高二数学：第三章导数及其应用复习+练习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章导数及其应用一、导数的概念及意义1．函数从到的平均变化率:．2．导数的物理意义：瞬时变化率．一般地,函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．3．导数的几何意义：曲线的切线的斜率．函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即k．4．导函数：当x变化时，便是x的一个函数,我们称它为的导函数．的导函数有时也记作，即．例1曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为（)．A．(－2，－8) B．(1，1),（－1，－1）C．（2，8） D．(－eq\f(1，2)，－eq\f(1，8））答案:B例2曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0）处的切线方程为(）．A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2答案:A二、导数公式与运算法则1．常见函数的导数公式:①; ②； ③；④；⑤； ⑥； ⑦; ⑧．2．导数运算法则:(1）;（2）；（3）．3．复合函数求导：和,则y可以表示成为x的函数，即为一个复合函数．例1函数y＝x•lnx的导数是（）．A．y′＝x B．y′＝eq\f(1，x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x答案：C解析：y′＝x′•lnx＋x•（lnx)′＝lnx＋x•eq\f(1,x）＝lnx＋1．例2已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值是()．A．eq\f(19，3） B．eq\f（16，3)C．eq\f(13,3） D．eq\f(10,3）答案:D解析:f′（x）＝3ax2＋6x,∵f′（－1)＝3a－6,∴3a－6＝4，∴a＝eq\f（10，3)．例3已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′（x）为f(x）的导函数．若f′(1）＝3，则a的值为________．答案：3解析：f′(x)＝a（lnx＋1)，f′（1)＝a＝3．例4函数f（x）＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A（0,1）和B(1,0），在区间(0，1）内求实数a,使得函数f(x）的图象在x＝a处的切线平行于直线AB．解:直线AB的斜率kAB＝－1,f′（x）＝3x2－2x－1，令f′（a）＝－1（0＜a＜1），即3a2－2a－1＝－1，解得a＝eq\f（2，3)．例5已知函数f（x）＝x3＋x－16．（1）求曲线y＝f(x）在点(2，－6）处的切线的方程;（2）直线l为曲线y＝f（x）的切线,且经过原点，求直线l的方程及切点坐标;（3)如果曲线y＝f(x）的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：（1）∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点（2，－6）处的切线的斜率为k＝f′（2）＝13．∴切线的方程为13x－y－32＝0．（2)解法一：设切点为(x0，y0),则直线l的斜率为f′（x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al（2，0)＋1）（x－x0）＋xeq\o\al（3,0）＋x0－16，又∵直线l过原点（0，0）,∴0＝(3xeq\o\al(2，0)＋1）（－x0)＋xeq\o\al（3，0）＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3，0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13．∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2，－26）．解法二：设直线l的方程为y＝kx,切点为（x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al（3，0）＋x0－16，x0），又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al（2,0）＋1,∴eq\f（x\o\al(3,0)＋x0－16，x0)＝3xeq\o\al（2，0）＋1,解之得，x0＝－2，∴y0＝－26,k＝13．∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26)．（3）∵切线与直线y＝－eq\f（x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4．设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0）＝3xeq\o\al(2,0）＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，y0＝－14））,或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1,y0＝－18）)．∴切点坐标为（1，－14)或（－1，－18），切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0．三、导数与单调性、极值、最值1．根据导数确定函数的单调区间步骤：（1)确定函数的定义域;（2）求出函数的导数；（3）在某个区间内，若,则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减．2．求函数的极值的方法是：解方程．当时：(1）如果在附近的左侧，右侧,那么是极大值；（2）如果在附近的左侧,右侧，那么是极小值．3．求函数在上的最大值与最小值的步骤是：（1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例1函数f（x)＝x＋lnx在(0，6）上是()．A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，eq\f（1，e））上是减函数，在（eq\f（1,e），6)上是增函数D．在（0，eq\f（1，e)）上是增函数，在(eq\f（1,e），6)上是减函数答案：A解析：∵f′(x）＝1＋eq\f（1,x）＞0，∴函数在（0,6）上单调递增．例2设f′(x)是函数f（x)的导函数，y＝f′(x）的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是（)．答案:C解析:由f′(x）的图象知，x∈（－∞，0）时,f′(x)＞0，f(x）为增函数，x∈（0,2）时，f′(x）＜0,f(x)为减函数，x∈(2,＋∞）时,f′（x）＞0，f（x)为增函数，只有C符合题意,故选C．例3函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有(）．A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值答案：C解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x－3）(x＋1)，∵－2＜x＜2，∴令y′＞0得－2＜x＜－1，令y′＜0得－1＜x＜2,∴函数在（－2，－1）上递增，在（－1,2）上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f（x）无极小值．例4函数y＝2x3－3x2－12x＋5在［－2，1]上的最大值、最小值分别是（)．A．12、－8 B．1、－8C．12、－15 D．5、－16答案：A解析：y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2（舍去）．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．例5已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0）．若函数f（x）在x＝－1处取得极值,直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点,求m的取值范围．分析（1）能否由已知条件求出a值,确定f（x）?（2)直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点的含义是什么?如何用数形结合求出m的范围？解：∵f（x)在x＝－1处取得极值,∴f′（－1)＝3×（－1）2－3a＝0，∴a＝1．∴f(x）＝x3－3x－1，∴f′(x）＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1．当x＜－1时，f′（x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′（x)＞0．∴由f（x)的单调性可知，f(x）在x＝－1处取得极大值f（－1)＝1，在x＝1处取得极小值f（1）＝－3．∵直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1）．例6已知函数f（x）＝lnx＋a(1－x）．（1)讨论f(x）的单调性；(2)当f(x）有最大值,且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：（1）f（x)的定义域为（0，＋∞），f′(x)＝eq\f(1,x）－a，若a≤0,则f′（x）＞0，f(x）在（0，＋∞）单调递增；若a＞0，则当x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1，a))）时f′（x)＞0,当x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，a)，＋∞))时f′（x）＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,a））)单调递增，在eq\b\lc\（\rc