《金融数学》(9)远期、期货、互换

远期、期货和互换

forwards，futures&swaps孟生旺

主要内容基本概念远期和期货的定价合成远期套保和套利互换的概念和定价3金融衍生工具（derivativeinstrument）：从基础资产（如商品、证券、利率或指数）派生出来的金融工具，其价值依赖于基础资产的价格。常见的金融衍生工具：远期（forwards）期货（futures）互换（swaps）期权（options）金融衍生工具的作用套期保值：进行反向对冲交易，避免价格变化带来的损失。投机：利用价差进行买卖从中获得利润（有风险）。套利：采用两个或更多相互抵消的交易锁定盈利（无风险）价格发现：大量市场参与者通过公开竞价形成均衡价格。提高信息透明度，降低交易成本。45远期(forward)远期合约（forwardcontract）：双方约定在未来某一个确定的时间，按照某一确定的价格买卖一定数量的某种资产的协议。例：小麦，石油标的资产（underlyingasset）：双方约定买卖的资产。交割价格（deliveryprice）：约定的成交价格。空头（shortposition）：卖出标的资产的一方。多头（longposition）：买入标的资产的一方。6回收（payoff）：持有人在满期时实现的现金价值。多头的回收＝满期时的即期价格－

交割价格空头的回收＝－多头的回收盈亏（netpayoff，profit），从回收中扣除初始费用的终值。盈亏＝回收－初始费用的终值注：远期合约的初始费用为零，故盈亏=回收。7例：假设股票当前的价格是100元，一年后的远期价格为105元，没有分红。年利率为5％。如果投资者当前时刻购买股票并持有1年，计算股票多头的回收和盈亏。解：如果一年后股票的即期价格为115元，则回收=115，盈亏=115－100

1.05=108例：假设股票当前的价格是100元，一年后的远期价格为105元，没有分红。年利率为5％。假设投资者通过远期合约购买股票。计算远期合约多头的回收和盈亏。解：如果一年后股票的即期价格为115元，则回收=115－105＝10盈亏=10－0=109例：投资100元购买1年期的零息债券，到期偿还值为105元。年利率为5％。计算投资者购买这种债券的回收和盈亏。解：回收=105元初始成本=100元，故：

盈亏=105－100×（1＋5％）＝0注：零息债券的盈亏为零，但利息收入大于零！10远期合约的类型：商品远期合约金融远期合约远期利率协议远期外汇合约远期股票合约例：远期利率协议11远期利率（ForwardRate）：将来某个时点开始的一定期限的利率。例：1×7远期利率：1个月之后开始的期限为6个月的远期利率0176个月12远期利率由一系列即期利率决定，例：一年期的即期利率为8%二年期的即期利率为9%则从第一年末到第二年末的远期利率为i=10.01%，即

(1+8%)(1+i)=(1+9%)2i=10.01%13远期利率协议（ForwardRateAgreements，FRA）：双方同意从未来某一时点开始，在某一特定时期内按协议利率借贷一笔名义本金的协议。双方订立远期利率协议的目的借入方——规避利率上升的风险贷出方——规避利率下降的风险。不必交换本金，只需支付结算金(cashsettlement)。若利率上升（参照利率>协议利率），贷出方支付结算金给借入方。14分子：利率之差导致的额外利息支出，发生在贷款到期时。分母：用参照利率折现至当前时点。用单利计算。参照利率：不易操纵，定义明确，如LIBOR、SHIBOR。借入方获得的补偿：LIBOR伦敦银行间同业拆借利率(LondonInterBankOfferedRate,简写LIBOR)是大型国际银行之间的借贷利率。是商业贷款、抵押、发行债务利率的基准。浮动利率长期贷款的利率也在LIBOR的基础上确定。15SHIBOR上海银行间同业拆放利率（ShanghaiInterbankOfferedRate）2007年1月4日正式运行。单利、无担保、批发性利率。报价银行团由18家信用等级较高的商业银行组成。每个交易日根据各报价行的报价，剔除最高、最低各4家报价，对其余报价进行算术平均后，得出每一期限品种的Shibor，并于11:00对外发布。包括隔夜、1周、2周、1个月、3个月、6个月、9个月及1年。161718Shibor历史走势（http://）19例：假设A公司在6个月末需要一笔1000万元的资金，为期3个月，为了锁定资金成本，该公司与某银行签订了一份6×9的远期利率协议，协议利率为4%，名义本金为1000万元。如果6月末参照利率上升为4.5%，A公司可以获得多少结算金。解：在远期利率协议的结算日，A公司可以从银行获得：

20期货（futures）期货合约（FuturesContract）：双方在将来某个日期按约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式等）买卖一定数量标的资产的标准化协议。按标的物的不同，期货合约可以分为商品期货：标的物为实物商品金融期货：标的物为金融工具中国期货品种（1）上海期货交易所：铜、铝、锌、天然橡胶、燃油、黄金、螺纹钢、线材（2）大连商品交易所：大豆、豆粕、豆油、塑料、棕榈油、玉米、PVC（3）郑州商品交易所：硬麦、强麦、棉花、白糖、PTA、菜籽油、籼稻（4）中国金融期货交易所：股指期货：沪深300股指期货，上证50股指期货，中证500股指期货国债期货：2年期国债期货，5年期国债期货，10年期国债期货2122交易品种黄金交易单位1000克/手报价单位元（人民币）/克最小变动价位0.01元/克每日价格最大波动限制不超过上一交易日结算价±5%合约交割月份1－12月交易时间上午9:00－11:30

下午1:30－3:00最后交易日合约交割月份的15日（遇法定假日顺延）交割日期最后交易日后连续五个工作日交割品级金含量不小于99.95%的国产金锭及经交易所认可的伦敦金银市场协会（LBMA）认定的合格供货商或精炼厂生产的标准金锭（具体质量规定见附件）。交割地点交易所指定交割金库最低交易保证金合约价值的7%交易手续费不高于成交金额的万分之二（含风险准备金）交割方式实物交割交易代码AU上市交易所上海期货交易所上海期货交易所黄金期货标准合约23沪深300股指期货合约表合约标的沪深300指数合约乘数每点300元报价单位指数点最小变动价位0.2点合约月份（交割月份）当月、下月及随后两个季月。季月（3,6,9,12月）交易时间上午：9:30-11:30，下午：13:00-15:00每日价格最大波动限制上一个交易日结算价的±10%最低交易保证金合约价值的8%最后交易日合约到期月份的第三个周五，遇国家法定假日顺延交割日期同最后交易日交割方式现金交割交易代码IF上市交易所中国金融期货交易所24基本概念：标准化：合约规模，交割地点，交割日期，……初始保证金（initialmargin）:（5%-20%）维持保证金（maintenancemargin）:通常是初始保证金的75%盯市（marktomarket）：每天根据期货价格的涨跌计算盈亏，调整保证金账户。浮动盈亏：多头=（当天结算价－开仓价）×持仓量×合约单位－手续费实际盈亏：平仓实现的盈亏多头=（平仓价－开仓价）×持仓量×合约单位－手续费期货交易示例投资者以5万元/吨的价格买入20手上海铜(1手为5吨)。保证金比率为10%，维持保证金为初始保证金的75%。问：(1)初始保证金和维持保证金是多少?(2)如价格跌至4.9万元/吨，浮动盈亏是多少?保证金账户余额是多少？解：

(1)初始保证金=5×5×20×10%=50维持保证金=50×75%=37.5(2)浮动盈亏

=(4.9-5)×5×20=-10

保证金账户余额=50–10=4025例：应用期货套保（买入套期保值）为了规避价格上升的风险，进行下述套期保值交易：26现货市场价格期货市场价格基差9月份每吨2000元买入11月份期货合约，每吨2050元-5011月份每吨2010元卖出期货合约，每吨2060元-50套利结果每吨亏损10元每吨盈利10元最终结果净获利0元问题：如果11月份卖出期货合约的价格为2100元？例：应用期货套保（卖出套期保值）为了规避价格下跌的风险，进行下述套期保值交易：27现货市场价格期货市场价格基差6月份每吨2000元卖出9月份期货合约，每吨2100元-1009月份每吨1900元买入期货合约，每吨2000元-100套利结果每吨亏损100元每吨盈利100元最终结果净获利0元问题：如果9月份买入期货合约的价格为2100元？28期货与远期的区别期货每日反映盈亏状况，交易者在整个投资期需要保证一定的现金流。大多对冲平仓。远期到期结算，大多现货。期货具有流动性。期货只适用于特定资产。远期存在信用风险。29远期和期货的定价期货与远期的定价原理相同。远期的定价：计算资产的远期价格远期价格：标的资产在未来某个时点上的理论价格。定价方法：无套利定价法套利（Arbitrage）:低价买入，高价卖出。套利类型：跨期套利、跨市套利、跨品种套利正向套利，反向套利30正向套利（cash-and-carryarbitrage）：买入现货，卖出远期。反向套利（reversecash-and-carryarbitrage）：卖空现货，买入远期。31无套利定价法：两种投资组合的终值相等，则现值也一定相等，否则就存在套利机会：卖出现值较高的资产买入现值较低的资产，并持有到期末赚取无风险利润。A=1B=2A=3B=3【例】目前：资产是A+B，价值3元，将其转化为3A到期：变为9元，将其中的6元转化为A+B

结果：资产是A+B，并有3元盈余32t=0TSSTKfF交割价格多头的价值远期价格股票的价格股票的价格符号注：在合约签订之日，f=0,K=F33远期合约中标的资产的类型：到期前不产生收益的资产：零息债券到期前产生已知收益的资产：附息债券到期前连续产生收益的资产：股票指数34到期前不产生收益的资产（r

为无风险利息力）考虑两种组合：组合A：一份远期合约多头，加上现金组合B：一单位标的资产。在组合A中，现金累积到时间T的金额为K，刚好可用来交割，以换取一单位标的资产。在时间T，两个组合都等于一单位标的资产。根据无套利原理：35根据无套利原理：在合约签订之日，f=0，且K=F

，故有：

=现价的累积值36例:股票不支付红利，当前价格为50美元。无风险年利率为5%。计算该股票一年期的远期价格。解:

37例：考虑一份远期合约多头，标的证券是剩余期限为6个月的一年期零息债券，交割价格为$960。该债券的现价为$940。无风险利率（连续复利）为10%。计算远期合约多头的价值。解：该远期合约多头的价值为f=940－960e‒0.5

0.1=26.82当前的卖价未来的买价38到期前产生已知收益的资产令已知收益的现值为D，并构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头+现金。组合B：一单位标的资产+借款D。组合A：在时间T的价值=单位标的资产。组合B：标的资产的收益D刚好可以偿还借款D，故在时间T，该组合也等于单位标的资产。39根据无套利原理在合约签订之日，f=0，且

K=F

，故有：

=现价的累积值－收益的累积值40例：一份10个月期的远期股票合约，股票的当前价格是50美元。无风险利息力为8%。3月末、6月末和9月末的股票红利为0.75美元。计算远期的价格。解:

41例：债券的现价为950元，该债券一年期远期合约的交割价格为960元，债券在6个月末和12个月末都将收到50元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前。假设6个月期和12个月期的连续复利分别为9%和10%，求远期合约多头的价值。解：利息的现值为：D=50e‒0.09

0.5+50e‒0.10

1=94.79元多头的价值为：

f=950‒94.79‒960e‒0.1

1=‒13.43元

卖价‒损失利息‒买价42到期前产生连续收益率的资产假设资产的连续收益率为

，构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头+现金组合B：单位的资产，且资产的所有收益都再投资于该资产。组合A在时间T的价值等于单位标的资产的价值。组合B的资产数量在时刻T

也等于单位标的资产。43根据无套利原理：在合约签订之日，f

=0，且K=F

，故有

=现价按净利息力计算的累积值44例：沪深300指数的现值是3000点，股指的平均连续红利率为2％，无风险连续复利为6％，若该股指6个月期的远期合约的交割价格为3050点，求远期价格和该远期合约多头的价值（每点300元）。解：远期价格为：

多头的价值

f为（把T时的价值折现到0

时）：45练习：债券当前时刻的市场价格是960元，每半年支付50元利息。年利率为5％。若该债券1年期的远期合约的交割价格为980元，求远期价格和该远期合约多头的价值。解：远期价格为：

多头的价值

f为：远期定价小结不产生收益的资产

远期价格=现价的累积值产生已知收益的资产

远期价格=现价的累积值–收益的累积值产生连续收益率的资产

远期价格=现价按净利息力计算的累积值

净利息力=无风险利息力–连续收益率46持有成本远期价格=现价+持有成本对于普通商品，包括资金成本、储存成本、保险成本等。如果单位金额的资产在单位时间内的持有成本用连续复利的形式表示为c，则远期价格为4748远期利率协议的定价（使用连续复利）0TT*rr*即期利率远期利率即期利率问题：如果使用实际利率，远期利率的表达式如何？49例：假设2年期的即期年利率为10%，3年期的即期年利率为11%，均为连续复利。本金为100万元的2年

3年远期利率协议的合同利率为12%，计算该远期利率协议在理论上的合同利率以及多头的价值。解：理论上的合同利率应为：

t=0T=2T

*=310%11%50t=0T=2T

*=310%11%

协议利率12%借入：100偿还：该合约多头的价值为：借入金额的现值偿还金额的现值51练习：假设3个月和6个月的LIBOR分别为5%和5.5%，均为连续复利。远期合约的名义本金为100万美元，从3个月末到6个月末的交割利率为7%（连续复利）。计算该远期合约的价值。52解：

03/126/12交割利率：7%5%5.5%借款额的现值还款额的现值53合成远期：套利和套保合成远期

01现价：100远期价格：100

1.05=105远期＝股票－零息债券在T=1时想拥有单位股票（股票无分红），两种方法：（1）远期：在时刻1支付105购买单位股票。（2）合成远期：在时刻0借款100（发行零息债券）购买单位股票；在时刻1

偿还105借款。无风险年利率5%54合成远期多头远期＝股票‒

零息债券‒

远期＝‒股票+

零息债券合成远期空头55正向套利：现在买入资产，通过远期合约在未来卖出资产（假设股票到期前不产生收益）

现价：100远期价格：105套利方法：在时刻0

：借款100，购买股票。（买入）在时刻0：签订远期合约卖出股票，交割价格为110。在时刻1：按照交割价格110卖出股票，并偿还借款105。（卖出）在时刻1：利润=110–105=5。套利机会：交割价格

>远期价格

01假设：无风险年利率5%交割价格：11056反向套利：现在卖空资产，通过远期在未来买入资产（假设股票到期前不产生收益）股票现价：100交割价格：102套利方法：在时刻0：卖空股票，获得100元，并投资于零息债券。（卖出）再时刻0：

签订远期合约买入股票，交割价格为102元。在时刻1：零息债券到期获得105

，支付其中的102买入股票。（买入）在时刻1：利润=105‒102=3套利机会：交割价格<远期价格

0

1假设：无风险年利率5%远期价格：10557正向套保：现在买入标的资产，并通过远期合约在未来卖出资产。假设投资者是一个股票远期空头，即在时间T按远期价格105出售股票。（风险：如果股价上升到110元，亏损5元）为了对此空头进行套保，可以生成一个合成远期多头进行对冲：出售零息债券（即借钱100），并买入股票。一多一空，风险为零（下页图示）。正向套保：股价的变化不会影响到期时的结果

0

1合成远期多头=借款100购买股票=股票-零息债券交割价格：105远期空头假设：无风险年利率5%现价：100没有套利机会，但存在股价上升的风险？通过合成远期多头对冲：到期时的结果：用交割价格105元卖出股票（履行远期合约空头），

偿还零息债券本息105元。59反向套保：现在卖空股票，通过远期合约买入股票。假设投资者是一个股票远期多头，即在时间T按远期价格105买入股票。（风险：如果股价下跌到100元，亏损5元）。为了对此多头进行套保，可以生成一个合成远期空头（出售股票，并用所得资金购买零息债券）：一空一多，风险为零（下页图示）。60反向套保：股价的变化不会影响到期时的结果

0

1交割价格：105远期多头假设：无风险年利率5%现价：100没有套利机会，但存在股价下跌风险？通过合成远期空头对冲：合成远期空头=按100元卖空股票，购买零息债券=零息债券–股票到期时的结果：零息债券到期获得105元，用交割价格105元卖入股票（履行远期合约多头）61互换（Swap）互换：交易双方在约定的时间内交换一系列现金流的合约。注：远期只交换一次现金流。作用：为一系列不确定的现金流进行套保。62例：假设W公司计划在未来两年购买1万桶石油，

石油的远期价格和即期利率如下：为了锁定石油价格，W公司可以购买两份远期合约：在第一年末每桶支付80美元在第二年末每桶支付82美元。年度12远期价格8082即期利率5%5.6%互换价格XX63W公司购买两份远期合约：在第一年末每桶支付80美元在第二年末每桶支付82美元。石油价格的现值为此即预付互换的价格预付互换（prepaidswap）——当前时刻一次性支付石油的价款，在未来交割一系列的石油。年度12远期价格8082即期利率5%5.6%64为避免信用风险，W公司希望在交割时再支付石油价款。通常采取等额支付的方式，即每年支付的价款相等。此价款即为互换的价格。假设为X，则年度12即期利率5%5.6%互换=两个远期多头+一个远期利率协议远期利率协议：第一年末支出0.97美元，第二年末收入1.03美元。隐含的一年期远期利率为1.03

0.97‒1=6.2％年度12远期价格8082互换价格80.9780.97差额-0.97+1.0366上述利率实际上是两个即期利率所隐含的远期利率：年度12即期利率5%5.6%67结论：互换等价于若干个远期，并附加一个远期利率协议。远期合约和远期利率协议的初始价值为零，故互换的初始价值也为零。当市场条件发生变化，互换合约的价值将不再等于零。P=c(80,82)i=c(0.05,0.056)t=1:2PV1=P/(1+i)^tPV1=sum(PV1);PV1#预付互换的价格X=PV1/sum((rep(1,length(t))/(1+i)^t));X#互换的价格X=round(X,2)PX=X-Pf1=-PX[2]/PX[1]-1;#互换中隐含的远期利率f1=round(f1,3);f1f2=(1+i[2])^2/(1+i[1])-1#即期利率中隐含的远期利率f2=round(f2,3);f2利率互换（InterestRateSwaps）双方同意在未来的一定期限内根据名义本金交换现金流。一方的现金流根据浮动利率计算。另一方的现金流根据固定利率计算。6869利率互换示例：长期贷款客户国家开发银行中长期债券持有者浮动利率固定利率房贷客户光大银行短期存款客户固定利率浮动利率固定利率浮动利率70例：A、B公司都想借入5年期的100万元的借款，A需要浮动利率借款，B需要固定利率借款。由于信用等级不同，市场向它们提供的利率也不同：固定利率浮动利率A公司10%LIBOR+1%B公司12%LIBOR+2%不互换：A和B的利息成本为12%+(LIBOR+1%)互换：A和B的利息成本为10%+(LIBOR+2%)通过互换，双方的总利息成本可以降低1％。利率互换的定价在第i个利息支付日（时刻ti），

收取浮动利息，支出固定利息k，该现金流的现值为：

互换的价值就是上述现金流的现值之和：合约在生效之时的价值为零，由此得互换利率：71（互换利率是浮动利率的加权平均数）例：1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5%、5.5%、6%，均为连续复利。在一个3年期的利率互换合约中，每年互换一次利息，计算互换利率是多少（用连续复利表示）。解：计算浮动利率0~1年：5%