数字信号处理（第3版）课件 第03章 傅里叶变换和离散傅里叶级数

第3章傅里叶变换和

离散傅里叶级数（DFS）3.1傅里叶变换的定义3.2傅里叶变换与z变换的关系3.3傅里叶变换的性质3.4DFS的定义3.5周期信号的傅里叶变换表示3.6DFS的性质傅里叶变换的核心思想任何波都可以用不同频率的正弦波（复指数信号）加权组合而成。傅里叶变换就是求不同频率正弦波的权重（复数函数，含幅度和相位两部分信息），得到幅度谱和相位谱。图片来自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline周期信号由有限个离散频率的正弦波加权组合而成，非周期信号由无穷多连续频率的正弦波加权组合而成。二者分别做FS和FT得到频谱，FS离散，FT连续。图片出自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline负频率和复数频谱的物理意义负频率3.1傅里叶变换的定义离散时间信号的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换（DTFT:Discrete-TimeFourierTransform）,简称傅里叶变换。傅里叶变换是离散时间信号分析与处理的重要工具之一，它给出了在频域分析离散时间信号和系统的方法。很多序列都能用作为基函数进行正交展开，表示成如下的傅里叶积分形式

傅里叶反变换其中傅里叶正变换特殊变换对周期性把正变换的右边代入反变换的右边：证明正反变换互逆证明一般来说，是的复值函数，可以表示成

.幅度谱和相位谱图片来自《离散时间信号处理》（第3版），奥本海默连续相位主值相位举例举例矩形序列的傅里叶变换振幅(实函数)幅度（大于等于0）举例振幅取值小于0时相位+π旁瓣峰值/主瓣峰值

=常数主瓣宽与窗长成反比M=8

绝对可和是收敛的充分条件如果,则收敛性对于稳定的LTI系统的单位脉冲响应满足所以其FT收敛，即频率响应存在。举例有些序列不是绝对可和但是平方可和，即

也能有傅里叶变换表示

举例x[n]

还有一些序列,既非绝对可和也非平方可和，若在频域引入冲激函数,它们也可以有傅里叶变换表示举例常用DTFT3.2傅里叶变换与z变换的关系傅里叶变换是单位圆上的z变换

z变换是对序列作的傅里叶变换傅里叶变换不收敛的序列，有可能通过恰当选择r使z变换收敛;z变换的收敛域包括单位圆时傅里叶变换就收敛;也有z变换不收敛，而傅里叶变换表示存在的情况，例如sinc序列.3.3傅里叶变换的性质举例已知利用线性性质写出零相位理想高通滤波器的单位脉冲响应例题2.时域移位利用时移性质写出线性相位理想低通滤器的单位脉冲响应已知例题3.频域移位举例已知利用频移性质写出零相位高通滤波器的单位脉冲响应例题已知矩形序列

的傅里叶变换为

，用

表示以下序列(hanning汉宁窗)的傅里叶变换例题Hanning窗的傅里叶变换的振幅(M=20)4.频域微分证明5.时间反转证明6.时域卷积证明周期卷积7.时域加窗（调制/频域卷积）证明：能量密度谱8.帕斯瓦尔定理（Paswal）证明例题9.对偶和对称性质对于实序列

共轭对称分量共轭反对称分量实序列的FT相对原点或π共轭对称实序列的FT的对称性举例例题对偶、对称和时移性质的综合应用n0

振幅（是实函数,可以小于0）广义线性相位举例对偶、对称和时移性质的综合应用n0

振幅（是实函数,可以小于0）广义线性相位举例3.4DFS的定义

：周期为N

也是周期为N的序列:DFS反变换DFS正变换证明将正变换代入反变换的右边证明正反变换互逆证明

四种变换对比时域连续非周期频域非周期连续时域连续周期(T)频域非周期离散有效频率成分无穷多时域离散非周期频域周期(2π)连续时域离散周期(N)频域周期(N)离散有效频率成分N个周期

N=10广义线性相位广义幅度(振幅)举例时域周期化导致频域离散化。时域离散化导致频域周期化：若横坐标是ω(FT)则以2π为周期；若将横轴的频率ω归一化成k(DFS)，则频域以N为周期。周期为N的序列只有N个频率分量,在[0,2π)内等间隔分布振幅小于0的频段相位+π3.5周期信号的傅里叶变换表示DFS是计算周期信号频谱的手段将上式代入FT的反变换得到证明举例举例3.6DFS的性质1.线性性质

若两个信号的周期不同，则N取两个信号周期的公倍数参见习题3-25（c）2.时域移位证明3.频域移位性质

4.对偶性质证明5.对称性质实序列X[k]相对k=0和k=N/2共轭对称。实周期序列的DFS举例

定义