高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第7讲 函数的图象学案-人教版高三全册数学学案

第7讲函数的图象

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

2019年本阴仍是高考命题的热

1.根据函数解析式或实际问题中函数

I图象判断85点.主要考查：已知函数的解析式，识

2017的变化过程选图.

别函数的图象；已知困数解析式通过平

III图象判断752.与函数的性质(对称性、单调性、奇

移变换得到新的解析式；根据图象判断

偶性、零点八方程、不等式等知识

20161图象判断95根的个数；求参数的范围；对称性问

交汇命题，综合考杳数形结合思想.

题；求不等式解及怛成立问题.

2015n图象判断115

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、推直、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、

周期性、对称性等).

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点,

连线.

考点2利用图象变换法作函数的图象

1.平移变换

a>0,右移心单位

尸f(x)----y—f{x-a)；

水0,左移|a1个单位

6>0,上移协单位

y—f(x)----y—f{x}+b.

X0,下移I引个单位

2.伸缩变换

横向伸长为原来的工倍

O)

y=/⑺------------------------------Ay=./(丁彳);

3>1,横向缩短为原来的一倍

(V

一、A>1,纵向伸长为原来的A倍一、

y=f(x)---------------------------------------------------------------------------=Af(

0<A<l,纵向缩短为原来的A倍」

3.对称变换

关于春由对称

尸/'(*)----►y=—f{x)；

关于渊对称

y=f(x)-------y=f{—x)；

关于原点对称

y=f(x)------►y=—f(-x).

4.翻折变换

去掉碎由左边图，保留碑由右边图

尸『(*)—"y=AI^I);

作其关于游由对称的图象

留下游由上方图

y=f(x)------►y=If(x)|.

将鹿由下方图翻折上去

［必会结论］

1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行

操作.如果X的系数不是1,需要把系数提出来，再进行变换.

2.上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行

操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)当xG(O,+8)时，函数尸"(x)|与『/'(|x|)的图象相同.()

(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.()

(3)若函数y=f(x)满足f(l+x)=f(l-x),则函数f(x)的图象关于直线x=l对

称.()

(4)将函数y=f(一x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(—x—1)的图象.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

2.［课本改编］函数y=log?|x|的图象大致是()

答案C

解析函数y=logjx|为偶函数，作出x>0时y=log4的图象，图象关于y轴对称.应

选c.

3.［2018•山东师大附中月考］函数y=2'-V的图象大致是()

答案A

解析易探索知x=2和4是函数的两个零点，故排除B、C；再结合与尸f的变

化趋势，可知当入一一8时，而ff+8,因此2'—/一-8,故排除D.选A.

4.［2018•北京海淀一模］下列函数f(x)图象中，满足/(；)>f(3)>F(2)的只可能是

()

答案D

解析因为/(；)>『(3)>笊2),所以函数f(x)有增有减，不选A,B.又C中，/(；)〈f(0)

=1,A3)>r(o),即^<r(3),所以不选c.选D.

5.［课本改编］如图，函数f(x)的图象是曲线勿属其中点0,46的坐标分别为(0,0),

(1,2),(3,1),则.

答案2

•.•由图象知F(3)=l,，熹=L•.・《制"⑴=2.

解析

板块二典例探究•考向突破

考向函数图象的画法

例1作出下列函数的图象:

⑴y=|x—2|•(x+2);⑵尸|log2(x+l)I；

(3)尸*;(4)y=?-21x|-l.

%2—4,x22,

解(1)函数式可化为y=

—y+4,%<2,

其图象如图实线所示.

(2)将函数y=log4的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,

即可得到函数尸|logz(x+l)|的图象，如图.

(3)原函数解析式可化为尸2+占，故函数图象可由图象向右平移1个单位，再

向上平移2个单位得到，如图.

f—2x—10

2,,且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8）上的图

{x+2x—1,K0,

象，再根据对称性作出（一8,0）上的图象，得图象如图.

触类旁通

画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函

数的特征直接画出.

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可

利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应

注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

【变式训练1】作出下列各函数的图象：

⑴尸x-Ijr—r；

（2）y=|f—4x+3|；

⑶尸队

⑷尸|10g2^—1|.

L后1,

解（1）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y=/可见其图

2x—1,才＜1,

象是由两条射线组成，如图⑴所示.

图(2)

x—4x+3,x23或

(2)函数式可化为y=

—x+4^-3,1<X3,

图象如图⑵所示.

(3)作出y=&)的图象，保留y=&)的图象中x20的部分，加上y=Q'的图象中x>0

部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图(3)实线部分.

图(3)图(4)

(4)先作出y=log?x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将

x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2X-l的图象，如图(4)所示.

识图与辨图

丫血题角一度」…知式选图

sin*

例2[2017•全国卷III]函数y=l+x+T的部分图象大致为()

答案D

sin*Qinr

解析当『>+8时，—^―*0,l+x->+°°,y=l+x+—+8,故排除选项B.

J[cinv

当OVxV不时，y=l+x+――>0,故排除选项A,C.

乙x

故选D.

?施题免度2…知图选式

例3[2018•泉州五中质检]已知函数/'(x)的图象如图所示，则/1(X)的解析式可以是

)

-In|川

A.f{x}=--------

x

X

/、e

B.f(力=一

x

/、1

C.f(x)=1-1

/\1

D.f(x)=x—

X

答案A

解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B,C；若函数图象为f(x)=x-L

X

则xf+8时，f{x)-+oo,排除D.故选A.

9命题角度金…知图选图

例4已知定义在区间［0,2］上的函数尸f(x)的图象如图所示，则y=-f(2—x)的图

象为()

答案B

作关于例对称的图象

解析y—A%)-------y—f(—x)

向右平移2个单位

------►y=/(2—%)

作关于渊对称的图象

——►y=-F(2—x).选B.

触类旁通

函数图象的识辨可从以下几方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置;

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复;

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

考向A3函数图象的应用

例5[2015•北京高考]如图，函数/1(*)的图象为折线｛庞，则不等式/V)2log?(x

+1)的解集是()

A.{x\—1<XW0}

B.{x|-lWxWl}

C.{x|—l〈xWl}

D.{x|-l〈启2}

答案C

解析令g(x)=y=log2(x+l),作出函数g(x)图象如图.

x+y—2,

由'

,y=log2(x+l),

x=l,

得

J=L

结合图象知不等式

f(x)与log2(x+l)的解集为{x|—l〈xWl}.

亦

工

若本例条件变为：关于x的不等式F(x)》logz(x+a)

在(一1,2］上恒成立，试求实数a的取值范围.

解在同一坐标系中分别作出f(x)和y=log2(x+a)的图象，若要使f(x))log2(x+a)

在(一1,2］上恒成立，只需尸/"(x)的图象在(一1,2］上恒在y=log?(x+a)的图象上方即可.

y=log2(x-l)

y=|og2(x+a)

2/34

则需一a'l,即aW—1,

所以实数a的取值范围为（-8,-1].

触类旁通

利用函数的图象研究不等式思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象

的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

【变式训练2】不等式log2（—x）〈x+l的解集为.

答案（一1,0）

解析设/'（x）=log2（—X）,g{x）—x+l.

/㈤=log2(f)g(x)=x+l

函数f（x）,g（x）在同一坐标系中的图象如图.

由图象可知不等式

log2（—x）＜x+l的解集为

{x|—KXO}.

IG幺师室也?内领悟1

核心规律

1.识图的要点：根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点（与X轴、y

轴的交点，最高、最低点等）.

2.识图的方法

(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这

一特征分析解决；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；

(3)排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证.

。满分策略

三个必须防范的函数图象应用中的易误点：

(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变

量.

(2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象是不同的.

(3)混淆条件“f(x+l)=f(x—D”与“/•(x+l)=F(l—x)”的区别，前者告诉周期为

2,后者告诉图象关于直线x=l对称.

板块三启智培优•破译高考

数学思想系列3——函数图象中的数形结合思想

IX—1I

[2018•陕西模拟]已知函数y=-~1的图象与函数尸数的图象恰有两个交点，则实

X—1

数衣的取值范围是.

解题视点本题中的函数含有绝对值号，必须先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，转

化为一般的分段函数，通过数形结合直观判断出两个函数交点的个数即可.

I11

解析函数尸一一J的定义域为3丘1},所以当X>1时，尸x+l,当一1〈求1时,

X—1

y=-x—1,当xW—1时，尸*+1,图象如图所示，

由图象可知当0<K2且kWl时两函数恰有两个交点，所以实数k的取值范围为(0,1)

U(1,2).

答案(0,1)U(1,2)

答题启示本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以

数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够

变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质.

,跟踪训练

己知函数f(x)=lx—2|+1,g(x)=4*若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实

解析由已知，函数/'(x)=1x-2|+l与g(x)=Ax的图象有两个公共点，画图可知当

直线介于八：y=\x,&y=x之间时，符合题意.故选B.

板块四模拟演练•提能增分

［A级基础达标］

1.已知函数是定义在R上的奇函数，且在［0,+8)上是增函数，则函数/"(X)

的图象可能是()

解析函数/"（x—l）的图象向左平移1个单位，即可得到函数/Xx）的图象；因为函数

f（x-D是定义在R上的奇函数，所以函数『（"一1）的图象关于原点对称，所以函数Ax）的

图象关于点（一1,0）对称，排除A,C,D.选B.

2.[2018•昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y

=f（x）的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是（）

答案D

解析由图象，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加,

中间一段时间保持不变，然后匀速减小.

3

3.[2018•四川模拟]函数了=F，的图象大致是（）

3—1

答案c

解析因为函数的定义域是非零实数集，所以A错误；当x（0时，/0,所以B错误;

指数型函数远比幕函数上升的快，故当x-+8时，L0,所以D错误.故选C.

V

4.[2018•温州模拟]函数y=]—2sinx图象大致为（）

A

C

答案c

解析当x—O时，y=0,由此排除选项A；当x—2"时，y=w<4,由此排除B；当x-

+8时，7>0,由此排除选项D.故应选C.

5.已知lga+lgb=0(a>0且»0且6#1),则/"(x)=a*与g(x)=-log〃x的

图象可能是()

答案B

解析,.Tga+lg6=0,.'.a=t，又g(x)=—log〃x=log]_x=logex(x>0),.,.函数/'(/)

~b

与g(x)的单调性相同.故选B.

6.[2018•黑龙江模拟]函数f(x)=/-x的图象大致为()

解析因为/'(—X)=W=■+*=—(/—X)=—f(x),所以函数f(x)X是奇函

1

数，排除c,D.又/1(1)=1-1=0,(*)=(+)5一+=3—排除A•选B.

7.[2018•安徽淮南模拟]二次函数y^a^+bx及指数函数了=e)的图象只可能是

()

解析根据指数函数y=(3'可知a,6同号且不相等，.•.一《〈()，可排除B,D；

/a

由选项C中的图象可知，a—b〉o,水。,.,$1,

.••指数函数尸单调递增，故C不正确，排除C.选A.

logzx,x>0,

8.[2018•洛阳统考]己知函数f(x)=关于x的方程/'(x)+x—a=0

31,xWO,

有且只有一个实根，则实数a的取值范围是

答案(1,+8)

解析问题等价于函数y=F(x)与尸一x+a的图象有且只有一个交点，如图，结合函

数图象可知a>l.

9.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的xCR,不等式/'(x)》g(x)恒成立,

则实数a的取值范围是.

答案［-1,+°°)

解析如图作出函数/"(x)=|x+a|与g(x)=x-l的图象，观察图象可知：当且仅当一

即a》一l时，不等式f(x)》g(x)恒成立，因此a的取值范围是［—1,+°°).

11gx|,x>0,

10.已知f(x)=\,则函数y=2f(x)—3f(x)+l的零点个数是

2，xW0,

答案5

解析方程2f(x)—3f(x)

+1=0的解为f(x)=g或1.作出y=f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.

[B级知能提升]

印xWl),

1.[2018•山西忻州模拟]已知函数f{x}=hoglMx>l),

[3

则函数y=f(l—x)的大致图象是()

答案D

’3一，，心0,

解析y=F(l—x)=<logj_(1—x),K0.故选D.

3

COSX

2.[2018•启东模拟]函数F(x)=的图象大致为()

X

答案D

,\cos(-X)COSX

解析〃一才)=―-~——:f(x),

-XX

.••函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称,故排除A,B：当x=2时,

3

77>0,排除C.故选D.

3.下列四个函数中,图象如图所示的只能是()

A.y=x+l