高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程学案-人教版高三全册数学学案

第2讲参数方程

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

1.本讲主要考查参数方程与普通方程

2019年将以解答题为载体，预计

2017参数方程的互化、直线参数方程的意义、极坐

I2210考查：①参数方程与普通方程互化；

标方程与参数方程的综合.

②直线参数方程应用；③圆与圆锥曲线

2016椭圆参数方程23102.理解参数方程、搞清直线、圆及椭圆

m参数方程应用.往往和极坐标结合考

的参数方程，能够利用直线的参数方

查，复习时注意把握.

2015D圆的参数方程2310程解决问题.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X、y都是某个变数t的函数

(*),如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点材(X,力都在这条

曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数力叫做参数.

考点2直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

\X=JC0+zcosa,

直线丁一丁0=tana（z—了0）（，为参数）

1y=yo+fsina

[x=rcos^,,.皿

X2+y2=r2\.（6为参数）

[y=rsinO

fJ=a+rcos0,,.皿

（Z—。）2+（）一6）2=r2\.（。为参数）

|j/=6+rsin^

点的轨迹普通方程参数方程

22x=acos^,,八

椭圆-zr+7T=1(a>〃>0)V.W(伊为参数)

y=bs\n(p

22x=asec(p^,_山

双曲线彳一==l(a>0,6>0)V”(g为参数)

y=btan(p

[jr=2pt2，

抛物线丁=2”:(f为参数)

Iy=2pt

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.（正确的打“J”，错误的打“X”）

⑴参数方吨X—=2t一+1,（⑶）表示的曲线为直缘（）

⑵直线尸,与曲线〔f尸^=33csoisna。,（.为参数）的交点个数为1•（）

x——2+fcos30",

(3)直线,。1为参数)的倾斜角。为30°.()

.尸1+tsinl50

(x=2cos〃，(「"71

(4)参数方程1=5sin〃(6为参数且6w[0,5J表示的曲线为椭圆.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

x=2cos0,

2.已知圆的参数方程〃（。为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y=2sm0

为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为30cosa-4Osin。一9=0,则直线与圆的位

置关系是（）

A.相切B.相离

C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心

答案D

解析圆的普通方程为六+7=4,直线的直角坐标方程为3x—4y—9=0.圆心（0,0）到

13X0-4X0-919

直线的距离d=所以直线与圆相交.显然直线不过原点（0,0）,故

,\/3"+(-4)25

选D.

3.[2018•安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极

fX—t+1,

坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线/的参数方程是°（r为参

[y=t-3

数），圆。的极坐标方程是。=4cos9，则直线/被圆。截得的弦长为（）

A.V14B.2^14C.^/2D.2^2

答案D

解析由题意得直线1的方程为%-7-4=0,圆C的方程为（L2）2+/=4.则圆心到

直线的距离d=y[2,故弦长=2#/-d=24.

\x=t,

4.[2018•湖南模拟]在平面直角坐标系x0中，若直线/：（联为参数）过

ly-t-a

[x=3cos0,

椭圆G°.人（。为参数）的右顶点，则常数a的值为________.

ly=2sm（!>

答案3

22

解析由题意知在直角坐标系下，直线/的方程为旷=>一a,椭圆的方程为++《=1,

所以其右顶点为（3,0）.由题意知0=3—a,所以a=3.

x—2pt2,

5.[2018•天津模拟]已知抛物线的参数方程为0

[y=2pt

息为参数），其中m0,焦点为凡准线为/.过抛物线上一点出作/的垂线，垂足为£

若|阴=|明，点材的横坐标是3,贝Ijp=.

答案2

x—2pi2,

解析由参数方程•

尸2Pt

（大为参数），。>0,可得曲线方程为/=2px（p>0）.

V\EF\=\MF\,且|姐=|如（抛物线定义）,

，△助％为等边三角形，

〃的横坐标为一导材的横坐标为3.

3-2

.•.可中点的横坐标为亍,与Q的横坐标物同.

QP

3-9

ZP

丁=5,；.p=2.

6.[2015•湖北高考]在直角坐标系x0中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

坐标系.已知直线/的极坐标方程为。（sinJ—3cos。）=0,曲线C的参数方程为

1

x=t--；

“为参数），，与C相交于48两点，则|/引=

y=r+7

答案2季

解析因为P(sin0—3cos<?)=0,所以Psin=3pcos0,所以y=3x.由

1=J2

x-2'

y=3x,

消去f得/一f=4.由解得〈或

"一夕=4,3m

尸+5尸2

：龙

X2，

不妨令,由两点间的距离公式得|4身

3/

y-

2

板块二典例探究•考向突破

考向参数方程与普通方程的互化

fx=3cos°,

例1[2017•全国卷I]在直角坐标系x如中，曲线。的参数方程为“

[y=sin夕

x=a+4t,

(0为参数)，直线1的参数方程为(t为参数).

,y=1—t

(1)若a=-l,求「与/的交点坐标；

(2)若C上的点到/距离的最大值为机，求a.

2

解⑴曲线C的普通方程为看+/=1.

当a=-l时，直线/的普通方程为x+4y-3=o.

'x+4y—3=0,

由k-

忖+yj

21

丫=-----.

才=3,25'

解得或

y=024

片后

21

从而C与1的交点坐标为(3,0),

25,

⑵直线/的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos0,sin，)到/的距离为d

13cos8+4sin6-a—4

15sin（夕+0）-a—41tan0=,），

V17

a+9

当32一4时，d的最大值为比亍

由题设得^万，所以a=8；

当aV—4时，"的最大值为—用亲+「1

—刀―1j

由题设得一^-=",所以a=-16.

综上，a=8或d=-16.

触类旁通

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常

见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，

常利用同角三角函数关系式消参，如sin2。+cos?，=1等.

（2）将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.

x=—4+cost,

【变式训练1】［2018•湖南长郡中学模拟］已知曲线G：>'1为参

.y=3+sin力

x=8cos0,

数），G：（0为参数）.

」=3sin0

（1）化G,G的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

⑵若G上的点。对应的参数为t=y,0为G上的动点，求N的中点材到直线G：

,位为参数）距离的最小值.

g—2+t

解（1）G：（%+4）2+（y—3）2=1,G：三+5=1，

o4y

G表示圆心是（一4,3）,半径是1的圆，G表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半

轴长是8,短半轴长是3的椭圆.

（2）当£=彳~时，〃（一4,4）,又0（8cos。，3sin。），故J（—2+4cos。，2+^sin夕），

又G的普通方程为x—2y—7=0,则材到G的距离d=雪14cos夕一3sin。-13|=

•|3sin0—4cos〃+13l=W^|5sin（0—。）+13|（其中。满足tan

00\

所以d的最小值为芈.

5

考向阁直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化

x=cos0,

例2［2018•宝鸡模拟］在平面直角坐标系x分中，已知G：八（。为

y=sm°

参数），将G上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的也和2倍后得到曲线Q.以平

面直角坐标系x行的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系,

己知直线/：o（由cos〃+sin。）=4.

（1）试写出曲线G的极坐标方程与曲线G的参数方程；

（2）在曲线G上求一点P,使点P到直线/的距离最小，并求此最小值.

（x=cos0,

解（D把G：,“（。为参数），消去参数化为普通方程为*+/=1,故曲

［y=sin0

线G的极坐标方程为0=1.

再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线G的普通方程为（痘）+。°=1,即5+?=

x=\”l2cos9,（。为参数）.

{y=2sin8

（2）直线］：。（$cos8+sin乃=4,即镜x+y-4=0,设点P（mcos，，2sin（））,

则点户到直线的距离为

|2cos«+2sin，一4|2*sin（夕+了）-2

4后=市，

故当sin（o+f=l时，d取得最小值，此时，〃=24口+号（*GZ）,点尸（1,⑫,

故曲线c上有一点户（1,也）满足到直线1的距离的最小值为芈一芈.

触类旁通

参数方程和直角坐标方程及

极坐标方程之间的相互转化

（1）把G消去参数化为普通方程为丁+/=1,再化为极坐标方程.根据函数图象的伸缩

变换规律可得曲线G的普通方程，再化为参数方程.

（2）先求得直线/的直角坐标方程，设点尸（mcos0,2sin0）,求得点尸到直线的距离

2msin（«+»2|1t

为d=-------宝_-——，故当sin（。+司=1时，即9=2k^+~,AGZ时，点0

到直线）的距离最小，从而求得户的坐标以及此最小值.

【变式训练2】［2018•宜春模拟］在直角坐标系xa中，圆G和C的参数方程分别是

x=2+2cos0,fx=cos0,

c）（0为参数）和,.”（0为参数），以〃为极点，X轴的正半

y=2sin<p［y=H-sin<p

轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆G和G的极坐标方程；

（2）射线OM：0=。与圆G的交点为0、P,与圆C的交点为0、Q,求I阴Tg的最

大值.

x=2+2cos6,

解(1)圆G(0为参数),

y=2sin<t>

转化成直角坐标方程为(矛-2)2+/=4,

即/+/—4x=0,

转化成极坐标方程为P2=4PCOS0,

即p=4cos0

fx=cos

圆C,.’(。为参数),

Ly=l+sin(P

转化成直角坐标方程为f+(y—1-=1,

即Z+/—2y=0

转化成极坐标方程为P2=2psin0,

即P=2sin0.

(2)射线Q%。与圆G的交点为。、只与圆C的交点为0、0,

设.P,。对应的极径分别为0”02,贝鹏0。|•=O“2=4|sin2al.

V(|sin2a|)mnx=l,：.\0P\«的最大值为4.

考向3直线的参数方程

例3[2018•泉州模拟]已知在平面直角坐标系中，直线1的参数方程是

x=1—t,

息是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

j=2+t

标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线，的极坐标方程为

(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点。的直角坐标为(1,2),直线/与曲线C的交点为4B,试求|必及|必|•PB\

的值.

解(1)直线1的普通方程为x+y-3=0.

O=4gsin(。+彳)=4sin。+4cos。，所以。'=4。sin〃+4ocos〃，所以曲线。

的直角坐标方程为“2+7—4犬-4片=0(或写成(“-2)2+(y-2)2=8).

L=1,j2,

（2）直线/的参数方程可化为4L（，是参数），

尸2+9

I/

把直线，的参数方程代入/+/—4万一4尸0得，t'2+y[2t>—7=0.

设46对应的参数分别为力'，1，则t/+t2'=一蚯，/t2'=-7,点?（1,2）

显然在直线，上，故冽-t2'|=叱"+婕PT"婕=弧，故|用|«\PB\

=I力J&'|-7.

触类旁通

直线的参数方程的标准形式

（x=xo+tcosa,

过定点日（施，外），倾斜角为。的直线参数方程的标准形式为,（t

ly=7b+tsina

为参数），t的几何意义是直线上的点尸到点气（施，加）的数量，即|力=|"|时为距离.使

用该式时直线上任意两点衣、A对应的参数分别为5t2,则①用=|小一以，A月的中点

对应的参数为友）.

【变式训练3】[2018•哈尔滨模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为

fx=2+lcos。,（rJI']\

\厂2为参数，6Go,V,以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极

ly=，3+£sin0IL3〃

轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2,S，半径为2,直线/与圆C交于M,

N两点.

（1）求圆。的极坐标方程；

（2）当。变化时，求弦长“加的取值范围.

解（1）由已知，得圆心C的直角坐标为（1,小）,半径为2,

...圆C的直角坐标方程为（x—l/+（y—/）2=4,

即x+y—2x—2y[3y=09

Vx=0cos0,y=psin0,:・p'—2pcos0—2镉2sin。=0,

故圆C的极坐标方程为0=4cos仔-e）

（2）由（1）知，圆。的直角坐标方程为—2x—24y=0,将直线的参数方程代入圆

的直角坐标方程中得,

(2+tcos。)"+£sin0)"—2(2+fcos6)—加in。)=0,

整理得，r+2rcos0—3=0,

设机N两点对应的参数分别为力，5则。=-2cos。，t\•^=—3,

|MN\=11\_tiI=y/(ti+」)二-4£i•、

=14cos20+12,

JT~|「11」।—

・.・0W0,—,Acos1,・・・幽£[好,4].

j乙

考向印极坐标、参数方程的综合应用

(x—2+t,

例4[2018•盐城模拟]已知直线/的参数方程为°°(力为参数)，以原点

[y=2-2t

2

。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线「的极坐标方程为

W+3cos)9

(1)直接写出直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)过曲线C上任意一点2作与直线/夹角为2的直线m,设直线M与直线1的交点为A,

O

求I处I的最大值.

x=2+t,

解(1)由1为参数)，得/的普通方程为2x+y—6=0,令x=Acos夕，

[y=2-2t

y=0sin0,得直线1的极坐标方程为2PCOS〃+夕sin。-6=0,由曲线。的极坐标方程,

知。2+3。2cos2。=4,所以曲线。的直角坐标方程为步+?=1.

(2)由(1),知直线1的普通方程为2x+y-6=0,设曲线。上任意一点Acosa,2sina),

.小士心12cosa+2sina—6

点户到直线1的距离d=-------------事-------.

4洞恒小+总-3

由题意得IPA\=———=——!-------2-----------------，

sinoO15

二当sin(a+^)=-l时，|必|取得最大值，最大值为域誓鱼.

触类旁通

极坐标与参数方程综合应用中注意的问题

(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接

用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转化

时要注意两坐标系的关系，注意0,0的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同.

(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次

要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径.

x—M,

【变式训练4】在直角坐标系中，曲线G的参数方程为z(力为参数)，

Lr=4/

若以。为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为0cos。+2。sin0

+4=0(p20).

(1)求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程；

(2)若1是曲线G上的任意一点，6是曲线G上的任意一点，求线段18的最小值.

解⑴由［I：消去参数3得曲线G的普通方程为V=4y.

〔y=4巴

X-Pcos夕，

将彳代入到Qcos夕+20sin夕+4=0(020)中，得x+2y+4=0,

y=psin0

即曲线G的直角坐标方程为x+2y+4=0.

(2)解法一：因为力是曲线G上的任意一点，8是曲线C上的任意一点，所以线段四

的最小值，即与曲线C平行的直线与曲线G相切时，切点到曲线C的距离，设切线的方程

为x+2y+m=0,

\x=4y,

由|x+2f=。,消去了得*+2x+2片。,

所以A=22—4X1X2/z?=0,得加=；,

(n-1+2X-+4历历

因此切点为(T，其到直线C的距离4一-=黄，即I血„=湍-

解法二：因为4是曲线G上的任意一点，6是曲线G上的任意一点，

所以可设点4(4t,4高，线段的最小值即点A到直线G的距离d的最小值，

4比+3%

G、一|4t+2X4t2+4|

所以公尸

当，=-"时，aLi„=~Y^,即

le幺师第记•〃/纳领悟I

C^<；inNAlJN<iWH

核心规律

参数方程与普通方程互化的方法

(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消

参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.

(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合

适的参数t,先确定一个关系x=f(t)(或尸0(t)),再代入普通方程尸(x,力=0,求得另

一关系尸。。(或x=f(t)).

满分策略

参数方程应用中的注意事项

(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参

数方程的取值范围保持一致.

(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一

样.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标).

(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来

方便.

板块三模拟演练•提能增分

［基础能力达标］

1.［2017•江苏高考］在平面直角坐标系xOy中，已知直线1的参数方程为

'x=-8+t,

(x—2s,

t1为参数)，曲线C的参数方程为《厂(s为参数).设P为曲线

卜=5

，上的动点，求点尸到直线1的距离的最小值.

解直线/的普通方程为x—2y+8=0.

因为点P在曲线「上，设?(2y245),

从而点。到直线1的距离.2s二¥普

2(s-^^1+4

乖

当$=/时，din=—

4、1

因此当点〃的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线7的距离取到最小值誉.

□

\x=2+t,

2.[2017•全国卷IH]在直角坐标系x。中，直线工的参数方程为，鱼为

[y=kt

x=-2+/，

参数)，直线人的参数方程为《/〃(加为参数).设人与人的交点为只当A变

尸入

化时，。的轨迹为曲线C

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设八：P(cos〃+sin0)-^2

=0,"为4与C的交点，求M的极径.

解(1)消去参数t得71的普通方程Z：y=k(x—2)；

消去参数加得A的普通方程h：y=*(x+2).

K

'y—k(x—2),

设P(x,y),由题设得<

尸协+2),

消去4得/=4(10),

所以C的普通方程为f-/=4(yW0).

(2)，的极坐标方程为P2(cos2。一sin?8)=4(0V夕<2n,

p(cos2—sin2")=4,

联立《广得

“(cos〃+sin。)一72=0

cos8—sin^=2(cos夕+sin夕).

iQI

故tan。=一鼻，从而cos'。=行，sin'J=Y^.

«J1UJLU

代入夕"cos?。一sin?夕)=4得02=5,

所以交点，"的极径为

3.[2018•安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系x勿的原点，极轴为x轴的正

半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆。的直角坐标系方程为*2+/+2x-2尸0,直线/

x=­1+b3n

的参数方程为l为参数)，射线阴的极坐标方程为好工

(1)求圆C和直线/的极坐标方程;

⑵已知射线〃犷与圆。的交点为。，P,与直线/的交点为0,求线段网的长.

解（1）,・,圆C的直角坐标系方程为V+/+2X—2六=0,

・••圆C的极坐标方程为夕?+22cos2夕sin夕=0,

化简得夕+2cos夕一2sin。=0,即P=2-^2sin^0——

I•直线/的参数方程为一‘〃为参数），

[y=t

消参得：X—y+l=0,

・,•直线/的极坐标方程为Qcos夕一Osin夕+1=0,

日n1

Psin0—cos/

故点0的极坐标为0g,斗j，

\PQ\^\0P\~凶=2:—乎=乎

故线段段的长为平.

4.[2018•长沙模拟]以直角坐标系的原点〃为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐

x=方sin0,

标系取相等的长度单位.已知直线/的参数方程为।,&为参数，（K0＜n）,

y=1+力cos（P

曲线。的极坐标方程为0cos2«=4sine.

（1）求直线/的普通方程和曲线。的直角坐标方程；

（2）设直线/与曲线C相交于48两点，当0变化时，求|45|的最小值.

x=tsin（p

解（1）由」,9（£为参数，0＜。＜兀），消去b得xcos。一ysinO+sin。

y=1+tcos。

=0,

所以直线1的普通方程为xcos（p—ysinO+sin6=0.

由Pcos2夕=4sin0,得(QCOS^)2=4Psin夕,

把x=〃cos〃，尸)sin。代入上式，得系=4%

所以曲线C的直角坐标方程为V=4y.

(2)将直线1的参数方程代入x=4y,得/sin"。一41cos。-4=0,

设小，两点对应的参数分别为3口

,4cos04

贝MlUlt\~\~tz——；~21，t\t2=：~21，

sin(Psm(P

所以|总创=I力一七I=^/(fi+t^—\t\t2

_/16cos'01