高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训（三）应用题

(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？(2)设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解(1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x≤7时，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，②当x>7时，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(370x＋236，x≤7，,3x2＋321x＋432，x>7，))∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(370x＋236,x)，x≤7，,\f(3x2＋321x＋432,x)，x>7.))当x≤7时，f(x)＝370＋eq\f(236,x)，当且仅当x＝7时，f(x)有最小值eq\f(2826,7)≈404(元)；当x＞7时，f(x)＝eq\f(3x2＋321x＋432,x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))＋321≥393.当且仅当x＝12时取等号．∵393<404，∴当x＝12时f(x)有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系式为V(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t3＋11t2－24t＋100，0<t≤10，,4t－103t－41＋100，10<t≤12.))(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i－1<t<i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？(2)求一年内该地区冰川的最大体积．解(1)当0<t≤10时，V(t)＝－t3＋11t2－24t＋100<100，化简得t2－11t＋24>0，解得t<3或t>8.又0<t≤10，故0<t<3或8<t≤10，当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋100<100，解得10<t<eq\f(41,3)，又10<t≤12，故10<t≤12.综上得0<t<3或8<t≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月．(2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)内取到．由V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24，令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝eq\f(4,3)(舍去)．当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：t(3,6)6(6,9)V′(t)＋0－V(t)↗极大值↘由上表，V(t)在t＝6时取得最大值V(6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3eq\r(13)km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3,\r(13))，AO＝15km.(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB.解(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ＝eq\f(3,\r(13))，OM＝3eq\r(13)，由余弦定理，得AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM＝152＋(3eq\r(13))2－2×15×3eq\r(13)×eq\f(3,\r(13))＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM＝6eq\r(2)，即大学M与站A的距离AM为6eq\r(2)km.(2)∵cosβ＝eq\f(3,\r(13))，且β为锐角，∴sinβ＝eq\f(2,\r(13))，在△AOM中，由正弦定理，得eq\f(AM,sinβ)＝eq\f(OM,sin∠MAO)，即eq\f(6\r(2),\f(2,\r(13)))＝eq\f(3\r(13),sin∠MAO)，sin∠MAO＝eq\f(\r(2),2)，∴∠MAO＝eq\f(π,4)，∴∠ABO＝α－eq\f(π,4)，∵tanα＝2，∴sinα＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5))，∴sin∠ABO＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,\r(10))，又∠AOB＝π－α，∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝eq\f(2,\r(5)).在△AOB中，OA＝15，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠AOB)＝eq\f(OA,sin∠ABO)，即eq\f(AB,\f(2,\r(5)))＝eq\f(15,\f(1,\r(10)))，∴AB＝30eq\r(2)，即铁路AB段的长为30eq\r(2)km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB＝8(百米)，BC＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG，满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE＝0.5(百米)，AH＝4(百米)，N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离的乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN的面积；(2)已知音乐广场M在AB上，AM＝2(百米)，若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q为中心建一个休息区，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，问点P在何处时，AQ最小．解(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示．则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))，因为E到AD与AH距离的乘积为2，所以曲线EF上的任意一点都在函数y＝－eq\f(2,x)的图象上．由题意，N(－2,0)，所以F(－2,1)．四边形FGHN的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))×2＝eq\f(3,2)(平方百米)．(2)设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(y，－x＋2)，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(y＋2，－x＋2)，因为点Q在原植物园内，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤y＋2≤8，,0≤2－x≤4，))即－2≤x≤2.又点P在曲线EFG上，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,2)))，所以－2≤x≤－eq\f(1,2)，则点P在曲线段EF上，AQ＝eq\r(y＋22＋2－x2)，因为y＝－eq\f(2,x)，所以AQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)＋2))2＋2－x2)＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－4x－\f(8,x)＋8)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,