3.4 力的合成和分解（解析版）

4.4力的合成和分解——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义知识点1：共点力1.定义几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。2.共点力的几种情况作用情况举例说明几个力作用于同一点F1、F2、F3作用于同一点（O点）几个力的作用线相交于同一点F1、F2的作用线与G交于球体的重心O处可看成质点的物体所受的力F1、F2不是共点力，但是把A、B、C整体看成一个质点后，可以把F1、F2当成共点力来分析①共点力与非共点力质量分布均匀的细杆放在光滑的半球形容器内，受到弹力F1、F2以及重力mg，三个力的作用点不在同一位置，但是力的作用线相交于同一点，所以F1、F2、mg三个力属于共点力。②共点力的交点不一定在物体上，但在画物体的受力图时，一般把共点力的作用点平移到物体的重心.③如果一个物体受多个力而处于静止状态或匀速直线运动状态，则其中任意一个力与其他几个力的合力等大反向，这是将多个力的问题转化成二力平衡问题的方法.知识点2：合力和分力1.合力和分力假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力.假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力.如图所示，F产生的作用效果与F1和F2共同产生的作用效果相同，所以F是F1和F2的合力，F1和F2是F的分力.2.等效替代等效：指合力与各分力总的作用效果相同.替代：合力是几个分力的共同作用效果，并不是实际存在的单独的力，所以受力分析时合力与分力不能同时出现.在受力分析时，应按物体的实际情况客观分析物体受几个力的作用，不能在受力分析时再加上合力.知识点3：力的合成和分解1.定义在物理学中，我们把求几个力的合力的过程叫作力的合成，把求一个力的分力的过程叫作力的分解.一个力的作用效果可以与多个力的作用效果相同，即多个力可以由一个力来替代，反过来，一个力也可以由多个力来替代.力的分解是用几个力去替代一个已知的力，但是不改变这个力的作用效果.两个分力与合力之间满足平行四边形定则，力的合成是以两个分力为邻边作平行四边形求对角线，而力的分解则是以一个已知的力为平行四边形的对角线求两个相邻的边.①合力与分力（1）把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力的方向上有两个施力物体.（2）一个已知力和它的两个分力是同一性质的力，而且产生于同一个物体，作用于同一个物体。②力的分解是力的合成的逆运算，在力的分解中，合力真实存在，分力不存在。2.力的合成（1）特点：①力的合成是唯一的，即几个确定的分力的合力是唯一的.②只有同一研究对象受到的力才能合成.③不同性质的力也可以合成，因为合力与分力是作用效果上的一种替代.（2）特例：同一直线上的两个力的合成：设两个分力分别为F1和F2，当F1和F2方向相同时，F合=F1+F2，方向与这两个分力方向相同，如图甲所示;当F1和F2方向相反时，F合=IF1-F2I，方向与数值大的那个分力相同，如图乙所示.合力不一定比分力大，如两个分力反向，合力等于两个分力之差，合力可能比每一个分力都小，也可能比其中一个分力小.3.力的分解方法（1）一个力可以分解为两个力，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力.也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，如图甲所示.我们也可以按照研究问题方便来进行分解，例如正交分解，是把一个力分解到互相垂直的两个方向上，如图乙所示.（2）力的分解的一般根据力的作用效果分解，常将一个力沿着该力的两个作用效果方向进行分解，画出力的平行四边形，根据几何关系求解分力的大小和方向，解题常用思路为（3）常见的按效果分解的实例①接触面：分力垂直于接触面或沿接触面.a.力F一方面使物体沿接触面前进，另一方面增大了物体对接触面的压力，因此力F可分解为水平向前的力F1和竖直向下的力F2。b.物体的重力产生两个作用效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力G1;二是使物体压紧斜面的分力G2。G1=Gsinθ，G2=Gcosθ。c.球的重力产生两个作用效果：一是使球压紧挡板的分力G1;二是使球压紧斜面的分力G2。G1=Gtanθ，G2=G/cosθ。d、e.两个分力分别垂直于劈的两个侧面.重力可忽略不计的尖劈嵌入到木块里，作用在尖劈上的力F产生两个作用效果：一是使劈的左侧面压紧木块的分力F1;二是使劈的右侧面压紧木块的分力F2。②绳：其中一个分力沿绳并指向绳伸长的方向f.球的重力产生两个作用效果∶一是使球压紧竖直墙壁的分力F1;二是使球拉紧悬绳的分力F2.F1=mgtanα，F2=mg/cosα。g.A、B两点位于同一平面内，质量为m的物体被a、b两绳拉住，其重力产生两个效果∶一是使物体拉紧a绳的分力Fa;二是使物体拉紧b绳的分力Fb。Fa=Fb=mg/2cosα。h.质量为m的物体通过竖直吊绳对O点的拉力F=mg产生两个作用效果：一是拉紧OA绳的分力F1;二是拉紧OB绳的分力F2.F1=mgtanα，F2=mg/cosα。③轻杆：力对轻杆的作用效果不一定沿杆方向，不带铰链时，轻杆的弹力方向可沿杆，也可不沿杆，对于处于平衡状态的物体常根据二力平衡来判断，带较链时，用铰链连接的两个物体或其中一个物体，能绕着铰链的转轴转动.轻杆的弹力方向一定沿杆。i.质量为m的物体被支架悬挂而静止，悬绳的拉力产生的两个效果：一是沿绳AB方向紧绳的分力F1;二是压缩杆的分力F2.F1=mg/sinα，F2=mg/tanα。j.质量为m的物体被支架悬挂而静止，其中OA为轻杆，A端固定在墙壁上，OB、OC为两根轻绳，其中一端都固定在O点，另外一端分别固定在墙壁上和悬挂重物m，此时杆OA上的弹力可能沿杆的方向，也可能不沿杆的方向，这个弹力的大小和方向是由OB、OC两根绳子的拉力共同决定的.图中只是画出了一种可能的情况，拉绳OB的分力F1，和压杆OA的弹力F2。①将一个力分解为两个分力，仅是一种等效替代，不能改变力的性质以及受力物体.力的分解实例b中，G2是重力G的一个分力，它的作用效果是使物体压紧斜面.不能说G2是物体对斜面的压力，这样的说法表示G2的性质是弹力，受力物体是斜面，这是错误的!②解答有关滑轮问题的注意事项绳跨过滑轮时，两段绳上拉力的大小相等，而如果绳是打结固定的，则不同段绳上力的大小不一定相同.（1）连接处为挂钩、光滑的圆木棒或圆柱体均等效为滑轮，只改变力的方向，不改变力的大小.（2）结点和滑轮是有明显区别的，绳上力的大小并不像过滑轮绳中的力那样相等，需要利用平行四边形定则解答.【典例1】将一个已知力在某个平面内进行分解，以下说法正确的是（）A．静止于斜面上的物体所受重力按效果可分解为下滑力和正压力B．若已知两个分力的大小，则分力一定有两组解C．若其中一个分力的方向确定，另一分力大小确定，分力可能只有一组解D．将一个力分解后，分力和合力同时作用于物体上【答案】C【详解】A．静止于斜面上的物体所受重力按效果可分解为下滑力和垂直斜面向下的力，故A错误；B．若已知两个分力的大小，若两分力与已知力无法构成力的矢量三角形，此时无解，若两分力与已知力可构成力的矢量三角形，且两分力相同时，有一组解，若两分力与已知力可构成力的矢量三角形，且两分力不同时，在立体空间上有无数组解，故B错误；C．设分力F1大小确定，分力F2的方向确定，当F1=Fsinθ或D．由于分力、合力是等效替代关系，分力和合力不能同时作用于物体上，故D错误。故选C。【典例2】如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力。下列说法正确的是（）A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力B．物体受到mg、FN、F1、F2共4个力作用C．物体受到的合力为mgsinθ，方向沿斜面向下D．力FN、F1、F2这3个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果有可能不相同【答案】C【详解】A．F1与F2是重力mg按照效果分解的力，这两个分力不是物体所受到的力，故A错误；B．物体只受重力mg和支持力FN两个力的作用，故B错误；C．根据力的合成法则，可知，物体受到的合力为mgsinθ，方向沿斜面向下，故C正确；D．力FN、F1和F2的三个力的作用效果跟mg、FN

两个力的作用效果相同，故D错误。故选C。【典例3】我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为θ。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为F1和F

A．力F一定小于FB．力F一定大于FC．F1和F2D．夹角θ越大，凿子越容易进入木头【答案】A【详解】A．根据平衡条件，作出力F与F1′和

其中F=F′、F1=由于F1′对应的是直角三角形的斜边，可知，力F一定小于B．由于直角三角形的两个锐角大小关系不确定，故力F与F2C．根据上述关系图可有F故C错误；D．结合上述可知F1sin解得F1=可知，在顶部施加同样的力F时，夹角θ越大，力F1和F故选A。【典例4】用斧头劈木柴的劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如图所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1

A．ldF B．dlF C．【答案】A【详解】根据对称性，两个分力F1、F2大小相等，这样，以F1d解得F故选A。【典例5】（多选）如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同，AO和BO的拉力大小分别为F1和F

A．FB．FC．F1与F2的合力大小为D．增大物体的质量，最先断的是细绳BO【答案】BCD【详解】AB．以结点O为研究对象，分析受力情况：三根细线的拉力，重物对O点的拉力等于mg；作出力图如图：

由共点力平衡，结合正交分解法，得到x方向：Fy方向F解得FF故B正确，A错误；C．根据三力平衡条件，F1与F2的合力大小等于D．因F1<F故选BCD。知识点4：探究求合力的方法1.实验原理根据等效替代法，将橡皮条的一端固定，另一端用两个力F1、F2使其伸长一定长度，再用一个力F作用于橡皮条的同一端，使其沿相同方向伸长同样的长度，那么F与F1、F2共同的作用效果相同;若记下F1、F2的大小和方向，画出各个力的图示，就可以研究F与F1、F2的关系2.实验步骤（1）钉白纸：用图钉把白纸钉在放在水平桌面上的方木板上.（2）拴绳套：用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套.（3）用两个力拉：用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条的结点到某一位置O，用铅笔记下两细绳套的方向，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的方向，用力的图示表示出F。（4）用一个力拉：只用一只弹簧测力计钩住细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数和细细套的方向，用刻度尺从O点按同一标度沿记录的方向作出这只弹簧测力计的拉力F'的图示.（5）比较力F'与用平行四边形定则作出的合力F在大小和方向上是否相同.（6）改变两个力F1与F2的大小和夹角，再重复实验两次.3.实验结论F'和对角线F在误差允许的范围内重合说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。实验注意事项（1）在同一次实验中，使橡皮条拉长时，结点O的位置一定要相同.（2）用两只弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在合适范围内适当大些.（3）读数时应注意使弹簧测力计与木板平行，并使细绳套与弹簧测力计的轴线在同一条直线上，避免弹簧测力计的外壳与弹簧测力计的限位卡之间有摩擦.在眼睛能正视弹簧刻度的前提下，拉力的数值应尽量大些。（4）在记录细绳套方同时，应在白纸上与细绳套末端所对应的位置用铅笔画一个点，去掉细绳套后，再将所标点与O点连接，即可确定力的方向.【典例6】某实验小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。(1)本实验采用的实验方法是__________。A．控制变量法 B．等效替代法 C．理想模型法(2)实验时，下列不正确的是__________。A．实验前需对弹簧测力计校零 B．实验时两个拉力的大小能相等C．实验时应保持细绳与长木板平行 D．进行多次操作时每次都应使结点拉到O点(3)实验结果如图甲所示。在F1、F2、F、F′四个力中，不是由弹簧测力计直接测得的力为A．F1 B．F2 C．F (4)若用如图乙所示的装置来做实验，OB处于水平方向，与OA夹角为120°，则（填“OA”、“OB”或“OC”）的力最大。现保持弹簧测力计A和B细线的夹角不变，使弹簧测力计A和B均逆时针缓慢转动至弹簧测力计A竖直。在此过程中，弹簧测力计A的示数。（填“不断减小”、“不断增大”、“先减小后增大”或“先增大后减小”）【答案】(1)B(2)D(3)C(4)OA不断减小【详解】（1）该实验过程，其合力与分力的作用效果，所以本实验采用的科学方法是等效替代法。故选B。（2）A．实验前需对弹簧测力计校零，故A正确，不满足题意要求；B．实验时两个拉力的大小能相等，也可以不相等，故B正确，不满足题意要求；C．为了减小误差，实验时应保持细绳与长木板平行，故C正确，不满足题意要求；D．每次实验时，两个力拉和一个力拉需拉到结点O的位置，但是不同次实验，O的位置可以改变，故D错误，满足题意要求。故选D。（3）F1、F2、F′故选C。（4）[1]以O为对象，OB与OC垂直，根据平行四边形可知OA为斜边，则OA的力最大。[2]当弹簧测力计A和B均逆时针缓慢转动至弹簧测力计A竖直的过程中，两弹簧细线夹角保持不变，由正弦定理可得mgsin∠AOB=FA【典例7】某同学做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。如图甲所示为某次实验中用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环的示意图，其中A为固定橡皮条的图钉，O为标记出的小圆环的位置，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据该次实验结果画出的图。(1)本实验主要采用的科学方法是（）A．控制变量法 B．等效替代法(2)图甲所示的操作过程是：用两个规格相同的弹簧测力计，通过细绳沿平行木板平面的不同方向同时拉挂在橡皮筋一端的小圆环，将小圆环拉至某点O，记下O点位置和两细绳的方向，并读出两个拉力的大小。左侧弹簧测力计的示数F1=2.00N，由图可读出右侧弹簧测力计的示数(3)图乙中的力F和力F′，一定沿橡皮条AO方向的是(选填“F”或“F(4)在另一次实验中，该同学用两个弹簧测力计，通过细绳对小圆环施加平行木板平面的拉力作用，两个拉力的方向如图丙所示。如果小圆环可视为质点，且小圆环、橡皮条和细绳的重力可忽略不计，小圆环平衡时，橡皮条AO、细绳OB和OC对小圆环的拉力的分别为F1、F2和A．F1>F2>F3 B．【答案】(1)B(2)1.90/1.89/1.91(3)F(4)A【详解】（1）该实验过程中，其合力与分力的作用效果，所以本实验采用的科学方法是等效替代法。故选B。（2）由题图可知，图中弹簧测量计每一个小格表示0.1N，所以其读数为1.90N。（3）由题图可知，F′是F1和F2所组成的平行四边形的对角线。所以其为理论值，由此可知，F为实际值，即力F（4）最后绳子的结点O静止，由平衡态，竖直方向有F水平方向有F整理有F2=即F故选A。知识点5：平行四边形定则1.定义求两个力的合成，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图所示.这个规律叫作平行四边形定则.平行四边形定则适用于一切矢量合成，如速度v、加速度a、位移x、作用力F等。2.矢量三角形两个共点力首尾相接，从一个力的始端指向另一个力的末端的有向线段就是两个力的合力.3.互成角度的两个力的合成（1）作图法①根据两个力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1、F2。②以F1、F2为邻边作平行四边形，从而得到F1、F2之间的对角线.③根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就表示合力的大小，通过对角线与某一分力的夹角可以表示出合力的方向.④当分力的个数多于两个时，可先求出任意两个分力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最终求得所有分力的合力.①多个力的合成如图甲所示，质点O受F1、F2、F3、F4四个共点力作用，求这四个力的合力;如图乙所示，先求出F1、F2的合力F12，再把F12与F3合成为F123，最后把F123与F4合成为F1234，则F1234为这四个力的合力.②作图法注意事项（1）合力、分力的比例要一致，标度选取要适当。（2）实线表示力，虚线表示连线.表示分力与合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，另外两边画虚线。（3）用平行四边形定则不但可以求出合力的大小，还可以求出其方向.③求多个力合成有几种巧妙的方法（1）巧用分组：同一直线上的力优先分为一组，再对各力进行合成.（2）巧用特殊角：比如120°、60°等.（3）巧用对称：利用力的对称性，找出它们之间夹角的关系和分力的关系，能抵消就抵消.（2）计算法①相互垂直的两个力的合成如图甲所示，由几何关系得，合力的大小，与F1间的夹角θ满足tanθ=F2/F1。②夹角为120°的两等大的力的合成如图乙所示.由几何关系得，对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角形，所以合力的大小与分力等大，与每个分力的夹角均为60°。③夹角为θ的相同大小的两个力的合成，如图丙所示.由几何关系可知，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小，与F1间的夹角为.例如θ=60°时，。④根据平行四边形定则作出示意图，然后根据正、余弦定理和三角函数等几何知识计算合力.若两个分力的大小分别为F1、F2，它们之间的夹角为θ，由平行四边形定则作出它们的合力示意图如图丁所示，则合力的大小，合力的方向，为合力F与F2之间的夹角。①3个互成120°夹角的大小相等的力合力为零。②力是矢量，在求合力时，要同时求解合力的大小和方向。知识点6：矢量相加法则一切矢量加减运算均遵循平行四边形定则或三角形定则.矢量运算是大小和方向同时参与的运算.三角形定则与平行四边形定则的实质是一样的，都是矢量运算法则的表述方式.（1）平行四边形定则在位移运算中的应用.例如，人从A到B，再到C的过程，总位移与两段位移的关系，如图甲所示（2）三角形定则：把两个矢量首尾连接求出合矢量的方法.例如，某时刻一个物体的速度为v1，一小段时间内速度发生了变化，变为v2，变化量△v如图乙所示。【典例8】（多选）速度是矢量，速度的变化量Δv也是矢量，一辆汽车的初速度为v1，末速度为v2，下列关于初速度、末速度及速度变化量的矢量关系图中，可能正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【详解】由题意可得v根据矢量相加的法则可知，满足该条件的只有AB选项。故选AB。【典例9】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2=10NA．20N B．30N C．40N【答案】D【详解】解法一：利用平行四边形定则，如图所示最大力为F1，根据平行四边形定则，F3与F4的合力为F1，F2与F5的合力为F所以合力的大小为F=3故选D。解法二：利用三角形定则，如图所示将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的首端之间，F3、F4的合力等于F故这五个力的合力大小为F=3故选D。解法三：利用对称法，如图所示由对称性，F2和F3的夹角为120°，F2=FF同理，F4和FFF故这五个力的合力为F=故选D。解法四：利用正交分解法，建立如图所示的正交坐标系将F2∼F5正交分解，在F=再由图中几何关系有FFF故这五个力的合力为F=60故选D。【典例10】如图所示，某质点在共点力F1、F2、F3作用下处于静止状态。现将F1顺时针旋转60°，其他力均保持不变，那么该质点的合力大小为（）

A．F1 B．F2＋F3 C．F3 D．F1＋F2【答案】A【详解】对于三力平衡而言，其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，因此可知力F2、F3的合力与力F1大小相等、方向相反、作用在同一直线上；现将F1顺时针旋转60°，其他力均保持不变，则可知力F1与力F2、F3的合力夹角将变成120∘，而根据力的平行四边形定则可知，当两个共点力大小相等，夹角为120∘时，这两个力的合力大小将等于分力的大小，因此可知，将F1顺时针旋转60°，其他力均保持不变，那么该质点的合力大小为F故选A。【典例11】两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为120°时合力大小为10N；则当它们间夹角为A．20N B．53N C．102【答案】D【详解】两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为F当它们间夹角为60°时，合力的大小为F=2故选D。重难点1：合力范围的确定1.两个共点力的合力范围F1、F2的合力范围为IF1-F2I≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小.当两个力反向时，合力最小，为IF1-F2I;当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。2.三个共点力的合力范围先将F1、F2合成为F'，再将F'与F3合成，Fmax=F1+F2+F3.（1）若F3的大小在0～F'的范围之内，合力F的最小值为零，也可以利用矢量三角形判断，若三个力可以构成一个封闭三角形，合力F的最小值为零.（2）若F3的大小不在0～F'的范围内，设F1≤F2≤F3，则Fmin=IF3-(F1＋F2)I。（1）合力大小可以大于、等于或小于分力的大小;（2）两个分力大小一定时，夹角越大，合力越小;（3）合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大。【典例12】两个力F1和F2间的夹角为θ（0°<θ<180°），两力的合力为F，下列说法正确的是（）A．合力F一定比分力F1和F2都大B．合力F一定比分力F1和F2其中的一个大C．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就增大【答案】C【详解】AB．根据平行四边形定则可知，如下图所示当F1和F2间的夹角为钝角时，则合力F可能比分力F1和F2都小，故AB错误；C．根据平行四边形定则可知，若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故C正确；D．根据三角形定则可知，如下图所示如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F可能增大，也可能减小，故D错误。故选C。【典例13】如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像（0°≤θ≤360°），下列说法中正确的是（）A．合力大小的变化范围是0≤F≤10B．合力大小的变化范围是2C．这两个分力的大小分别为2N和6ND．这两个分力的大小分别为2N和8N【答案】B【详解】CD．由图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为2N，则有F当两分力夹角为90°时，两分力的合力为10N，则有F联立解得，这两个分力的大小分别为6N和8N，故CD错误；AB．当两个分力方向相同时，合力最大为14N，当两个分力方向相反时，合力最小为2N，因此合力大小的变化范围是2故A错误，B正确；故选B。【典例14】（多选）三只豹子正沿水平方向用大小分别为300N、400N、500N的力拖动同一猎物。若豹子的方位不确定，则这三个力的合力大小可能为（

）A．1100N B．1400N C．1500N D．0N【答案】AD【详解】当三力同向时得最大值F这三力中前2个力的合力范围是100N～700N，若第3个力与前2个力的合力等大反向，则这3个力的合力为零。所以这3个力的合力范围是0～1200N。故选AD。重难点2：力的分解中定解条件的讨论1.力的分解中解的情况力分解时有时有解，有时无解，关键是看表示合力的对角线与给定的分力的有向线段是否能够构成平行四边形（或三角形）.若能，说明合力能分解成给定的分力，则有解;若不能，说明合力不能分解成给定的分力，则无解.具体有以下几种情况∶条件已知条件分解示意图解的情况已知两个分力的方向唯一解已知一个分力的大小和方向唯一解已知两个分力的大小F1+F2＞F两解F1+F2=F唯一解F1+F2＜F无解已知一个分力（F2）的大小和另一个分力（F1）的方向F2＜Fsinθ无解F2=Fsinθ唯一解Fsinθ＜F2＜F两解F2≥F唯一解2.由力的三角形定则求力的最小值（1）当已知合力F及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是两个分力垂直，如图甲所示，最小值F2=Fsinα。（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是分力F2与合力F垂直，如图乙所示，最小值F2=F1sinα。（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是已知大小的分力F1与合力F同方向，最小值F2=IF-F1I。【典例15】将一个力F分解为两个互成角度的两个分力时，以下说法正确的是（）A．已知两个分力的方向，可能有两组解B．在同一平面内，已知两个分力的大小，可能有两组解C．已知一个分力的大小和方向，可能有两组解D．已知一个分力的大小和另一个分力的方向，只有一组解【答案】B【详解】A．将一个力F分解为两个互成角度的两个分力时，已知两个分力的方向，根据平行四边形定则，有唯一解，故A错误；B．在同一平面内，已知合力与两个分力的大小，根据三角形定则，方向有可能不同，如下图可能有两组解，故B正确；C．已知一个分力的大小和方向，根据平行四边形定则，有唯一解，故C错误；D．已知一个分力的大小和另一个分力的方向，根据平行四边形定则，如图所示可能有两组解，故D错误。故选B。【典例16】要使物体所受合力的方向沿OO′方向，其中一个分力F1=10N且与OO′方向成θ=30°，另一个分力F2的最小值是（）

A．0 B．5NC．1033N【答案】B【详解】当F2的方向与OO′垂直时，F2有最小值，大小为F故选B。【典例17】如图将力F（大小已知）分解为两个分力F1和F2，F2和F的夹角θA．当F1>Fsinθ时，肯定有两组解C．当F1<Fsinθ时，有唯一一组解【答案】D【详解】如图所示：AB．当F＞F1＞Fsinθ时，根据平行四边形定则，有两组解；若F1>FsinCD．当F1=Fsinθ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解；当F1＜Fsinθ时，分力和合力不能构成三角形，无解，故D正确，C错误。故选D。【典例18】把一个竖直向下的力F=180N分解为两个分力，一个分力F1与竖直方向的夹角为30°斜向下（如图所示），则另一个分力

A．80N B．60N C．30N【答案】D【详解】根据题意，由矢量三角形可知，当F1与F2垂直时

由几何关系可得F则另一个分力F2的大小不可能是80N、60N、30故选D。【典例19】（多选）将力F分解成F1、F2两个分力，如果已知F1的大小和F2与F之间的夹角为锐角A．当F1>Fsinα时，一定有唯一解C．当F1=Fsinα时，有唯一解【答案】BCD【详解】题中情景如下AB．根据分解图可知当F1、F2垂直时，F根据平行四边形定则，当F>时，有两组解F1＞Fsinα时不一定有两解，故A错误B正确；C．当F1=Fsinα时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解。故C正确；D．当F1＜Fsinα时，分力和合力不能构成三角形，无解。故D正确。故选BCD。重难点3：力的三角形定和多边形定则1.图甲是利用平行四边形定则将两个力F1、F2合成为F的合成图，将F2平移至对面的边，可演变为利用三角形定则的合成图，即将两分力F1、F2首尾依次相接，则由F1无箭头一端指向F2有箭头一端的有向线段所表示的力就是F。2.如果是多个力合成，由三角形定则推广可得到多边形定则.以点O为起点，将多个力顺次首尾相接作力的图示，然后由点O指向最后一个力的有箭头一端的有向线段即为要求的合力，如图乙、丙所示为三个力F1、F2、F3的合成图，F为其合力。3.当一个物体仅受三个力的作用且合力为零时，这三个力依次首尾相连，可构成一个封闭的三角形，如图丁所示.【典例20】在学习力的平衡时，小梦同学将三个力F1、F2和A．甲同学认为该三个力的合力为零B．乙同学认为若只将F1C．丙同学认为若只将F2改成原来的反方向，则该三个力的合力为D．丁同学认为若只将F3改成原来的反方向，则该三个力的合力为【答案】C【详解】求两个力的合力，根据平行四边形定则，可把合力与分力构成一个封闭的矢量三角形，且分矢量是箭头与箭尾依次连接，合矢量是箭头与箭头连接，箭尾与箭尾连接。若三个力依次首尾相连，构成一个封闭的矢量三角形，则三个力的合力为零。A．从题图中可看出F3与F1与F2B．若只将F1改成原来的反方向，同理可得F2与F1与FC．若只将F2改成原来的反方向，同理可得F1与F2与FD．若只将F3故选C。【典例21】（多选）某质点在同一平面内同时受三个共点力作用的四种情况分别如图甲、乙、丙、丁所示，已知图中每个正方形方格的边长表示大小为1N的力，则关于该质点所受合外力大小的说法错误的是（）A．图甲中质点所受的合外力大小等于4NB．图乙中质点所受的合外力大小等于5NC．图丙中质点所受的合外力等于0D．图丁中质点所受的合外力等于3N【答案】ACD【详解】A．对甲，先将F1与F3合成，合力为向左的3N，然后再用勾股定理，求得F1、FB．对乙，先将F1与F3沿水平和竖直方向正交分解，水平分量相等，竖直分量分别为1N和2N，再与C．对丙，F2和F3的合力与F1D．根据三角形法则，丁图中合力等于0，故D错误。本题选错误的，故选ACD。【典例22】（多选）如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零。F1沿−y方向，大小已知。F2与+x方向夹角为θ（θ<90°），大小未知。下列说法正确的是（）A．F3可能指向第二象限 B．F3一定指向第三象限C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小 D．F3的最小值为F【答案】AD【详解】AB．三力平衡时，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，由于F2大小未知，则F1、F2的合力F在F1与F2之间的任意方向，而三力平衡时，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F3可能指向第二象限，也可能在第三象限，故A正确；B错误；C．F3与F2的合力始终与F1等值、反向、共线，故C错误；D．根据三角形定则，作图如图所示当F1、F2的合力F与F2垂直时，合力F最小，则cos解得F=故D正确。故选AD。重难点4：求合力的常用方法———正交分解法1.定义把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算来解决矢量运算问题.在力的正交分解过程中，分解的目的是求合力，尤其适用于物体受到多个力的情况。2.坐标轴的选取原则原则上，坐标轴的选取是任意的，为使研究问题方便，具体问题中一般使更多的力落在坐标轴上，减少需要分解的力的个数。3.力的正交分解法的步骤求三个或三个以上力的合力时，常选用正交分解的方法.【典例23】科学的佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（A．耳朵受到的口罩带的作用力为2kxB．耳朵受到的口罩带的作用力小于2kxC．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为37°D．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为53°【答案】B【详解】AB．弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳弹力大小相等，即F将FAB、F在x方向F在y方向F则耳朵受到口罩的作用力为F=故A错误B正确；C．作用力方向与水平方向的夹角为θ，则tan所以作用力方向与水平方向夹角为45∘D．由C知，D错误；故选B。【典例24】如图所示，水平地面上质量为2kg的木块向右运动，推力F=10N，方向与水平方向夹角为37°斜向下。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，木块与地面间的动摩擦因数为0.5，木块受到的摩擦力为（g=10m/s2）（

）A．10N B．7N C．6N D．13N【答案】D【详解】由题知木块在推力F=10N的作用下向右运动，则木块受到的摩擦力为滑动摩擦，则有f=μFNFN=mg＋Fsin37°联立解得f=13N故选D。【典例25】同在xOy平面内的六个力如图所示，大小分别为F1=10N，F2=203N，F3=12N，F4=103

【答案】10N，沿x正方向【详解】根据平行四边形定则将各力垂直分解到两个坐标轴上，则可得x轴方向的合力为Fy轴方向的合力为F所以合力大小为F=10方向沿x正方向。重难点5：活结和死结模型结点模型可分为活结（滑轮）和死结模型，这两种模型经常考查，均可以用共点力平衡知识进行处理。1.活结是由绳子跨过光滑滑轮、绳子跨过光滑钉子（挂钩）的组合模型，绳子跨过光滑的滑轮，看起来是两根绳子，实际上仍为同一根绳子，张力大小处处相等，如图甲所示，图乙为图甲的拓展模型。2.如果是绳子系在另一根绳子上或系在某点时为"死结"，此时几段绳子不是同一根绳子，每段的张力大小可以不相等，如图丙所示。活结模型特点如下∶（1）两绳中拉力T相等，2Tsinθ=G，其中θ为绳与水平方向的夹角。（2）两边绳与水平方向的夹角相等，均为θ。（3）设两端点A、B的水平距离为d，绳长为l，则cosθ=d/l。【典例26】（多选）如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的A点和B点，轻绳上有一个挂钩，挂钩下面挂了一物块．保持左侧杆和A点的位置不变，下列说法正确的是（

）

A．右侧杆不动，B点移到B1B．右侧杆不动，B点移到B2C．B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，绳子张力不变D．B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，绳子张力变大【答案】BD【详解】设挂钩为O，根据对称性可知，挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为θ，根据受力平衡可得2T设轻绳两端点的水平距离为x，绳子长度为L，由几何关系可得sinA．右侧杆不动，B点移到B1位置时，由于x和L均不变，则θB．侧杆不动，B点移到B2位置时，由于x和L均不变，则θC．B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，由于x变小，L不变，则θ变小，cosθD．B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，由于x变大，L不变，则θ变大，cosθ故选BD。【典例27】轻杆的一端安装有一个小滑轮P，用手握住杆的另一端支持着悬挂重物的绳子，如图所示．现保持滑轮的位置不变，使杆向下转动一个角度到虚线位置，则下列关于杆对滑轮P的作用力的判断正确的是()A．变大 B．不变 C．变小 D．无法确定【答案】B【详解】试题分析：据题意，保持滑轮的位置不变，处于静止状态，其合力为零，重物也静止，则知绳子的拉力大小始终等于重物的重力大小，保持不变，两绳的夹角也不变，故析两绳拉力的合力保持不变．使杆向下转动一个角度到虚线位置的过程中，根据平衡条件知，杆对滑轮P的作用力与两绳拉力的合力大小相等、方向相反，所以杆对滑轮P的作用力保持不变．故B正确，ACD错误．考点：考查了共点力平衡条件，力的合成与分解【典例28】（多选）图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′A．图甲轻杆中弹力大小为2B．图乙轻杆中弹力大小为2C．图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向D．图乙中绳子对轻杆弹力可能不沿杆【答案】AC【详解】A．由于图甲轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，图甲轻杆中弹力大小为F故A正确；BD．图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，OC．根据共点力平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。故选AC。【典例29】如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上。一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？【答案】见解析【详解】系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为：a．两小环同时位于大圆环的底端．b．两小环同时位于大圆环的顶端．c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称。设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧θ角的位置上（如图所示）。对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T＝mg对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N。两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反T得α=而α+αα=所以θ=一、单选题1．两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为A．若F1和F2大小不变，θ角减小，则合力B．合力F总比分力F1和FC．若θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力D．若F1=6【答案】A【详解】A．若F1和F2大小不变，θ角减小，根据平行四边形定则可知合力B．合力F不一定比分力F1和FC．若θ不变，F1大小不变，F2增大，若θ大于90°，则合力D．若F1F故D错误。故选A。2．两个共点力的大小分别为3N和8N，这两个共点力的合力F的大小范围是（）A．3N≤F≤8NC．5N≤F≤11N 【答案】C【详解】3N和8N的力反向时合力最小，为5N，3N和8N的力同向时合力最大，为11N，故这两个共点力的合力F的大小范围是5N故C正确。故选C。3．将F=40N的力分解为F₁和F₂，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则（）

A．当F₂<20N时，一个F₂有一个F₁的值相对应B．当F₂=20N时，F₁的值是20C．当F₂>40N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应D．当10N<F₂<20N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应【答案】B【详解】AD．根据矢量三角形法则，如图所示

当F2的方向与F1垂直时F2最小，最小值为F当F₂<20N时，无解，故AD错误；B．当F₂=20N时，F₁的值是F故B正确；C．根据A选项分析可知，当F₂>40N时，此时F2只能处于图中F2最小值右侧，故此时一个F₂只有一个F₁的值与它相对应，故C错误。故选B。4．如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力大小为（）A．F B．2FC．6F D．0【答案】D【详解】竖直方向两力的合力为3F，竖直向上；3F与6F两力的合力为3F，沿6F的方向；2F与5F两力的合力为3F，沿5F的方向。将同一直线上的力合成后，物体受力如图所示由几何关系可知，三力大小相等，夹角为120°，合力为零。故选D。5．下列四组共点力分别作用在同一个物体上，不可能使物体保持静止状态的是（）A．1N、3N、5N B．2N【答案】A【详解】A．3N、5N的合力范围为21N的力不在这个合力范围之内，三力不可以平衡，不可能使物体保持静止状态，故A符合题意；B．4N、6N的合力范围为22N的力在这个合力范围内，三力可以平衡，故B不符合题意；C．4N、5N的合力范围为1N3N的力在这个合力范围内，三力可以平