初中数学-圆 教案完成

24.圆单元计划

早下24.圆

教学目标

教学目标

i.知识与技能

(1)了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、

弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理.

(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，

探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆

上一点画圆的切线.

(3)进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

(4)熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开

图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算.

2.过程与方法

(1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.了解

概念，理解等量关系，掌握定理及公式.

(2)在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流.

(3)在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的

数学思想和归纳的数学思想.

阶

(4)通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生

明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力.

段

(5)探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公

式的意义、理解算法的意义.

目

3.情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，

标

帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素

材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望.

教学重点

1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运

用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运

用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半及其运用.

4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及

其运用.

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆.

6.直线L和。0相交=d<r；直线L和圆相切<=>d=r；直线L和。0相离

Od>r及其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一

些具体问题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的

连线平分两条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系:d与口和0之间的关系:外离=d>ri+r2；外切<=>d=ri+r2；

相交Ir2-ri|<d<ri+r2；内切<=>d=|rrr2I；内含<=>d<|r2-ri|.

11.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角9之间的等量关系并应用这

个等量关系解决具体题目.

12.n°的圆心角所对的弧长为L=n°7iR-18O°,n°的圆心角的扇形面积是

_rmt2

'=1而■及其运用这两个公式进行计算.

13.圆锥的侧面积和全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一

些实际问题.

3.有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探索及应用.

6.直线和圆的位置关系的判定及其应用.

7.切线的判定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探索与运用.

9.圆和圆的位置关系的判定及其运用.

10.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角。的关系的应用.

S二界一一

11.n的圆心角所对的弧长L=n，R；180。及‘-360的公式的应用.

12.圆锥侧面展开图的理解.

1.教学内容

1.本单元数学的主要内容.

(1)圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角.

(2)与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆

的位置关系.

(3)正多边形和圆.

(4)弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积.

单

元

教2.本单元在教材中的地位与作用：

材学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许

多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验.本章是在学习了这些直线型图

说形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线——圆的有关性质.通过

本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、

明归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆

锥曲线的学习的基础性工程.

单元课时分配

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

24.1圆3课时

24.2与圆有关的位置关系4课时

24.3正多边形和圆1课时

24.4弧长和扇形面积2课时

教学活动、习题课、小结3课时

圆⑴

课题24.1

备课

宋年海单位曙光学校

教师

知识与技能：了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆

的概念解决一些实际问题.

过程与方法：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆

的有关概念.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线

教学目标

都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻

辑证明加予理解.

情感态度价值观：从圆基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培

养运动几何的观点，增强审美意识.

1.重点：垂径定理及其运用.

重点

2.难点：：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

难点

教法讲授法演示法

学法示范指导法启迪思维法

教学过程设计意图

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举出生活中的圆三、四个.提出问题，

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？让学生带着

老师点评（□答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个问题去学

定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.习，从而激

二、探索新知发学生的学

从以上圆的形成过程，我们可以得出：习兴趣，自

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端主探究主动

点所形成的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径.获取知识

以点O为圆心的圆，记作“。O”，读作“圆O”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O,半径为r的圆可以看成是

所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作从实际入手

^AB”，读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示^ABC叫可以更好、

做优弧，小于半圆的弧（如图所示）^AC或^BC叫做劣弧.更加直观的

把知识呈现

0给学生，帮

助学生掌握

所学知识，

加深对新知

的理解

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半

圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条

对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）L圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数

多条直径.

3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的通.过例题的

因此，我们可以得到：讲解，帮助

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.学生分析新

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：知，调动学

如图，AB是。O的一条弦，作直径CD,使CDLAB,垂足为E.生的积极

C性，增强记

忆

D

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（）即直径平分弦并且

2AE=BE,AC=BC,AD=BD,CDAB,学生及时巩

固、运用所

平分及

ABAOB.学知识，锻

这样，我们就得到下面的定理：炼学生解决

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.问题的能力

下面我们用逻辑思维给它证明一下：并且感受成

已知：直径CD、弦AB且CD_LAB垂足为E功的快乐

求证：AE=BE,AC=BC,AD=BD.

分析：要证AE=BE,只要证AE、BE构成的两个三角形全等.因此，

只要连结OA、OB或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、OB,贝!]OA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

A____

OA=OA

OE=OE

ARtAOAE^RtAOBE

，AE=BE培养学生分

.••点A和点B关于CD对称1析归纳的能

©O关于直径CD对称力，交流合

作的意思和

，当圆沿着直线对折时，点与点重合，与重合，）

CDABAC3cAL语言组织能

力

与30重合.

AAC=BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（本题的证明作为课后练习）

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD,点O是CO白勺

圆心，其中CD=600m,E为CD上一点,且OE_LCD,垂足为F,EF=90m

求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解4班过程中使用了列方程的方法，这不中

用代数方法解决几何问题即几何代数解E向数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接OC

设弯路的半径为R,则0F=（R-90,m

11

VOE±CDCF=-CD=-X600=300（m）

22

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=30（）2+（R-90）2解得R=54f

7

.••这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P82.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示，正常水位下水面宽

AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时

是否需要采取紧急措施？请说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，

只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在Rt^AOC中，AC=30,CD=18

R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324

解得R=34（m）

连接OM,设DE=x,在RtzXMOE中，ME=16D

342=162+（34-X）2

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得（不合设）-----

XI=4,X2=64LC----------\B

ADEMo

不需采取紧急措施.

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P87复习巩固1、2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

4.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,如果AB为。O的直径，弦CDLAB,垂足为E,那么下列结论

中，错误的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如图2,00的直径为10,圆心0到弦AB的距离0M的长为3,则弦

AB的长是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。0中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结

论中不正确的是（）

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

二、填空题

1.如图4,AB为。0直径，E是3c中点，0E交BC于点D,BD=3,AB=10,

则AC=.

2.P为。。内一点，0P=3cm,。。半径为5cm,则经过P点的最短弦长为

;最长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为。。的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那

么（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1.如图24-11,AB为。O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN_LCD、

DM±CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等，说

明理由.

2.如图，。。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,ZDEB=30

求弦CD长.

课题

概念练习

练习

练习

教学反思:

圆（第课时）

课题24.12

备课

宋年海单位曙光学校

教师

知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧

中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，

及其它们在解题中的应用.

过程与方法：通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和

教学目标旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决

一些具体问题.

情感态度价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体

会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣.

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦

重点

也相等及其两个推论和它们的应用.

难点

2.难点：探索定理和推导及其应用.

教法演示法讲授法读书指导法

学法提示知道法反复指导法

设计意

教学过程

图

及时复

一、复习引入

习有助

（学生活动）请同学们完成下题.

于让学

已知△OAB,如图所示，作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形.

生回顾

A所学知

A识,建立

已有知

识和新

知的联

0系,为本

节课的

老师点评:绕0点旋转,0点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB，

学习做

=30°.

好铺垫

二、探索新知

如图所示，/AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

提出问

题，让学

生带着问

(学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题：题去学

如图所示的。O中，分别作相等的圆心角/AOB和/A'OB'将圆心习，从而

角/AOB绕圆心0旋转到/A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什激发学生

么？的学习兴

趣，自主

探究主动

AB=A'B',AB=A'B'获取知识

理由：\•半径0A与O'A'重合，且/AOB=/A'OB'

，半径OB与OB'重合

:点A与点A'重合，点B与点B'重合

A3与A'5'重合，弦AB与弦A'B'重合

AAB=A'B',AB=A'B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请

同学们现在动手作一作.

(学生活动)老师点评：如图1,在。O和。O'中，分别作相等的圆心

角/AOB和/A'O'Bz得到如图2,滚动一个圆，使0与0,重合，固定

通

过例

圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得0A与O'A，重合.

学

题让

用

生会

的

所学

解

知识

氐

阿项

特别

是

要注

意

总综

以

便对

今

后的

学

习会

有

(1)(2)所蒯

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：弧AB=MA，B/,AB=AB/.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学

思想上去呢——化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

I在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对

的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对

的弧也相等.

(学生活动)请同学们现在给予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在。。中，弧AB=MAC,ZACB=60°,求证ZAOB=

ZBOC=ZAOCo

证明：：弧AB用JlAC

；.AB=AC,△ABC是等腰三角形。

又/ACB=60°

AABC是等边三角形AB=AC=BC

ZAOB=ZBOC=ZAOCo

利

练

用

三、巩固练习

习

巩

来

教材P83练习1教材P83练习2.

固

生

学

四、应用拓展

对

所

学

例2.如图3和图4,MN是。O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一

知

识

的

点P,ZAPM=ZCPM.

理

解

和

(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

运

用

在

(2)若交点P在。。的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；

练

习

的

若不成立，请说明理由.

程

过

中

学

生

A是

到

锻

得

炼

(3)(4)

分析：(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只

要说明它们的一半相等.

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

解：(1)AB=CD

理由：过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F

ZAPM=ZCPM

：.Z1=Z2

OE=OF

连结OD、0B且OB=OD

.*.RtAOFD^RtAOEB

；.DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

(2)作OE_LAB,OF±CD,垂足为E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

ARtAOPE^RtAOPF

・・・OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF

・・・N1+N2=N3+N4

・・・AB=CD

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.作业的

设计层

次分明，

六、布置作业由浅入

1.教材P87复习巩固34.深，让不

同的学

生都得

2.练习册24.1.到锻炼

课题

例练习

板例练习

书例练习

设

计

教学反思:

圆（第课时）

课题24.13

备课

宋年海单位曙光学校

教师

知识与技能：1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径.

教学目标4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

过程与方法：设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关

系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定

理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.

情感态度价值观：从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概

念解决一些实际问题.

重点1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

难点2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

教法演示法探究法

学法理解记忆法理清思路法

教学过程设计意图

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？复习回顾

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？式导入教

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.学有助于

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量学生对已

相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.有知识的

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心加深理

上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是解，并为

我们今天要探讨，要研究，要解决的问题.本节课的

二、探索新知学习做好

问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员准备

们只能在所在的。。其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，

我们可以发现像/EAF、ZEBF,/ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且

两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言.

老师点评：鼓励学生

1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.发现问

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.题，自主

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.的去分析

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,问题、解

并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半."决问题

（1）设圆周角/ABC的一边BC是。。的直径，如图所示

VZAOC是AABO的外角

ZAOC=ZABO+ZBAO

VOA=OB

ZABO=ZBAO

.*.ZAOC=ZABO

ZABC=-ZAOC

2

（2）如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么/

ABC=-ZAOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过

2

程.

老师点评：连结B0交。0于D同理/AOD是△ABO

的外角，/COD是aBOC的外角，那么就有/AOD=2/

ABO,ZD0C=2ZCB0,因此/AOC=2/ABC.

（3）如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条

直径0D的同侧，那么NABC=，ZAOC吗？请同学们独

2

立完成证明.

老师点评：连结OA、0C,连结B0并延长交。。于通过例题

D,那么/AOD=2/ABD,ZCOD=2ZCBO,而/ABC=/ABD-的学习，

让学生会

ZCBO=-ZA0D--ZC0D=-ZAOC

222用所学的

现在，我如果在画一个任意的圆周角/AB'C,同样可证得它等于同弧知识解决

上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的.问题，学

从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：会新知的

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆运用帮助

心角的一半.学生分析

进一步，我们还可以得到下面的推导：问题

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推