2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型(详解版)

拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型

三目标导航

空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到

平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很

难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点

的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离.

善,高频考点

、工知识梳理

知识点1空间中距离的定义及分类

1、定义

(1)点到点的距离，是指两点之间线段的长度.

(2)点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.

(3)两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.

(4)点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.

(5)相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.

(6)两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.

(7)异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.

注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形

成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.

④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离

2、分类情况(1)点到点的距离；

(2)点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离；

(3)点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的

距离；

(4)异面直线之间的距离.

知识点2利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法

(1)点到点的距离

方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离

具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量A分；

②计算|通|：

③距离d=|而|

(2)点到直线的距离

方法1：过点P向直线/作垂线，垂足为点Q,计算I及I即为点P到直线/的距离

具体步骤：①在直线上作点Q,使得PQ_L/；②作出可；③计算I而I；④距离"=|无|

P

--------3----------/一

。方法2：作直线上的一个方向向量AB,计算AP在方向向量AB上的投影，

在通过勾股定理计算出尸。的长度，即为点尸到直线/的距离

具体步骤：①在直线上取定两点A,B,得出向量4后，AP-,

②计算A户在AA上的投影竺型；③利用勾股定理计算|可|；④距离"=|而|

一\AB\

点到平面的距离

QB

方法：如图，在平面内取点A得出向量/，计算平面的一个法向量〃，再计算正在〃上的投影的绝对值，

即为点到平面的距离具体步骤：①在平面内取点A的出向量而；②利用平面内两条相交直线的方向向量,

AP^ARAP-AR

计算出平面的一个法向量〃；③计算而在〃上的投影:f;④”=|I

\AB\

(4)异面直线之间的距离

如图，设4,4是异面直线，〃是4,4的公垂线段A3的方向向量，又分别是4,4上的任意两点，则而

在〃上投影的绝对值即为6到4之间的距离.

具体步骤：①在直线4上取点A,c,在直线上取点B,D;②通过恁和8万计算公垂

线段的方向向量〃；③计算而在〃上的投影生二；④1=|迈二|

1«11«1

注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离

也句,其中两点A,B分别在

（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式4=

两个图形上，〃指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，〃与这两条异面直线的方向向量均垂直）.

考点精析

考点一点到点的距离

【例1-1】如图，正方体A8CD-ABCQ的棱长为1,M是棱A4的中点，。是8。的中点.求证：QW分

别与异面直线AA，8口垂直，并求0M的长.

【例1-2】如图，正方体ABC。-A4GR的棱长等于4,点E是棱。。的中

点•

(1)求直线AE与直线S.C所成的角余弦值;

(2)若底面A8CD上的点尸满足尸。，平面AEG，求线段OP的长度.

考点二点到直线的距离

【例2-1】在空间直角坐标系中，点4(1,2,0),8(0,1,0),P(2,2,2),则p到直线A8的距离为

变式1：已知在正方体ABCD-A罔CQ中，棱长为2,E为四的中点.则点E到直线A2的距离为一.

变式2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为矩形，侧棱底面ABC。，AB=5BC=l,PA=2,

E为P£)的中点.

(1)求异面直线AC与PB间的夹角的余弦值:

(2)在侧面丛8找一点N,找平面尸AC,并求出N到AC的距离.

变式3：如图所示，边长为2的正方形ABAC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且。E=及,

ED//AF且NDAF=90°.

⑴求和面BEF所成的角的正弦;

(2)求点C到直线8。的距离；

变式4：如图，正方形ABC。的中心为。，四边形08防为矩形，平面O8EF，平面ABC。，点G为A8的

中点,

(1)求证：EG//平面APF；

(2)求二面角O-EF—C的正弦值；

(3)求点。到直线EG的距离；

考点三点到平面的距离

【例3-1］已知经过点A(l,2,3)的平面a的法向量为3=,则点尸(-2,3,1)到平面a的距离为()

A.GB.2C-2&D.2百

【例3-2】如图，已知四棱锥P-ABCZ)中，PA_L平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且A8_LAC,

AB=AC=PA=2,E是BC的中点.

(1)求异面直线AE与PC所成角的大小;

(2)求点D到平面PAC的距离.

变式1：在二棱柱ABC-AAG中,平面ACGA，平面ABC,8A_LAC,四边形ACC,A,为菱形,且ZA,AC=60°,

E,F分别是棱8C,四的中点，4C=2A8=2.

(1)求异面直线AB和E尸所成角的余弦值;

(2)求G到平面AEF的距离.

变式2：如图，三棱柱A8C-ABC中，面筋。_1面44,608_14。,441=48=4。=2,ZA,AC=60.过

AA的平面交线段5c于点E(不与端点重合)，交线段8c于点尸.

(1)求证：四边形AAE尸为平行四边形;

(2)若8到平面AFC,的距离为0,求直线AG与平面"C所成角的正弦值.

变式3：如图，在四棱锥P-A3CZ)中，AD^BC,ZADC=ZPAB=9Q°,BC=8=；4。=1,£：为边4。的

中点，异面直线以与以＞所成的角为90。.

⑴在直线抬上找一点用，使得直线CM//平面P8E,并求嘿的值;

(2)若直线CD到平面PBE的距离为乎，求平面P8E与平面夹角的余弦值.

考点四异面直线之间的距离

【例4-1］定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长

方体ABC。-48c〃中，AB=\,BC=2,M=3,则异面直线AC与BC,之间的距离是()A.4

B.立C.渔D.9

767

变式1:如图所示的多面体是由底面为A3CD的长方体被截面4EFG所截而得，其中A8=4,BC=1,BE=3,

CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系.

(1)求异面直线EF与AO所成的角:

(2)求点C到截面田G的距离.

变式2：如图，在棱长为a的正方体AB8-ABCQ中，M为4G的中点，E为人£与。阳的交点，F为BM

与cq的交点.

⑴求证：BR^AG，BRJ.BC.

(2)求证：EF是异面直线AG与B。的公垂线段.

⑶求异面直线AG与8c的距离.

分层提分

题组A基础过关练

1、长方体ABCO-ABCR中，/W=A£>=2,。。=4,则点B到平面的距离为

2、如图，在正方体AB8-ABCA中，棱长为2,E为的中点.

⑴求BG到平面A。E的距离.

(2)若A"面AEQ=M,求空.

CM

3、设在直三棱柱ABC-A8C中，AB=AC=AA]=2,ABAC=90°,E,F依次为CG，BC的中点.

(1)求异面直线a&EF所成角。的大小(用反三角函数表示)

(2)求点C到平面AEF的距离.

4、在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AAt=2,ZBAC=90,点E,尸分别为BC,CC,的中点.

AB,±EF.

(2)求直线AB｝与平面AEF所成的角；

⑶求点4到平面AEF的距离.

5、在如图所示的几何体中，四边形A3Q)为矩形，AFlYffiABCD,EF//AB,")=2,AB=AF=2EF=l,

点P为棱。尸的中点.//卜\

BC

(1)求证：8尸〃平面APC；

(2)求直线。£与平面8b所成角的正弦值；

(3)求点E到平面APC的距离.

6、如图，在四棱锥P-ABC£＞中，以，平面A8CD,AC±AD,AB1BC,ZBAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

P

\\

/：、'\(1)求4到平面PCZ)的距离；

D

(2)求平面PAC与平面PC。夹角的余弦值；

(3)设E为棱3上的点，满足异面直线8E与。。所成的角为30。求AE的长.

7、如图，AABC内接于。。，A8为。。的直径，45=10,BC=6,8=8,且CDJ_平面ABC,E为AD

D

⑴求证：平面BCEJ_平面的＞；

⑵求异面直线BE与AC所成的角；

(3)求点A到平面BCE的距离.

8、在直三棱柱ABC-A4G中，ABVAC,AB=AC=2,AA=4,点。是8C的中点.

(1)求异面直线AG所成角的余弦值;

(2)求直线AB|与平面GA。所成角的正弦值;

(3)求异面直线48与A/)的距离.

9、如图，在三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,AB=2y/3,AC=2BC=4,且。为线段AB的中点,

BCLA.D.

(2)若B｝到直线AC的距离为M,求平面与AC与平面\CD夹角的余弦值.

题组B能力提升练

1、平行四边形ABC。所在的平面与直角梯形ABE尸所在的平面垂直，BE^AF,AB=8E=；AF=1,且

=为"的中点.

(1)求证：ACYEF；

BE

(2)求点P到平面BCE的距离；

⑶若直线EF上存在点H,使得直线CR3H所成角的余弦值为半，求直线与平面ADF成角的大小.

2、如图，梯形ABC。，A8EF所在的平面互相垂直，AB\\CD,AB\\EF,CD=EF=\,AB=AD=AF=2,

rr

ZBAD=ZBAF=-,点M为棱8E的中点.

⑴求证：平面ABC。；

(2)求二面角C-OF-8的余弦值；

⑶判断直线AM与平面。CE尸是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线AM到

平面。CEF的距离.

3、如图，在四棱柱ABC£)-AB|CQ中，侧棱例"L底面A8CRA8J_403=1,40=44,=2,AD=CD=6，

且£是。Q的中点.

⑴求点。倒平面做C的距离;

(2)设尸为棱A蜴上的点，若直线EF和平面ABC。所成角的正弦值为。，求线段AF的长.

4、如图，在四棱锥/M8CZ)中，底面ABC。为矩形，侧棱融团底面48C。，AB=6,8c=1,PA=2,E为

P。的中点.

(1)求异面直线AC与PB间的距离;

(2)在侧面R18内找一点N,使平面PAC,并求出N到48和AP的距离.

___…JT

5、如图，在四棱锥P-AB8中，底面ABCZ)为菱形，且AB=2,ZABC=2乙BAD,ZPDC=-,点M为

棱OP的中点.

(1)在棱8C上是否存在一点N,使得CM〃平面PAN,并说明理由;

(2)若P8_LAC,二面角。的余弦值为逅时，求点A到平面BCM的距离.

6

题组C培优拔尖练1、【多选】如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，54，平面回。,&4=48,

0,尸分别是ACSC的中点，M是棱SO上的动点，则下列选项正确的是(

OM1PA

B.存在点M,使。M//平面SBC

C.存在点M,使直线0M与AB所成的角为30。

D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

2、如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SB=BC=AC=y[5,SC=AB=2,E,尸分别为A8,SC的中点.

s

F

，弋(1)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；

B

(2)给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异

面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面

直线的距离.根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量

在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.

请根据以上定义和理解，求异面直线SE,〃尸的距离d.

3、在三棱锥S—ABC中，SA=BC=2,SC=AB=0SB=AC=石.记BC的中点为M,弘的中点为N,

则异面直线AM与CN的距离为.

4、如图，将边长为4的等边三角形ABC沿与边8c平行的直线E尸折起，使得平面但'_L平面8CEF,。为

E尸的中点.

(1)求平面尸与平面AE3所成角的余弦值;

(2)若8E1平面AOC,试求折痕E尸的长；

(3)当点°到平面A8C距离最大时，求折痕EF的长.

拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型

三目标导航

空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到

平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很

难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点

的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离.

善,高频考点

、工知识梳理

知识点1空间中距离的定义及分类

1、定义

(1)点到点的距离，是指两点之间线段的长度.

(2)点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.

(3)两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.

(4)点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.

(5)相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.

(6)两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.

(7)异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.

注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形

成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.

④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离

2、分类情况(1)点到点的距离；

(2)点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离；

(3)点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的

距离；

(4)异面直线之间的距离.

知识点2利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法

(1)点到点的距离

方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离

具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量A分；

②计算|通|：

③距离d=|而|

(2)点到直线的距离

方法1：过点P向直线/作垂线，垂足为点Q,计算I及I即为点P到直线/的距离

具体步骤：①在直线上作点Q,使得PQ_L/；②作出可；③计算I而I；④距离"=|无|

P

--------3----------/一

。方法2：作直线上的一个方向向量AB,计算AP在方向向量AB上的投影，

在通过勾股定理计算出尸。的长度，即为点尸到直线/的距离

具体步骤：①在直线上取定两点A,B,得出向量4后，AP-,

②计算A户在AA上的投影竺型；③利用勾股定理计算|可|；④距离"=|而|

一\AB\

点到平面的距离

QB

方法：如图，在平面内取点A得出向量/，计算平面的一个法向量〃，再计算正在〃上的投影的绝对值，

即为点到平面的距离具体步骤：①在平面内取点A的出向量而；②利用平面内两条相交直线的方向向量,

AP^ARAP-AR

计算出平面的一个法向量〃；③计算而在〃上的投影:f;④”=|I

\AB\

(6)异面直线之间的距离

如图，设4,4是异面直线，〃是4,4的公垂线段A3的方向向量，又分别是4,4上的任意两点，则而

在〃上投影的绝对值即为6到4之间的距离.

具体步骤：①在直线4上取点A,c,在直线上取点B,D;②通过恁和8万计算公垂

线段的方向向量〃；③计算而在〃上的投影生二；④1=|迈二|

1«11«1

注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离

也句,其中两点A,B分别在

（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式4=

两个图形上，〃指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，〃与这两条异面直线的方向向量均垂直）.

考点精析

考点一点到点的距离

【例1-1】如图，正方体A8CD-ABCQ的棱长为1,M是棱A4的中点，。是8。的中点.求证：QW分

别与异面直线AA，8口垂直，并求0M的长.

/1'

4

【解析】

M

%U一------

AB

如图建立空间直角坐标系,

则。（m），M（i，Q；），A（i，O'O）,A（i，o，i），B（i,i,o）,q（o,o,i）,

---11——.——.

所以OM=（不,一5,0）,的=（0,0,1）,BR=（-1,-1,1）,

因为即招=0,诉.西=0,

所以OM_LAVOW

【例1-2】如图，正方体ABC。-AMGR的棱长等于％点E是棱。。的中点.

(1)求直线AE与直线8c所成的角余弦值;

(2)若底面A8C3上的点?满足PQ1平面REG，求线段OP的长度.

【解析】⑴如图以。为坐标原点，以D4,£)C,OA为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

贝！］A(4,0,4),E(0,0,2),B,(4,4,4),C(0,4,0),

所以戏=(T.0,-2),耳C=(-4.0,T),

设直线AE与直线8c所成的角为e(0,

星包I243M

贝［］cos0=

14sH鸵「2石*4a-10,

(2)假设在底面ABC。上存在点P,使得PRJ•平面AEG，设P(a,A,0),

因为G(0,4,4),0(0,0,4),

所以隔=(Y,4,0),匿=(0,4,2),即=®。,^),

由麻_L前，郎_L羽得，郎•而=0,印乓=0,

-4a+4b=0/、

即4,-8=0*解得〃=2斤2,即相,2,。)，

所以而=(2,2,0),|DP|=V22+22+02=2>/2,

故线段。尸的长度为2立.

考点二点至！j直线的距离【例2-1】在空间直角坐标系中，点A(l,2,0)，W0』,0),P(2,2,2),贝！|户至

直线A8的距离为

【解析】依题意得通=(TTO),丽=(1,0,2)

则P到直线AB的距离为4=，而2

故答案为：孚

变式1:已知在正方体ABC。-A4CQ中，棱长为2,E为84的中点.则点E到直线AQ的距离为.

【解析】如图，建立空间直角坐标系,

则42,0,0),刀(0,0,2),£(2,2,1),故A6=(-2,0,2),AZ=(0,2/)，

—>—»

AD•AE2__>/10

..cosND、AE=-2^}——-^―

瓜.亚-10'

\AD}\^\AE\

2

sinND\AE=Jl-cosZDtAE=,

•••点E到直线4。的距离为|AE|-sinZD.AE=石=芈

故答案为：孚

变式2：如图，在四棱锥P-A8CD中，底面A8CQ为矩形，侧棱PA,底面ABC。，AB=6BC=\,PA=2,

E为PO的中点.

(1)求异面直线AC与所间的夹角的余弦值：

(2)在侧面以8找一点N,找NEJ_平面PAC,并求出N到AC的距离.

【解析】(1)分别以A为原点，AB,AD,AP为x、y、z建立空间直角坐标系.

可得8(6,0,0),C(在1,0),可OJO),P(0,0,2),

MMAC=(V3,1,0),方=(也,0,-2),设衣与丽的夹角为。，有：

八ACPB33不3、万

cos6

=即.网=£"=工"所以异面直线AC与PB间的夹角的余弦值为詈

(2)由于N点在面R记中，故设其坐标为N*,0,z).

则诋=\x,g,I-z).由Nfl面PAC得：

MEAP=2(z-l)=0

NEAC=-^3x+-=0

2

所以而=,令丽与祕得夹角为夕

AN-ACV391-----------------口而

则cosO=2»sin®=Jl-cos,。=----

2652

因此N到AC的距离/i=|^V|-sin6»=

变式3：如图所示，边长为2的正方形A3尸C和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且=

ED//AF且/ZMF=90°.

(1)求8。和面3£F所成的角的正弦;

(2)求点C到直线8。的距离；

【解析】(1)因为AC、AD.A3两两垂直，建立如图坐标系,

则8(2,0,0),0(0,0,2),£(1,1,2),尸(2,2,0),C(0,2,0),则

丽=(2,0,-2),B£=(-l,l,2),BF=(0,2,0)

设平面的法向量”=(x,y,z),

则爆二V令z=L则2,尸。，所以―

2.2+0-2x/10

向量丽和«=(2,0,1)所成角的余弦为

MR>/22+12722+(-2)2Io",

即8。和面8砂所成的角的正弦值为画.

10

(2)因为丽=(2,0,-2),就=(-2,2,0),所以由沅=2x(-2)+0x2+0x(_2)=Y,同=2夜，困=2后,

所以点C到直线的距离d=J前/一=#

变式4：如图，正方形ABCD的中心为。，四边形O8E尸为矩形，平面平面ABC。，点G为AB的

中点，AB=BE=2.

(1)求证：£G〃平面ADF;

CD

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)求点。到直线EG的距离；

【解析】(1)证明：取A。的中点/,连接/7,GI,

因为四边形O3E尸为矩形，

则EF//OB且EF=OB,

因为G,/分别是AB,A。的中点，则G///%)且G/=；BC,

又。是正方形ABC。的中心，

则08=38。，

所以EF//GIS.EF=GI,

则四边形EF1G是平行四边形,

故EG//FI,

又尸/u平面4)尸，EG(Z平面4)「，

故£G//平面ADF;

(2)解：以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则网0,-60）,C（V2,O,O）,£（0,-V2,2）,*0,0,2）,所

以方=（0,夜,0）,CF=（-72,0,2）,

设平面CEF的法向量为"=(x,y,z),

n-EF=0__二2z=。'不妨令则""M，

则—,即

n-CF=o

因为0C，平面OEF,

则平面O所的一个法向量为而=（1,0,0）,

m-n=①=逅

所以卜=j,则二面角O-£F-C的正弦值为

!||n83"3'

（3）解：因为七（0,一夜,2）,D（0,V2,0）,G-T^T'7

贝I］瓦5=(0,2&,-2),EG=

2'2'

715

所以cos（丽，网=EDEG2+4

阿国一嬴n~r~

x.1-+—+4

V22

所以点O到直线EG的距离为d=\ED\sm（ED,EG）=2^xJ|=3空

考点三点到平面的距离

【例3-1】已知经过点A（l,2,3）的平面a的法向量为石=（1,fl）,则点P（-2,3,1）到平面a的距离为（）

A.6B.2C.2&D.273

【解析】依题意，而―，所以点P到平面&的距离为公哥|-3xl+lx(-l)+(-2)xl|_2

Vi2+(-i)2+i2

故选：D

【例3-2】如图，已知四棱锥P-A3CZ）中，抬_L平面ABC£>,AD//BC,AD±CD,且A8_LAC,

AB=AC=PA=2,E是BC的中点.

（1）求异面直线AE与PC所成角的大小;（2）求点D到平面PAC的距离.

【解析】（1）如图所示，以A点为原点建立空间直角坐标系。-型，

则3（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,故E（l,l,0）,荏=（1,1,0）,PC=（0,2-2）

cos（正定»蔺向=g,即（福鸣=60"

故异面直线AE与尸C所成角为60;

在平面ABC。中，13AB=AC=2,ABLAC,ZABC=ZACB=45',

^ADHBC,0ZDAC=ZACB=45,由RfAAC。得A。=C£>=&,

0D（-1,1,O）,又12c（0,2,0）,ECD=（-l,-l,0）,又回A3_L平面尸AC,

ABCD\

田通=（2,0,0）是平面PAC的一个法向量，所以点D到平面PAC的距离d==1

变式1：在二棱柱ABC-A^C,中,平面ACGA，平面ABC,BAA.AC,四边形ACC,A为菱形,且幺AC=60。,

（2）求G到平面AEF的距离.【解析】取AC的中点。，连接A。，\C,OE,贝IJOE〃/3,又84_LAC,

所以OELAC,

由题意知AA/C为等边三角形，又点。为AC的中点，所以AOLAC.

因为平面ACGAJ"平面ABC,平面ACGACl平面ABC=AC,4。＜=平面4。64,

所以A。J•平面ABC,又OEu平面ABC,所以AOLOE,4分

所以。A，OE,OC两两垂直，分别以OE,OC,。4所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）,

J.1⑥

则A（0,0,百），A（o,—1,0）,S（l,-l,0）,£6,0,0,C,（0,2,V3）,

.—-x+y=0,

[n-AE=02

⑵设平面诋的法向量为3=（x,%z）,贝！]_-；BPr-

'7[n-AF=0,J「

x+-y+—z=0,

令y=l,得x=-2,z=M，所以3=卜2,1,6）,

.uuirr.

A”63>/2

所以点C1到平面AE/的距离"==[方=』.

变式2：如图，三棱柱ABC-A8c中，面ABC,面AAGC,AB_L4C,AA=A8=AC=2,ZA,/1C=60.过

4A的平面交线段BC于点E(不与端点重合)，交线段BC于点尸.

(1)求证：四边形AAEF为平行四边形;

⑵若B到平面AFC,的距离为72,求直线AG与平面”G所成角的正弦值.

【解析】⑴在三棱柱ABC-ABC中，网，平面BBCC，AA<Z平面BqCC，则AA,//平面

BB©C,又平面AAEFc平面88CC=EF，441U平面44也尸，于是得的〃£尸，

而平面ABC//平面AAG，平面AAEFc平面ABC=Af,平面A^EFc平面AgG=Ag,贝IJAE//A尸,

所以四边形AAEF为平行四边形.

(2)在平面MCC内过点A作上，AC,因平面A8CL平面A4CC，平面ABCD平面A4CC=AC,

于是得Az,平面ABC,又ABLAC,以点4为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，

因/L4,=AB=4C=2,ZAtAC=60,则

B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,1,G),G(0,3,®

AB=(2,0,0),AC^=(0,3,6)，函=(2,-2,0),AC=(0,2,0),

AF=AC+CF=AC+/CB=(0,2,0)+f(2,-2,0)=⑵,2-2f,0)(0<r<l),

设平面AFG的法向量〃=(”z),贝!]]无空=：)'+fz：。令丫=乙得3=(一,「向，点8到平面

n-AF=2tx+(2-2t)y=0

\n-AB\2(17)2(1-r)

AFG的距离”=S解得

l«I4_1)2+产+(_炀2J(1)2+4产

因此，«3b而和=(0，2，°)，设直线AG与平面4FG所成角为e.

2

3

内I祠I

所以直线AC与平面AFG所成角的正弦值为正.

4

变式3：如图，在四棱锥P-ABCD中，AD^BC,ZADC=ZPAB=9Q°,BC=CQ=gAD=l,E为边AO的

中点，异面直线PA与C。所成的角为90。.

p

⑴在直线以上找一点M,使得直线CM//平面PBE,并求黑的值

/\1

（2）若直线CO到平面P8E的距离为平，求平面P5E与平面P8C夹角的余弦值.

【解析】（1）AO团8C,NADC=/E4B=90。，8c=C£>=gAO=l,E为边4）的中点，所以四边形3CDE是

正方形,

因为NPAB=90。,异面直线抬与。所成的角为90。,

所以

又因为A3,CD在平面ABC。内相交,

所以PAJ_平面A3CD,建立如图所示的坐标系：

设P(0,0"),把=4,则M(0,0,勿),

AP

令，〃=Q,0,l),

因为EB,m=0，EP»m-0，

所以而是平面PBE的法向量.

要使CM〃平面PBE,

只需GZ石=-2/+力=0,

解得：A=2；

(2)£0=(1,0,0),

因为CO团BE,

又因为BEu平面PBE,CDN平面PBE,

所以CD回平面PBE,

所以C/)到平面PBE的距离等于点D到平面PBE的距离,

/H|ED-m\t2石

于是•~~=/、=--,

\m\J厂+15

解得：t=2,

所以第=(1,0,0),丽=(-1,-1,2),

令A=(0,2,1),

因为而不=0,而^方二。，所以工是平面PBC的法向量，

由(1)可知平面PBE的法向量m=(7,0,1)=(2,0,1),

因为平面BBC与平面P8E的夹角为锐角，

|m»n|_1_1

所以平面PBE与平面P8C夹角的余弦值为:

ImHn|5/5*755

考点四异面直线之间的距离

【例4-1］定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长

方体ABCD-AACQ中，43=1，BC=2,M=3,则异面直线AC与8G之间的距离是()

A.立B.五C.迈D.9

5767

【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A(2,0,01C(0,1,0),8(2,1,0)<(0,1,3),

则衣=(—2,1,0),南=(-2,0,3),

设蓝和灰^的公垂线的方向向量3=(x,y,z),

nl(n-AC=0nn[-2x+y=0

则\,即《令无=3,则〃=(3,6,2),

n-BC,=0[-2x+3z=0

vAB=(O,l,O),

变式1：如图所示的多面体是由底面为ABC。的长方体被截面4EFG所截而得，其中A8=4,HC=l,BE=3,

CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系.

(1)求异面直线EF与AO所成的角;

(2)求点C到截面板G的距离.

【解析】(1)由题意知A(1,O,O),8(1,4,0),E(l,4,3),F(0,4,4),

0EF=(-l,O,l),而=(-1,0,0)

炉而=1，|而四=1,

团cos(丽,AD)=M竺|=理,

团异面直线E尸与AO所成的角为45.

(2)设平面AEFG的一个法向量八=(x,y,z),

n-EA=0-4y-3z=0人,

0£4=（0,-4,-3）,EF=（-1,0,1）,4_=-xz=0令"4,则）'=一3'z=4,

n^EF=0+

0n=(4,-3,4),

又团C(O,4,O),0AC=(-1,4,O),

团点C到平面小对的距离底言LAC-Z?=质1-4-出121=1一4、宙

41

变式2：如图，在棱长为〃的正方体ABC。-AqGA中,M为4G

的中点，E为AG与RM的交点，F为BM与CBi的交点.

⑴求证：BR上A£,BDtlBtC.

（2）求证：EF是异面直线AG与BC的公垂线段.

⑶求异面直线AC）与8。的距离.

【解析】（1）以。为原点，班反，函分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则。（0,0,0）,A（a,0,0）,3（a,a,0）,C（0,<2,0）,Q（0,0,4）,A（a,0,a）,B\a,a,a）,0（0,a,a）,M^,a,a

'F（gM彳1•所以明，4G=（-a,a,0），BXC=（-a,G,a）.

因为西•福=42一〃+0=0,所以西_1_而，即

因为西•麻=储+0一储=0,所以西_£鸵，即BRLBC；

(2)因为前=信5，-热，祠=(—a,a,O),品=(—a,O,a).

y

22

所以乔・扃=一女+(~+0=0,所以乔，而