线段的垂直平分线的性质 课件 2023-2024学年人教版数学

13.1.2线段的垂直平分线的性质

导入新知罗田高铁对接选址正在进行

根据《湖北省“十四五”铁路发展规划》，修建武汉经罗田、英山至安庆高铁是支撑长江经济带和皖江城市带发展等国家战略，建立现代化高质量综合立体交通网，完善中部地区铁路网，构建武汉至杭州快递铁路通道的重要举措。铁路建成后将促进罗田、英山等革命老区交通协调发展，促进沿线地区旅游资源开发，巩固脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接。探究新知线段的垂直平分线的性质定理知识点11、画一画任意画出一条线段AB，做出线段AB的垂直平分线l2、量一量

l上任意选取三个点P1，P2，P3，量一量P1，P2，P3到点A与点B的距离。你能发现它们之间有什么数量关系吗？3、折一折lABP3P2P1···“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”

已知：直线

l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在

l上．

求证：PA=PB．ABPCl探究新知4、证一证证明：（1）当P与C重合时，结论显然成立。

（2）当P与C不重合时

∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°．

在△PCA和△PCB中CA=CB

∠PCA=∠PCBPC=PC

∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PBABPCl归纳新知线段的垂直平分线的性质定理知识点1线段垂直平分线的性质应用新知练习：如图，AD⊥BC，BD=DC，点C

在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么数量关系？ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，即AD是BC的垂直平分线.

∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,

∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.解：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°∴在△ADB和△ADC中BD=CD∠ADB=∠ADCAD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS)∴AB=AC小试牛刀

如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AG于点G。求证：BF=CG。证明：连接BE，CE.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AG∴EF=EG∵DE垂直平分BC，∴EB=EC在Rt△EFB和Rt△EGC中，

EF=EG

EB=EC∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL)∴BF=CG动脑两分钟，解题更轻松线段垂直平分线，常向两端把线连.反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？已知：PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．探究新知探索并证明线段垂直平分线的判定PAB探究新知已知：PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．CPAB证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立.

（2）当点P不在线段AB上时，

过点P

作PC⊥AB

于点C，则∠PCA=∠PCB=90°．∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．在Rt△PCA和Rt△PCB中，

PA=PB

PC=PC你还有其他的证明方法吗？几何语言：∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上．

线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．PABC线段的垂直平分线的判定定理知识点2归纳新知∟

在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；

反过来，与A、B距离相等的点都在l上。所以，直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合

PABCl∟归纳新知解：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线．∵MB=MC，∴点M在BC的垂直平分线上∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM应用新知例2尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C

.求作：AB的垂线，使它经过点C

.作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB

的两旁.

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于

DE