数字信号处理（第3版）课件 第05章 连续时间信号的采样

第5章连续时间信号的采样

5.5离散时间信号的连续时间处理5.1理想采样5.2理想重构5.3采样定理5.4连续时间信号的离散时间处理5.6模拟信号的数字处理5.7利用离散时间处理改变采样率5.1理想采样T:采样周期fs=1/T:采样频率,单位赫兹(Hz)

Ωs=2π/T:采样频率,单位弧度/秒(rad/s)

理想连续时间到离散时间转换器(continuous-to-discrete-time:C/D)C/Dx[n]=xc(nT)Txc(t)从数学上将C/D过程分解成两步表示

的傅里叶变换与的傅立叶变换的关系:的傅里叶变换与的傅立叶变换的关系:证明证明（续）无混叠周期为2π

有混迭举例从时域理解采样后高频

相对π折叠（混叠）成低频黑色和蓝色的连续时间信号分别被采样成0.6π和1.4π的离散时间信号（红色），两个离散时间信号完全相同，无法区分，混叠在一起从时域理解采样后

频谱的周期性或混叠黑色和蓝色的连续时间信号分别被采样成0.6π和2.6π的离散时间信号（红色），两个离散时间信号完全相同，无法区分，混叠在一起5.2理想重构理想离散时间到连续时间转换器(discrete-to-continuous-time:D/C)将D/C转换从数学上分解成两步过程

理想重构低通滤波器理想重构的频域过程

无混叠重构的连续时间信号与离散时间信号的时域关系

理想重构是时域理想内插举例证明5.3采样定理采样定理的本质对任何频率的正弦信号至少每周期采样两个点才能无失真重构C/D和D/C级联的频域分析方法中间的2步互逆抵消举例如果，则无混叠，输出如果，则有混叠，输出无混叠有混叠频域分析有混迭时重构失真时的时域理解采样信号原始信号重构信号举例采样率44100Hz采样率44100Hz

/4采样率44100Hz

/8采样率44100Hz

/16从听觉上感受实际声音信号（非单一频率）的混叠失真通常情况下，连续时间信号不是严格带限，或者尽管带限但采样率低于信号最高频率的两倍。所以一般都在C/D转换前加抗混叠的连续时间低通滤波器来避免混叠。其中抗混叠低通滤波器的截止频率应该选择为采样率的一半。【通常先根据实际需要选择采样率，再根据采样率决定滤波器】采样率越高的音频信号高频越丰富，音质越好5.1-5.3小结1.采样的时域表示

2.采样引起的频域变化

3.由频域理解重构原理4.从时域理解重构过程

5.根据频域是否混迭以及重构是否能取出原始频谱得出采样定理要求和难点： 采样和重构过程的频谱图 采样定理的理解和应用5.4连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理系统框图

若输入信号带限，C/D无混叠，或混叠发生在离散时间系统的通带以外，则整个系统等效为一个连续时间系统，其频响与离散时间系统的频率响应间的关系：证明离散时间低通滤波器的频率响应(黑色是理想低通，红色是非理想低通）等效的连续时间低通滤波器的频率响应举例用具体信号验证离散时间系统与等效连续时间系统的频响关系红色+黑色：混迭发生在数字滤波器通带外也满足该频响等效关系举例1250π/21/16m3π/4例题解答0358f(kHz)03π/42π

ω(rad)5.5离散时间信号的连续时间处理离散时间信号的连续时间处理系统框图

整个系统等效于一个离散时间系统，等效的离散时间系统与连续时间系统的频率响应之间的关系：D/C是增益T，截止频率π/T的低通滤波器，所以xc(t)一定带限为π/T，C/D一定无混叠，所以只考虑主周期证明连续时间系统的频响在π/T以上的无效。一般选择连续时间系统的频响带限。举例采用图5.5-1所示系统等效实现该理想延迟数字系统应用于对某些离散时间系统的解释和理解举例

y[n]x[n]5.6模拟信号的数字处理在实际的采样系统中，连续时间信号不可能真正带限，理想滤波不可能实现，采样数据也只能用有限字长的数表示，所以理想的C/D和D/C转换是用模拟到数字（A/D：Analog-to-digital）和数字到模拟（D/A:Digital-to-analog）的转换器来近似实现的

模拟信号的数字处理系统框图1.抗混叠滤波器2.采样保持

零阶保持内插系统3.

A/D转换

N=3的均匀量化和二进制补码编码量化阶(⊿=0.3V)二进制补码011010001000111110101100举例4.

D/A的转换5.补偿重构滤波器数字信号零阶保持以后的信号重构补偿滤波后的模拟信号举例

1.用离散时间系统处理连续时间信号5.4-5.6小结用连续时间系统处理连续时间信号，以解释某些数字系统重点和难点：连续时间信号的离散化处理中离散时间系统和等效连续时间系统的频响关系3. 模拟数字转换的实际步骤5.7利用离散时间处理改变采样率5.7.1采样率按整数因子降低5.7.2采样率按整数因子提高5.7.3采样率按非整数因子改变5.7.4变采样率信号处理的应用5.7.1采样率按整数因子降低对离散时间信号做抽选或亚采样框图表示M=2,fs’=fs/2举例抽选前后信号的频域关系分成长度M的无数段证明M=2过采样举例M=3)(wjeX)(wjdeXpp202-pp202-p/3p举例结论：抽选后频谱仍然以2π为周期，每个周期宽M倍，高1/MM=3举例抽选后频域无混叠的条件完整的降采样系统抽选：（1）使频谱变宽变矮，最高频率为（2）变宽则可能导致混迭，无混迭的条件是（3）为防止混迭必须前置抗混迭数字滤波器，截止频率5.7.1小结5.7.2采样率按整数因子升高时域零值内插框图表示L=2,

fs’=2fs.举例内插前后的频域关系证明结论：内插后频谱，横轴缩为1/L，幅度不变（产生镜像频谱）。仍然以2π为周期，也以2π/L为周期。镜像频谱L=2举例分析镜像频谱在重构后对应的模拟频率(L=2)对x[n]作D/C采用Tπ/T=

ΩN

Ω(2π/L)/T’Ω

=π/T’=2π/T=2ΩN内插0后的数字信号用T’重构后，最高频率是原始模拟信号的2倍，可见镜像频谱是多出来的高频噪声对xe[n]作D/C采用T’=T/L完整的升采样率系统反镜像滤波器，放在内插之后，重构之前xi[n]是xc(t)的过采样，对xi[n]作D/C采用T’=T/L，与x[n]做D/C采用T，得到的模拟信号完全相同举例反镜像滤波的结果是将时域突变（内插0）信号内插成缓变信号（理想内插）。增益L提供使时域幅度不变的能量。反镜像滤波器的时域平滑功能对比D/C的理想内插公式L=2,

fs’=2fs，内插零后、再反镜像滤波后的信号时域举例实际应用中，理想低通滤波（理想内插）无法实现，常采用线性内插线性内插对应的滤波器的频响和单位脉冲响应图片来源：《离散时间信号处理》（第3版）奥本海默内插：（1）频谱高度不变，横轴方向收缩为1/L（2）频率轴收缩导致高频镜像频率产生（频率高于的部分），

使重构的连续时间信号在时域有突变，即有失真（3）为去除镜像频谱必须后置反镜像数字滤波器，截止频率为

为使升采样后信号幅度与原信号一样，滤波器的增益为L5.7.2小结5.7.3采样率按非整数因子改变级联升采样和降采样两个系统x[n]是以400Hz采样率采样得到的序列，用前述系统将之变成采样率300Hz的序列。L=3，M=4举例015304560先内插后抽选的好处：1.合并抗混迭和反镜像滤波器2.尽可能少损失高频信息（上例只损失1/4的高频，如果先抽选则损失3/4的高频）；L/M>1时无高频损失。频域示意图L=3，M=4

采样率改变有理数倍5.7.3小结用性能低的模拟抗混迭滤波器、过采样、高性能的数字抗混迭滤波器、抽选，代替高性能的模拟抗混迭滤波器和采样。将实现高性能模拟滤波器的难度转移到实现高性能的数字滤波器，从而降低成本。5.7.4多采样率信号处理的应用

1.采样系统ΩN：希望保留的信号的最高频率锐截止的离散时间抗混叠滤波器滤除模拟抗混叠滤波没滤干净的导致混叠的高频，从而降低后者的难度M=2锐截止的离散时间抗混叠滤波器简单的连续时间抗混叠滤波器-成本降低锐截止的连续时间抗混叠滤波器-不采用举例2.重构系统用内插、高性能的数字反镜像滤波、低性能的模拟重构滤波器，代替高性能的模拟重构滤波器。将实现高性能模拟滤波器的难度转移到实现高性能的数字滤波器，从而降低成本。数字域先内插，再内插成模拟信号，从而降低后者的难度简单的连续时间重构滤波器-成本降低锐截止的连续时间重构滤波器-不采用锐截止的离散时间反镜像滤波器L=2举例对数字声音信号（WAV文件里除了头部以外的数据）做升采样或降采样处理，但是文件头里关于采样率信息的字段不变.原始音频采样实现升调时间变短升采样实现降调时间变长3.声音信号的变时间且变调处理虚线左边是MP3编码的第一步，称为分解滤波器组，右边