的个数为个，根据题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，所以该盒中白球的个数为12个，故答案为：12．【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比．14．32【解析】【分析】根据菱形，AB边上的高等于边的一半，得到，求出AB边的长，从而得到正方形ABCD的面积．【详解】∵，即∴∴．故填32．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，菱形和正方形面积公式，利用30°所对直角边等于斜边的一半求出菱形的高是解决本题的关键．15．【解析】【分析】首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为奇数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为奇数的有4种情况，∴指针指向的数字和为奇数的概率是：．故答案为：．【点睛】本题考查用列举法求概率，画出满足题意的树状图，并灵活运用概率公式求解是解题的关键．16．①②④【解析】【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正确．【详解】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，∴∠BEF=45°，∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB，∴AB=BE，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．17．【解析】【分析】先将方程转化为，再利用因式分解法，即可求解．【详解】解：变形为，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．18．4【解析】【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得，从而可得，再代入计算即可得．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴此方程根的判别式，即，则，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．19．【解析】【分析】根据题意通过列表法求得所有可能，再根据在第二象限的点的特点即可求得恰好落在第二象限的概率．【详解】列表如下，（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共有36中等可能结果，点恰好落在第二象限的有：（，）（，）（，）（，）（，）（，）共6种情形点恰好落在第二象限的概率为．【点睛】本题考查了第二象限点的坐标特征，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．20．【解析】【分析】过点F作FG⊥AB于点G，由EA∥FG，得出=，又BE是∠ABC的平分线，结合AC=BC，∠ACB=90°，得到AB=BC，即可求解本题．【详解】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴EA∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在中，，，∴CB=GB，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB=BC，∴===(－1)．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线上的点到角两边的距离相等及等腰直角三角形的斜边长是直角边的倍，熟练掌握这几个知识点是解题的关键．21．16元【解析】【分析】设这种商品的售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据日销售总利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合此种商品的每件利润不能超过进价的，即可确定的值．【详解】解：设这种商品的售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，．（元，，．答：这种商品的售价应定为16元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（1）矩形，理由见解析；（2）【解析】（1）先根据平行四边形的性质得到OA=OC=AC，OB=OD=BD，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=AC=OA，则OA=OD，即AC=BD，由此即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先根据平行四边形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，则DH=AD－AH=4，然后证明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，则EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE=AC=OA，∵OE=OD，∴OA=OD，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵平行四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，∵AH=CD，∴AH=2，∴DH=AD－AH=4，∵∠AEC=∠ADC=90°，∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°∵∠AFE=∠DFC，∴∠DCF=∠EAF，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，∴EH2＋ED2=DH2，∴2EH2=DH2，∴EH=DH=×4=2．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定条件．23．（1）见解析；（2）【解析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可；(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.【详解】（1）连接EC，∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC=AC，AD=AB.∵DE//AC且DE=AC∴DE=OA=OC∴四边形OADE、四边形OCED都是平形四边形，∴OE=AD，∴OE=AB；(2)∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠OCE=90°.∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=AC=2，∴在矩形OCED中，CE=OD==2∴在Rt△ACE中，AE==2【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键;24．（1）见解析；（2）见解析；（3）8【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD为正方形得AD＝AB，由四边形ABPM为矩形得AB＝PM，则AD＝PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH＝∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF＝PG；（2）如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PD，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD＝PE，即可证明四边形PEFD是菱形．（3）利用旋转的性质得∠EPG＝90°，PE＝PG，所以PE＝PD＝DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，根据勾股定理得到PD＝＝，DF＝PG＝PD＝，根据相似三角形的性质得到GH＝，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠HGD+∠ADF＝90°，∠CDP+∠PDG＝90°，∵PD＝PG，∴∠PGD＝∠PDG，∴∠ADF＝∠CDP，∴△ADF≌