统计学原理第9章：相关与回归

第九章

相关与回归分析《统计学原理》（第3版）2/49第九章

相关与回归分析第一节

相关分析

第二节

一元线性回归分析第三节

多元线性回归分析学习目标3/49

学习要点第一节

相关分析

第九章相关与回归分析1.相关关系的含义2.相关关系的类型

3.相关关系的判断方法

4.Excel操作4/49函数关系与相关关系函数关系相关关系还是？1.相关关系的含义

第九章相关与回归分析5/49函数关系◆一个变量的取值由另一个变量唯一确定，即变量间是一一对应的确定关系。◆当变量取某个数值时，

依确定的关系取相应的值，则称是

的函数，记为

。◆各观测点都落在一条直线上

xy

第九章相关与回归分析1.相关关系的含义6/49

函数关系的例子某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px

(p

为固定单价)圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2

第九章相关与回归分析1.相关关系的含义7/49相关关系(correlation)◆一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定◆当变量取某个值时，变量的取值可能有几个◆各观测点分布在直线周围

xy

第九章相关与回归分析1.相关关系的含义8/49

相关关系的例子父母身高y

与子女身高x之间的关系收入水平

y与受教育程度x

之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x

之间的关系

第九章相关与回归分析1.相关关系的含义9/492.相关关系的类型

第九章相关与回归分析10/49

第九章相关与回归分析2.相关关系的类型11/49定性分析相关表散点图

相关系数

测定方法3.相关关系的判断方法

第九章相关与回归分析12/49定性分析◆依赖于研究者的理论知识、经验和分析研究能力。

辨别伪相关◆辨别真相关和伪相关

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法13/49◆相关表是根据现象变动的样本资料编制出来的反映变量间相互关系的统计表。相关表

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法14/49月份月销售收入y电视广告费用x165035259130357028454018557021656424752017856521959532106103011560251257025表9-2

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法15/49将两变量相对应的变量值用坐标点形式描绘出来用以表明相关关系的图形，称为相关图利用相关图可以：判断现象之间有无相关关系观察相关关系的类型观察相关关系的密切程度相关图（或散点图）

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法16/49

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法17/49相关系数(correlationcoefficient)◆相关系数是说明两个变量之间在线性相关条件下相关关系密切程度的统计分析指标.◆若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为

.◆若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为.

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法18/49r的取值范围：0≤︳r︳≤1当r＞0时，X与Y正相关当r＜0时，X与Y负相关当r＝0时，X与Y之间不存在线性相关关系当r＝1时，X与Y之间完全正线性关系当r＝-1时，X与Y之间完全负线性关系相关系数的取值

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法19/490＜｜r｜＜0.3，X与Y弱线性相关0.3≤｜r｜＜0.5，X与Y低度线性相关0.5≤｜r｜＜0.8，X与Y显著线性相关0.8≤｜r｜＜1，X与Y高度线性相关相关系数的取值

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法20/49

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法相关系数r的计算公式21/49月份月销售收入y电视广告费用xx﹒yx2y2165035227501225422500259130177309003492813570281596078432490045401897203242916005570211197044132490065642413536576318096752017884028927040085652111865441319225959532190401024354025106103018300900372100115602514000625313600125702514250625324900合计690530617796181543985527高度正相关表9-222/49为什么进行相关系数的显著性检验？r的显著性检验通常采用费希尔（R.A.Fisher)提出的t分布检验。相关系数的显著性检验检验两个变量之间是否存在线性相关关系为什么进行相关系数的显著性检验？r的显著性检验通常采用费希尔（R.A.Fisher)提出的t分布检验。

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法23/49检验的步骤为：提出假设：H0：

；H1：

0

计算检验的统计量：

确定显著性水平，并作出决策若t>t

，拒绝H0

若t<t

，不能拒绝H0相关系数的显著性检验

第九章相关与回归分析3.相关关系的判断方法24/49运用Excel、SPSS等软件我们可以轻松地得到相关系数及其检验结果。4.相关分析的Excel操作

第九章相关与回归分析25/49将相关的两列数据输入Excel表格“数据”“相关系数”散点图相关系数“数据分析”“插入”“散点图”“图表”

第九章相关与回归分析4.相关分析的Excel操作26/49

学习要点第二节

一元线性回归分析

1.回归分析的含义2.一元线性回归方程

3.参数的最小二乘估计

4.拟合优度与显著性检验

5.一元线性回归预测

6.Excel操作

第九章相关与回归分析27/49回归分析(Regression)回归分析是对具有密切关系的两个变量，根据其相关形式，选择一个合适的数学关系式来近似地表现变量之间平均变化程度的一种统计分析方法。1.回归分析的含义

第九章相关与回归分析28/49回归分析与相关分析的联系相关关系是回归分析的前提，回归分析是相关分析的深入。相关分析是回归分析的前提，对于相关程度很低的两个变量进行回归分析是没有实际意义的回归分析是建立在相关分析的基础上，对于具有密切相关的两个变量进行深入分析，建立它们之间的数学关系式，并进行统计推断，是相关分析的拓展

第九章相关与回归分析1.回归分析的含义29/49回归分析的内容从一组样本数据出发，估计回归参数，建立回归模型；对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度

第九章相关与回归分析1.回归分析的含义30/492.一元线性回归方程

第九章相关与回归分析31/49涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量，用x

表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归方程

第九章相关与回归分析2.一元线性回归方程32/49一元线性回归方程可表示为其中：a是估计的回归直线在y轴上的截距；

b是直线的斜率，它表示x

每变动一个单位时，y

的平均变动量

x、y

是自变量和因变量的实际观察值是因变量的估计值

第九章相关与回归分析2.一元线性回归方程33/49（1）使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得a

和b

的方法。即（2）用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小。3.参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计

第九章相关与回归分析34/49xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾

第九章相关与回归分析3.参数的最小二乘估计35/49

第九章相关与回归分析3.参数的最小二乘估计36/49月份月销售收入（万元）电视广告费用（万元）165035227501225259130177309003570281596078445401897203245570211197044165642413536576752017884028985652111865441959532190401024106103018300900115602514000625125702514250625合计69053061779618154表9-4

第九章相关与回归分析3.参数的最小二乘估计37/49月销售收入与电视广告费用的回归方程

回归系数b=5.37表示电视广告投入每增加1万元，销售收入平均增加5.37万元。

第九章相关与回归分析3.参数的最小二乘估计38/494.拟合优度与显著性检验（1）拟合优度判定系数R2

R2的取值范围是（0，1）越接近于1，表明回归直线拟合程度越好；反之，拟合程度越差。

在一元线性回归中，判定系数R2实际上是相关系数r的平方，相关系数与回归系数的正负号也是相同的。

估计标准误差

一般：＜15%

第九章相关与回归分析39/49根据表9-4判定系数

估计标准误差

（万元）

＜15%

第九章相关与回归分析4.拟合优度与显著性检验40/49（2）显著性检验F检验

t检验

检验变量x和y之间的线性关系是否显著检验自变量x对

因变量y的影响是否显著SignificanceF<，表明自变量与因变量之间有显著的线性关系P-value<，表明自变量对因变量的影响是显著的通常取0.05

或0.01

第九章相关与回归分析4.拟合优度与显著性检验41/49利用Excel输出结果建立回归方程，并对回归方程的检验结果进行判断上例中：

第九章相关与回归分析4.拟合优度与显著性检验42/495.一元线性回归预测一元线性回归预测的方法：点估计区间估计点估计点估计是利用估计的回归方程，给x一个特定值x0，求出y的一个估计值。【例9-5】

将x0=40带入方程，得销售额为:（万元）

第九章相关与回归分析43/49区间估计区间估计是利用估计的回归方程，给x一个特定值x0，求出y的一个估计值区间。置信区间：对x的给定值x0，求y的平均值的估计区间预测区间：对x的给定值x0，求y的一个个别值的估计区间