北师大八年级数学下册教案第四章

目录

第4章因式分解

公式法

提公因式法

因式分解思考与回顾

第四章-小结与复习

第四章因式分解

1.因式分解

教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念.

2.认识因式分解与整式乘法的相互关系一一互逆关系（即相反变形）并能运用这

种关系寻求因式分解的方法.

3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体

验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能

力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.

情感与态度：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学

态度。

重点：因式分解的概念

难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间「的相互关系寻求因

式分解的方法

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：复习回顾，比较探究（数一形一式）概念，引出概念

（确认概念属性），类比笏习，反馈练习，小结

第一环节复习回顾：

活动内容：下题简便运算怎样进行

问题1：736X95+736X52,-2.67X132+25X2.67+7X2.67

设计意图：

观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积，的形式，

此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.引入

这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简

便方法计算一一因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的

概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。

第二环节比较探完：

活动内容：问题3：(1)94-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你

的想法与同学交流。

99-99=99X99:-99=99(99:-1)

.,.993-99能:被99整除

(2)9牙-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同

学交流。

小明是这样做的：99:-99=99X99—99X1=99(99:-1)

=99(99+1)(99-1)

=99X98X100

所以99,-99能被100整除

活动目的：

以一连串的知识性问题引入，在学生己有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数

的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入

深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解

的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。

想一想：(1)在回答99,-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

(2)请你说明小明每一步的依据。

(3)99：'-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？

与同学交流。

(老师点拨：回答这个问题的关键是把99^99化成了怎样的形式？)

小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。

可以了解：99~99可以被98、99、100三个连续整数整除.

将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗？

①你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

②这样变形是为了达到什么样的目的？

活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将99换成其他任意一

个大于1的整数，上述结论仍然成立吗？”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出

〃-a=3-l)xax(a+l),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个

别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识.，是对学生思维能力水平的一次

提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直

观认识。

议一议：

观察下面拼图过程.写出相应的关系式.

经历从分解因数到分解因式的类比过程。探究概念本质属性。

第三环节：引出概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

第四环节：类比练习

活动内容：

计算下列式子：

(1)3x(x-1)=；

(2)m(a+b-l)=；

(3)(m+4)(m-4)=；

(4)(y-3)2=；

根据上面的算式填空：

(1)3X2-3X=；

(2)ma+mb-m=;

2

(3)m-16r=；

(4)y2-6y+9=.

思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明

活动目的：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么

是分解因式，这个时候，分解因式的概念己基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运

算逐步过渡到因式分解，.发展学生的逆向思维能力.

第五环节反馈练习

活动内容：

1、看谁连得准

xt-y2.(x+3)2

9-25x:y(x-y)

X2+6X+9(3-5x)(3-F5x)

xy-y:(x+y)(x-y)

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

(1)(a+3)(a-3)=a*-9

(2)m:-4=(m±2)(m-2)

(3)a*-b*+l-(a+b)(a-b)+l

(4)2支R+2打尸2式(R+r)

活动目的：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概

念的本质属性加深对新概念的掌握。

第六环节：小结

活动内容：(1)你能说说什么是分解困式吗？

把一个多项式化成.几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

(2)应该怎样认识“因式分解”？

分解因式与整式乘法是互逆过程.

分解因式要注意以下几点：

1.分解的对象必须是多项式.

2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.

3.要分解到不能分解为止.

活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性。

巩固练习：课本第94页习题2.1第3,4,5题

四、教学反思

关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有

效的数学概念课教学.是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。

本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比,方法，在概念引

入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过

程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始

一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进

一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。

3公式法

-J教学目标

「知识写技能」

经历平方差公式,完全平方公式逆向运算的推导过程，使学生理解用公式法因式分解的意义，掌握

每个公式的特点，使学生熟练地运用公式法将多项式进行因式分解.

熟练掌握各个乘法公式的模式.观察多项式的项数，是二项的，有可能可用平方差公式;是三项的,

则有可能可用完全平方公式，并且要正确确定公式中的项.

ho糠与侨

培养学生分析问题的能力，这种能力实质上是一种特殊技巧，需要通过学生自己的实践来获得.

教学重难点

【重点】掌握因式分解的三个公式的特点，牢固地记住这些公式.

【难点】根据要分解的多项式的形式和特点，熟练地运用公式进行因式分解.

第田课时

■整体设计

-I教学目标

「知识写技能」

1.理解平方差公式的本质:结构的不变性，字母的可变性.

2,会用平方差公式进行因式分解.

3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法，再考虑用公式法分解.

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维，渗透数学的互逆、换元、整

体的思想，感受数学知识的完整性.

ho级用

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维

和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.

教学重难点

【重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法.

【难点】用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.

教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习有关提公因式法分解因式的知识.

区1教学过程

团1新课导入

导入一：

【问题】填空.

(1)(A+5)(X-5)=；

(2)(3x+y)(3x-y尸；

(3)(3m+2n)(3m-2n)=.

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

⑴?25=；

(2)9?-y2=；

⑶9毋_4〃2=________

［设计意图］学生通过观察、对比把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用，发展学生的观察能

力与逆向思维能力.

导入二：

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习

了提公因式法分解因式，即如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从

而将多项式化成几个因式乘积的形式.

如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢？当然不是,只要我们记住

因式分解是整式乘法的逆过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另

外一种因式分解的方法一一公式法.

［设计意图］复习之前学过的知识后才是出疑问，直接引入新课,开门见LJ,激发学生的学习兴趣.

2新知构建

一、用平方差公式分解因式

请看乘法公式：

(a+b)(a-h)=cT-b2.(1)

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是：

a2-b2=(a+b)(a-b).(2)

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否为因式分

解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解.

等式(1)是整式乘法中的平方差公式，等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.

是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式，将多

项式分解成两个整式的和与差的积•如：

X2-16=X2-42=(X+4)(X-4);

9/-4〃2=（3刈2-（2力2=（3机+2〃）・（3加-2”）.

［设计意图］让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行

1列练习.

二、例题讲解

［过渡语］同学们，前面我们学习了用平方差公式分解因式，下面我们通过几个例题来巩固所学的

知识.

(教材例1)把下列各式因式分解：

1

(1)25-16?;⑵9/•务2

解:⑴25-16X2=52-(4X)2=(5+4X)(5-4X).

(2)9。2-4。2=(3。)2-(2)=(3。+2。)♦(3。-2。).

(教材例2)把下列各式因式分解：

(l)9(m+n)2-(m-n)2;

⑵2?・8x

解:⑴9(加+力2・(加研

=［3(m+n)+(m-n)］\3(m+n)-(m-n)］

=(3m+3n+fn-n)(3m+3n-m+n)

=(4m+2n)(2m+4n)

=4(2m+n)(m+2n).

(2)2¥3-8.V=Z^(X2-4)=2A(X+2)(X-2).

说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式;教材

例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式,教材例2的⑵是先

提取公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分

解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.

［设计意图］教师讲解例题，明确思维方法，给出书写范例.

区课堂小结

平方差公式:a2-l7=(a+b)(a-b).

我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，那

么第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.

分解因式以后，若所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能

分解为止.

除检测反馈

1.下列因式分解正确的是()

Aj：2+/=(x+y)(x-j,)

B

C，+y2=(x+))2

Dj?y=(x-yf

解析，+『不能在有理数范围内医式分解储-y2=(x+.y)a-y).故选B.

2.分解因式:『4斫.

解析:/析a=a(『•4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).

3.(恩施中考)因式分解:9力令力3=

解析源式二尔9幺・)，2)=切(3%+),)(3冷).故填力(3x+y)(3x・y).

4.已知』・)?=69,工+7=3,贝ijx-y=.

解析:因为*-『=69,所以(x+y)(x-)，)=69,因为x+.y=3,所以3(“)=69,所以工-产23.故填23.

5.分解因式：(3〃-2历2_(2.+3b)2.

解：(3a-2b)2-(加+36)

=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]

=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)

=(5a+b)(a-5b).

15板书设计

第1课时

一、用平方差公式分解因式

二、例题讲解

01布置作业

-教材作业

【必做题】

教材第100页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第100页习题4.4的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.4?+/B.-/+81

C.-25诡〃2D.p2_2p+1

2.一个多项式分解因式的结果是。3+2）（2-/）,那么这个多项式是（）

A.b2-4B.4/6

CN+4D.4-Z?9

3.（孝感中考）分解因式：（〃-/产4心.

4.（鄂州中考）分解因式Z加4出k.

【能力提升】

5.在括号内填上适当的因式.

(2：H6«2-I=(________)(________)•

【拓展探究】

6.把下列各式分解因式：

(1)4?-25/；(2)x>-y；

(3)4?-(y-z)2；(4)(X+2)2-9.

【答案与解析】

LB

2.B(解析:这个多项式是22・(/)2=4/6故选B.)

3.(a+b)(a-3b)(解析：原式二(a-H2力)(々--2方)=(a+b)(a・3b).故填(a+b)(a・3b).)

4.“〃(a+2)(a-2)(解析源式=出>(。2>4)=〃〃(4+2)(4-2).故填ah(a+2)(a-2).)

5.(l)2+x2-x(2)4。+14a-1

6.解:⑴4/-25)?=(2r+5)，)(22j).(2)O-)=>(X2-1)=>(X+1)(X-1).

(3)4/心-zy=(2x)2_&_z)2=(2x+y_z)(2x-y+z).(4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).

0教学反思

Qj成功之处

本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的口寸间和

空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出分解因式的关系式，同

时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.

Q]不足之处

课堂中的布局有待提高，以后应最大限度地发挥学生的主体作用.部分例题可以交给学生独立完

成，不能完全由老师来操办.

⑥再教设计

有意识地培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是可以改善学生学

习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习惯，提高

学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质.

旧教材习题解答

随堂练习(教材第100页)

1.(1)X(2)7⑶X⑷X

2.解:⑴原式=(ab+m)(ab-ni).(2)原式=[(ni-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]=(m-a^n+b)(fn-a-n-b).(3)原式

=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]=(x+a+h-c)(x-a-b+c).(4)原式

=816x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y24x2)=(9y2+4?)(3)>+2x)・(3y-2x).

3.解:剪去前正方形的面积为fcn?,剪掉的4个小正方形的面积和为4/cm2,所以剩余部分的面积为

/4/=(4+26)(4-2与(co?).当於3.6力=0.8时，剩余部分的面积为(3.6+2x0.8)(3.6-2x0.8)=10.4(cm2).

习题4.4(教材第100页)

1.解:⑴原式=(〃+9)(4-9).(2)原式=(6+»・(6・x).(3)原式=(1+45)(1-46).(4)原式=(〃?+3〃)(〃卜3〃).(5)

原式二(0.5q+llp)・(0.5q-llp).⑹原式=(13x+2y)(13x-2y).⑺原式=(3ap+bg)(3ap-Z?g).⑻原式

J/哪”)

2.解：(1)(in+n)1-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m•(m+2n).

[2}49(a-b)2-\6(a+b)2=\7(a-b)f-[4(a+b)f=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(la-lb+4a+4b)(la-7b-4a-4b)=(\

1a-3h)(3a-\\h).(3)(2x+y)2<x+2>02=[(2x+}0+(x+2^][(2x+y)-(x+2>>)]=(3x+330(x-y)=3(x+y)(x-j).

⑷”+疗-的，2=,+)2+孙)“+丫2内)(5)3av2-3t7y4=3a(A/)=3a(x+v2)・(x-y2).

(6)p4-l=(p2+l)(p2-l)=(p2+l)(p+l)(p-l).

3.解：S环彩=7c/?2-7cr2=7c(/?2-P2)=7t(/?+r)(/?-r).当R=8.45,/=3.45,兀取3.14时，S环形比

3.14x(8.45+3.45)x(8.45-3.45)=3.14x11.9x5=186.83(cm2).答:它们所围成的环形的面积为186.83cm2.

一备课资源

。教学建议

学生在上几节课的基础上，已经基本了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级

的整式乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式,这为今天的学习提供了必要的基础.学生

对类比思想,数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是

学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验.

♦经典例题

咽是否存在一个满足下列条件的正整数，当它加上98时是一个完全平方数，当它加上121时

是另一个完全平方数？若存在，请求出该数;若不存在,请说明理由.

解:假设存在这样的正整数犯

（m+98=，，①

则由题意得宙+121=/,②

②-①得y2-?=23.

所以G+x）6r）=23.

（y+x=23,（y+x=l,

则有四种情况：ly-*=i；b-"23；

（y+x=-23（y+x=-1,

[y-x=-1；（y-x=-23.

仅=12,[y=12,0=-12"-12,

解得卜=ii；b=-n\x=-ii；[x=li.

所以加=/-98=121-98=23.

第0课时

■整体设计

）教学目标

「知识写技能」

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.

2.会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（字母指数是正整数）.

3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平

方公式进行因式分解.

过程与方法

经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学

生的逆向思维和推理能力.

尸情够度＜价面的

1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.

2.通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识.

教学重难点

【重点】掌握多步骤、多方法分解因式的过程.

【难点】学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.

教学准备

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习有关完全平方公式的知识.

一教学过程

如新课导入

导入一:

因式分解是整式乘法的逆过程，逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运

用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式：（。+6）（〃-。）=/42,而且还学习了完全平方公

式：（於与2=/±2时+力2.本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.

由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2-,

^-lab+t^^a-b）2.

由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.

［设计意图］回顾完全平方公式，直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.

导入二：

1.什么叫把一个多项式因式分解？我们已经学习了哪些因式分解的方法？

解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的

方法有提公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

⑴”支"2;(2)1

解:⑴加1)

=a?(x+l)(x-l).

(2)16"/-〃4=(4/)2_(〃2)2

=(4旭2+〃2)(4病-〃2)

=(4w2+n2)(2m+w)(2m-n).

3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？

解:有完全平方公式：(〃+6)2=『+2"+/；&历2=/24力+/

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

［设计意图］通过复习以前学过的知识自然地导入用完全平方公式分解因式.

图新知制》

一、用完全平方公式分解因式

［过渡语］同学们，下面我们分析用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2',

a2-2ab+b2=(a-b)2.

从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为是一个整式的平方，还有一项

符号可“+”可，它是那两个整式乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全

平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.

上面式子左边的特点：(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且这两项能写成数或式的平方的形

式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.

上面式子右边的特点:这两数或两式和(或差)的平方.

用语言叙述为:两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平

形如cr+2ab+b2或cr-lah+b1的式子称为完全平方式.

由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式

因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.

［设计意图］加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的因式分解做铺垫.

二、例题讲解

［过渡语］我们刚学习完用平方差公式分解因式，而用完全平方公式分解因式与前面学习的方法

有相似之处我们一起来体验一下吧.

(教材例3)把下列完全平方式因式分解：

(l)?+14x+49；

(2)(加+〃)2-6(〃?+〃)+9.

(解析)首先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的

a.b可以是单项式，也可以是多项式.

解:⑴f+14x+49

=r+2x7x+72

3产.

(2)(m+n)2-6(m+n)+9

=(/n+/2)2-2x(/n+/i)x3+32

=［(/n+/2)-3］2

=(m+n-3)2.

(教材例4)把下列各式因式分解：

⑴3-+6叼+3。)?；(2)-』-4声4邛

(解析)对一个三项式，首先要仔细观察它是否有公因式，若有公因式，则应先提取公因式，再考

虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是"+”号时,可以先

提取"/号,然后再用完全平方公式分解因式.

1)3ax2+6axy+3ay2

=3a(^?+2x)^y2)

=3a(x+yf.

⑵-fw)2+4孙

=-(x2-4.r}H-4y2)

=-[X2-2・x・2y+(2)，)2]

=-(x-2y)2.

[设计意图]培养学生对完全平方公式的应用能力，让学生理解在完全平方公式中的。与〃不仅

可以表示单项式,也可以表示多项式.

良课堂小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全

平方式，那么再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式进行适当变形，得到一个完

全平方式，然后再把它因式分解.

(2)在选用完全平方公式分解因式时,关键是看多项式中的第二项的符号，若是正号，则用公式

(^^-lab+b^a+b)2；若是负号，则用公式t^-lab+b^a-b)2.

4检测反馈

1.下列各式是完全平方式的是()

A.l6x--4x>M-y_B.m~+mn+n

1

C.9J-24"+16户D.r+2cW+V

答案:C

2.把多项式3丁-6力+3城因式分解结果正确的是()

AX3x+y)(x-3.y)B.3x(r-2x)^+/)

Cj(3x-y/D.3x(x-y)2

解析:多项式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可.故选D.

3.下列多项式:①F+x)，-y2;②-/+加-)，2;③与叶/+)，2;④l-x+彳.其中能用完全平方公式分解因式的是

()

A.①②B.0®C.①④D.®®

答案:D

4.若a+b=3,则2/+4时+2后的值为.

解析:,・•a+b=3,J2J+4aH2/=2(a+b)2=2x32=18.故填18.

5.(温州中考)分解因式:编2〃+1=.

解析：J-2a+1=1_2•a•l+12=(a-])2.故填(a/)?

6.分解因式：

(l)a2+8a+16；(2)l-4r+4/2.

解:⑴("4尸.

⑵(12)2.

01

第2课时

一、用完全平方公式分解因式

二、例题讲解

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第102页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第103页习题4.5的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.把下列各式因式分解：

(1i25"P-80〃?+64;⑵4a2+364+81;

⑶4户20网+25/；(4)16-8x)，+/y2.

【‘能力提升】

2.把下列各式因式分解：

(\'\cTtr-4ab^4\

(2：la4-8a2Z?2+16Z?4.

【拓展探究】

3.把下列各式因式分解：

(l)m2n-2wn+l;

⑵7"用・14不+7。叫

【答案与解析】

1.解:(1)25Z»2-80W+64=(5W-8)2.(2)4a2+36a+81=(2a+9)2.(3)4p2-20p^+25^2=(2p-5^)2.

(4)16-8xy+A?/=(4-Ay)2.

2.J?：(1)O2/>2-4ab+4=(ab-2)2.(2)a4-Sa2b2+1()b4=(a2-4b1)2=[(a+2b)(a-2b)]i=(a+2b)2(a-2b)2.

3.解:⑴病”・2/+l=(*⑴2.⑵7产」4/+7//=747324+1)=7〃〃“11)2.

区）教学反思

Q）成功之处

本节课的设计尽量做到了平实无华，将新知教学层层深入，并进行了适当的巩固练习，每一个环节

都让学生不感觉吃力，同时在例题讲解过程中注意了题型的变化，引导学生暴露出学习中的问题，这样

易于激发学生学习的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的.

不足之处

运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高.

再教设计

在教学过程中，要有意识地引导学生再熟悉乘法公式的来历以及乘法公式的结构,多注意培养学

生认真观察的良好习惯.

E教材习题解答

随堂练习(教材第102页)

11/m+3n)2

1.解:⑴⑶是完全平方式.⑴包I2/，⑶4/+3加〃+9〃2=12).

2贵示:⑴(『6寸.(2)(4廿+3/产.(3)-(x+y)2.(4)(2・3x+3yf.

习题4.5(教材第103页)

R中1仔

1.强示:⑴(盯-1)2.⑵(32)2.⑶[2)或4(2尹1产(4)(5机-8-.⑸9.⑹("-2了.

2.解：(1)(x+y)2+6(.r+y)+9=[(x+y)+3]2=(x+y+3)2.⑵a2-2aS+c)+(8+c)2=[a-(力+c)f=(a-b-c')2.

(3)4x>,2-4x2j-y3=>,(4;9?-4x2-y2)=-y,(4x2-4x>H-y2)=-y(2r-j)2.

(4]-a+2a2-a3=-(a-2a2+a3)=-a(1-2a^)=-a(1-a)2.

1

3廨:答案不唯「如2.r,-2rA4.

4.解：能.设这两个连续奇数为2〃-1和2〃+1(〃是整数)，则

伽+1片(2〃-1尸=(2〃+1-2〃+1)・(2〃+l+2i!-l)=2x4〃=8〃.因为n是整数，所以两个连续奇数的平方差能被8

整除.

复习题(教材第104页)

1.提示：(l)7(x+3)(x-3).(2)a(a+1)(a-1).(3)3(a+b)(a-b).⑷-(3x+4y)(3x+2y).(5)(x-y)(a+Hc).

(6)(m+n)(x-y+1).(7)(5x-3y)(5y-3».(8)(a-W(a+b).(9)4心+z).(10)(x+y7产.

2.提示:⑴(〃H0.1)(岫-0.1).⑵y(x-y)2.⑶(4+2a+36)(4-2a-3垃(4)(a+2)2(a-2)2.(5)

(6)(av+8)2.(l)(a+2h)2(a-2h)2.(8)(3+。+力产.

222

3.解：⑴原式=(3.r+2y).VA-3ty=-2、：.原式=[3x3+2x(2)]=3=9.(2)原式

a+ba-ba+ba-b111

J丁+〒)(丁-〒)=".・・・4=其力=2,,・・原式=-&2=-4

4.解:⑴原式=2Cv+2)2或2(2r+1)2.(2)原jt=x2+3x+2+4=x2+3x+也(x+2)?.

5.解:V257-5I2=52X7-52X6=(57+56)X(57-56)=56X6X56X4=120x5257-512能被120整除.

111111

222222

6.解:*：x+y=1,/.2r+x>H-V=2(x+2xt)M-v)=(x+y)=2x1=2

7.解:⑴原式MBZORG-IRX?20".(2)^^=(-2),00X[(-2)+1]+299=2,00X(-1)+299=299X[(-2)+1]=-299.

8.解：需要混凝土的体积为兀⑵An⑵l=Rl-122)\22)勺

7545/7545\

3.14x300x(2+2)x12-2J=3.14x300x60xl5=847800(cm3),847800cm3^0.85n?.大约需0.85n?混

凝土.

2222

9.解:,・•正方形的面积是9?+6x)^(x>0,y>0)J9x+6A>-+y=(3x+>'),工正方形的边长的代数式为3x+y

10.解:•・・f+2x+l=(]+1产20,・••当x=-l时，多项式？+2x+l可以取最小值，最小值为0.

f4x-4y=96,

11.解:设正方形/的边长为xcm,正方形〃的边长为ycm.依题意，得1/-产=960,方程组化简为

(x-y=24,

1(%+y)G-y)=960,解此方程组得x=32,y=8.所以正方形/的边长为32cm,正方形〃的边长为8cm.

12.解：△ABC是等腰三角形.理由如下：c/-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=O,a+b+cW

0,二。七=0,即a=b,：,△48。是等腰三角形.

13.解:,・•要使100上去廿49)2是一个完全平方式，也就是要使(10回2-5，+(7力2是一个完全平方

式,・・--"y=2-10x-7y或-hy=-2•\0x•ly,：.k=±\40.

14.

解：2%1=(2%)2-1=(2%+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)•(26+1)(26-1)=(224+1)(2,2+1)(26+1)

(2$+l)・QU).其中06+1)=65,(26-1)=63.因此这两个数是65,63.

325n+1

15.(1)4(2)3(3)8原式=2n.

一备课资源

1,教学建议

学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式,将其逆用就是本节课所涉及的主要知识.

对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程,

应该说是比较熟悉的.通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验.本节课的学习模式与上节课基

本相同:公式逆用,分析公式的结构特征，整体换元进行因式分解，同时要求分解彻底.这些活动采用的

方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验.

经典例题

例1分解因式:4a2b2./+庆。2尸

解:原iA=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2^c2)

=[(。+切2・。2]匕2«+切2]

=(a+b+c)(a+b-c)(c+a+b)(c-a-b)

=-(a+b+c)2(a+)-c)2.

Qi易错辨析

易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底

例2分解因式:36f-36x+9.

错解:367-36x+9=(6x-3尸.

错因分析:分解时没有首先考虑提取公因式，导致分解不彻底.

iEft?:36r-36x+9=9(4x2-4x+1)=9(2x-1)2.

例3分解因式：9/4后

错解:9/_4/=(34-2与2.

错因分析:将平方差公式与完全平方公式混为一谈，从而出现张冠李戴的现象

正解：9a2-4Z;2=(3q+2Z?)(3a-2Z?).

例4分解因式:-3>〃+6皿〃-3几

错解：-3"F〃+6m〃-3〃=3〃(-/〃2+2/〃-1).

错因分析:首项中的负号没有提出，造成分解不彻底.

IEft?：-3m1n+6mn-3n=-3n(in1-2m+1)=-3/i(m-1)2.

11

例5分解因式22也什力/.

11

错解：2a2_q6+5/)2=a2+62=(4人)2

错因分析:将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆.

1111

222

正解：2々2_出计2b2=2^a.2ab+b)=^(a-b).

4.1因式分解教学设计

金沙县西洛街道初级中学：余艳刚

课题名称4.1因式分解教师余艳刚

科目数学班级八(4)班

学校西洛街道初级中学时间2017年4月20日

课时分钟)

教学时间1(45

知识技能

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式

教变形过程中的相反关系.

培养知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能

学数学思考

力等。

目

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生

标问题解答

的观察能力和语言概括能力.

情感态度

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了

解事物间的因果联系.

.理解因式分解的意义.

重点1

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

难点

观察讨论法

教法

教具纸片

教学过程教学内容流程师生活动流程设计意图

［师］大家以前学过整式

回忆整式乘法

乘法观察图形写出式子

创设问题ma+mb+mc=m(a+b+c)师生互相对

情境，引入

话，学生动手能从等号右边推出等

新课思考992-1能被100整除

吗？练习号左边，因为多项式

991-1=(99+7)(99

［师］讨论992-1能被

100整除吗？你是怎样想-7)等号右边是变成

的？

了几个数的积的形式

［师］992-1还能被哪些

正整数整除？

引发学生联想到用字

讲授新课［师］从上面的推导过程

看，等号左边是一个数，母表示数的方法，得出

而等号右边是变成了几个

数的积的形式."一。=(。-1)xax(a+

2.议一议

学生讨论,这个过程对学生来说

你能尝试把a2-!化成几

个整式的乘积的形式吗？是思维上的一次飞跃，

［师］大家可以观察/―。

是从对具体、个别事物

与9炉一99这两个代数式

3.做一做的认识上升到对一般

(1)计算下列各式：

①(a+4)(«—4)事物规律性、结构性的

—__________,认识，是对学生思维能

②(x-3)2=__________;

③3x(%—1)=__________;观察，总结特力水平的一次提高，同

@m(x+y+z)=__________;时很自然的从分解因

⑤4(。+1)(。-1)点

数过度到分解因式，初

(2)根据上面的算式填步树立起学生对因式

空：

分解概念的直观认识。

①a?—16=()();学生练习

②$-6X+9=()();

③3幺一3下()();

®nvc^my+mz=()().

⑤/一〃=()().

［师］能分析一下两个题

中的形式变换吗？

(在(1)中，等号左边都

是乘积的形式，等号右边

都是多项式；在(2)中正

好相反，等号左边是多项

式的形式，等号右边是整

式乘积的形式.)通过两组互逆关系的

在(1)中我们知道从左边练习，类比两种不同的

推右边是整式乘法;在(2)根据学生回答

中由多项式推出整式乘积互逆运算，让学生体会

情况总结

的形式是因式分解.什么是分解因式，了解

把一个多项式化成几个整

式的积的形式，这种变形分解因式与整式乘法

叫做把这个多项式分解因的互逆关系

式

4.想一想

由a(a+1)Ca—1)得到

a)—a的变形是什么运学生思考，回

算?由。3—。得到。(。+1)

(。一1)的变形与这种运答

因式分解与整式乘法

算有什么不同？你还能举

是相互逆的变形.

一些类似的例子加以说明

吗？

［师］下面我们一起来总

结一下.

整式乘法与分解因式

如：m(a+b+c)

的过程类比

=ma+mb+mc(1)

tna^-fnb+fnc=m（.a+b+c）（2）

联系：等式（1）和（2）同一个多项式的两种

是同一个多项式的两种不不同表现形式•及运算

同表现形式.方法是相反方向的变

区别：等式（1）是把几个形.

整式的积化成一个多项式学生观察，回

的形式，是乘法运算.

等式（2）是把一个多项式答问题，并互

通过学生独立思考和

化成几个整式的积的形相交流

式，是因式分解.讨论探究，从具体实例

区式分曳

中进一步理解概念，抽

BPma+mb+mc螫式乘法m

（a+b+c）.象日新概念的本质属

所以，因式分解与整式乘

性加深对新概念的掌

法是相反方向的变形.

5.例题握