高考总复习理数（人教版）第08章立体几何第4节直线平面平行的判定与性质

第四节直线、平面平行的判定与性质考点高考试题考查内容核心素养直线、平面平行的判定与性质2016·全国卷Ⅱ·T14·5分面面平行的性质，异面直线所成的角，线面平行的判定和性质，线面垂直的性质直观想象逻辑推理2014·全国卷Ⅱ·T18·12分线面平行的判定，二面角，三棱锥的体积命题分析高考对本节内容的考查主要是直线与平面及平面与平面平行的判定和性质，常设置在解答题中的第(1)问，难度中等，解题时主要线线、线面、面面平行的相互转化，应充分发挥空间想象能力及逻辑思维能力.(对应学生用书P97)1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理__平面外__一条直线与__此平面内__的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面__平行__，则过这条直线的任一平面与此平面的__交线__与该直线平行(线面平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条__相交直线__与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的__交线__平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b提醒：1.辨明三个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.()(2)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(3)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(教材习题改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选DA中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选AA项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ.∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．4．(教材习题改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为____________解析：连接BD,设BD∩AC＝O,连接EO,在△BDD1中，点E,O分别是DD1,BD的中点，则EO∥BD1,又因为EO⊂平面ACE,BD1⊄平面AEC,所以BD1∥平面ACE.答案：平行5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是____________.解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，∴MN∥BD．又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD．答案：平行(对应学生用书P98)直线与平面平行的判定与性质[明技法]证明直线与平面平行的3种方法(1)定义法：一般用反证法；(2)判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．[提能力]【典例】如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1(1)证明AD1∥平面BDC1；(2)证明BD∥平面AB1D1.证明：(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1∴C1D1∥DA，C1D1＝DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D．又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)连接D1D．∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1∴BB1∥D1D．又D1，D分别为A1C1，AC中点，∴BB1＝DD1∴四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[母题变式1]将本例条件“D1，D分别为AC，A1C1上的中点”变为“D1，D分别为AC，A1C1上的点”．试问当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?解：如图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq\f(A1D1,D1C1)＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，∴O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点∴OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.[母题变式2]将本例条件“D，D1分别为AC，A1C1上的中点”变为“D，D1分别为AC，A1C1上的点且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求eq\f(AD,DC)的值．解：由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).又eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.平面与平面平行的判定与性质[明技法]证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．[提能力]【典例】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.解：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母题变式1]在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．证明：如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA．[母题变式2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D．直线、平面平行的综合问题[明技法]解决与平行有关的存在性问题的基本策略先假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．[提能力]【典例】一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当点G在什么位置时，有GN∥平面BEF,给出证明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以该多面体的体积为eq\f(1,2)a3，表面积为eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)当G是DF的中点时，有GN∥平面BEF,证明如下：连接BD．∵四边形ABCD是平行四边形，且N是AC的中点，∴N是BD的中点，∴GN∥BF，又BF⊂平面BEF，GN⊄平面BEF，∴GN∥平面BEF.[母题变式]当G是DF的