高二年级新课程教案：《高二数学·选修2-1课程教案》

PAGE1PAGE空间向量与立体几何(复习二)【学情分析】：学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。【教学重点】：。计算空间角。【教学难点】：计算空间角，角的取舍。【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习1。两条异面直线所成的角，转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别关注两个向量的方向）2。直线与平面所成的角，先求直线与平面的法向量的夹角（取锐角）再求余角。3。二面角的求法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l则θ=<,>=<,方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。4。点P到平面的距离：先在内任选一点Q，求出PQ与平面的夹角θ则这里只用向量解题，没包括传统的解法。二、实例例2．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点. （1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC； （2）求异面直线AE与BF所成的角； （3）求二面角A—BE—F的平面角.解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC∴侧面PAC⊥侧面PBC.（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，平面ABE的法向量为=（1，1，1）例3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角N—EF—M的平面角的余弦值.解：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则有E（，0，1，），F（1，，0），M（，1，1），N（1，，1）.（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.所成角的余弦为零。（3）二面角M—EF—N的平面角的余弦值为.此处可引导特色班的学生尝试传统的方法来解题。三、小结（见一）四、作业1．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.解：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则∴－1×0+1×（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中点.（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）∵∴，即AC1与平面EFG所成角为2．在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的余弦值；（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.答案：（Ⅰ）先证BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，（Ⅱ）（Ⅲ）C1到平面A1BC的距离为.教学与测试（基础题）1．空间四边形中，，，则<>的值是（）A．B．C．－D．答：D。2．2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。答：垂直。3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为.（中等题）5．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系. 由于， 在三棱柱中有 , 设 又侧面，故.因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为.（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故即二面角的大小为

§2．1曲线与方程§2．1．1曲线与方程【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。【教学目标】：知识与技能了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题：(1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为引导学生分析：（1）如果点是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即，那么它的坐标是方程的解。（2）如果是方程的解，即，则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。二．复习、引入(2)仿照（1）说明：以为圆心，以r为半径的圆与方程的关系⑴设M(xo,yo)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于半径，即，即：，这就是说，(xo,yo)是此方程的解；⑵如果(xo,yo)是方程的解，则可以推得，即点M(xo,yo)到圆心的距离等于半径，点M在圆上。引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．三．讲解定义1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：3．练习：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？（1）;（2）;（3）|x|-y=0.上题供学生思考，口答．解：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．第（1）题中曲线C上的点不全都是方程的解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备性)的含义，使学生初步理解这个概念通过引导学生运用集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在记忆中上也趋于简化通过反倒加深对定义的理解。四．例题1．例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是证明：（1）如图，设是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以：，即是方程的根；（2）设点的坐标是方程的根，则：，即，而、是点到横轴、纵轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数k，点是曲线上的点。由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程通过例题巩固定义。五．练习1．教科书P37练习1、2六．小结曲线与方程的关系如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关系？五、作业教科书习题2.1A组1、2练习与测试：1．如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上2.判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;(4)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=03.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ,tanθ),其中在曲线上的点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.45．证明动点P(x，y)到定点M(-a，0)的距离等于a(a＞0)的轨迹方程是6.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.（λ为任意常数）练习与测试解答：1.分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选D2.分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.解：（1）满足曲线方程的定义.∴结论正确（2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性.∴结论错误.（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1.∴所给问题不具备完备性∴结论错误（4）中线AD是一条线段，而不是直线，∴x=0(-3≤y≤0),∴所给问题不具备纯粹性.∴结论错误.3.分析：方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于0，∴x+2y＞0解：由对数的真数大于0，得x+2y＞0.∴A(0,-3)、C()不合要求将B（0，4）代入方程检验，不合要求.将D（4，0）代入方程检验，合乎要求.故选B.4.分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.解：将点A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3secθ,tanθ)代入方程检验，只有点A和点B满足方程.故选B.5．仿照课本例子，分两种情况易证6.分析：只要将M点的坐标代入方程.F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可证明：∵M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点，∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲线上.评述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程

§2．1．2求曲线的方程【学情分析】：通过上节课的学习，领会了“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；对坐标法求点的轨迹方程有一定了解；【教学目标】：知识与技能了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程画出方程所表示的曲线能利用曲线的方程研究曲线的性质过程与方法在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；了解求点的轨迹方程的几种常用方法体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤【教学难点】：利用方程研究曲线的性质【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。二．坐标法与解析几何主要研究问题1.坐标法在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽)然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）2．解析几何的创立意义及其基本问题在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域3．平面解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质能过对数学史的介绍激发学生学习数学的兴趣。三．例题1．例2：设A、B两点的坐标分别是（－1,－1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程解：如图设点M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是属于集合：由两点间的距离公式，点M的条件可表求为：上式两边平方，并整理得：①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程。由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标都是方程①的解；设点的坐标是方程①的解，即，即点到A、B的距离分别是所以，即点M在线段AB的垂直平分线上由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程2．讨论，求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的？引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般地，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。3．例3：已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。引导学生分析探索解题思路，由学生板演解题过程解：如图，取直线为x轴，过点F且垂直于直线为y轴，建立坐标系xOy设点M（x，y）是曲线上任意一点，作轴，垂足为B，则点M属于集合由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为①将①式移项后两边平方，得化简得因为曲线在x轴的上方，所以．虽然原点的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是（）它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点．学生通过讨论归纳，培养学生总结归纳能力及合作交流精神。例题巩固。五．练习1．教科书P37练习32．设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程解：设M的坐标为，M属于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为，整理后得(≠±1)

下面证明(x≠±1)是点M的轨迹方程(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程(x≠±1)的解；(2)设点的坐标是方程(x≠±1)的解，

即，∴由上述证明可知，方程(x≠±1)是点M的轨迹方程说明：所求的方程后面应加上条件ｘ≠±１六．小结1.求简单的曲线方程的一般步骤2.求动点的轨迹方程中的注意点：（1）.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。（2）.注意平面几何知识的运用。（3）.注意要求是求轨迹方程还是轨迹3.求点的轨迹的常用方法1.直接法;2.定义法（和几何法联系）3.相关点法;4.参数法五、作业教科书习题2.1A组3、4、5B组1、2练习与测试：1.由动点P向圆引两条切线、，切点分别为、，，动点轨迹方程是2．已知A﹑B﹑D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=eq\f(1,2)(+).则E点的轨迹方程是；3．已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足当点P在y轴上移动时，则点M的轨迹方程为4．求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程5．过点P(2,4)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程6．已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线练习与测试解答：1.由圆的几何性质知、组成一个以，，且的直角三角形，故，∴点轨迹方程为2．x2+y2=1解：设E(x，y)，=+，则四边形ABCD为平行四边形，而=eq\f(1,2)(+)，∴E为AC的中点，∴OE为ΔABD的中位线，∴||=eq\f(1,2)||=1，∴E点的轨迹方程是x2+y2=13．（）解：设点M的坐标为由由点Q在x轴的正半轴上，得.故，所求点的轨迹方程为：（）4．解：设P为所求轨迹上任意一点，∵点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.故点P到F（4，0）的距离与点P到直线+4=0的距离｜PD｜相等∴｜PF｜=｜PD｜∴=｜-(-4)｜∴5．解法一：设M为所求轨迹上任一点，∵M为AB中点，∴A（2,0),B(0,2),∵⊥且,过点P（2，4），∴PA⊥PB∴∵=(x≠1),=∴·=-1即+2-5=0(≠1)当=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程+2-5=0.∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0解法二：连结PM.设M,则A（2,0),B(0,2)∵⊥,∴△PAB为直角三角形∴｜PM｜=｜AB｜即化简：+2-5=0∴所求点M的轨迹方程为+2-5=06．解以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆

§3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．情景引入（1）一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N，在它的顶点处分别受力F，F，F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（2）八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？从实际生活的例子出发，使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。二．新旧知识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。请学生比较与平面向量的异同。向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。如图，对于空间任何两个向量，可以从空间任意一点O出发作，即用同一平面内的两条有向线段来表示通过比较，既复习了平面向量的基本概念，又加强了对空间向量的认识，注重类比学习，提高学生举一反三的能力。三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：如图，可以从空间任意一点O出发作，并且从出发作，则.探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。比如：三个向量的和,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质简称为“封口向量”。四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）巩固知识，注意区别加减法的不同处.五．拓展与提高1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；（2）；（3）．加深对相等向量和加减法的理解六．小结1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业课本P106习题3.1，A组第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。3．三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c.‘解：分同向与反向讨论（略）。4．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;（2）;（3）解：（1）（2）（3）（中等题）5．如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，试用向量表示和解：。6．在上题图中，试用向量表示和解：==，=--=--

§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍（1）当时，与同向（2）当时，与反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：（2）结合律：3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使1、方向向量如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。二．新课讲授量叫做直线的方向向量.在上取，则上式可化为证明：对于空间内任意一点O，三点共线由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是证明：方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。P与点A，B，C共面本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，求证：E，F，G，H四点共面分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面来证明。证明：因为，所以，，，，由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此，由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。（1）（2）（3）2、课本P96练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）（2）得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH五．拓展与提高ABCDABCDEFNM求证：MN//平面CDE证明：=又与不共线根据共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE注意用空间向量的思想去解决立体几何问题的转化方法.六．小结1．空间向量的数乘运算2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。七．作业课本P106习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；AD（2）；AG（3）．MG（中等题）2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（） A．B．C．D．

§3.1.3空间向量的数量积运算【学情分析】：本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念【教学目标】：（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。【教学重点】：空间向量的数量积运算【教学难点】：空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新1、平面向量的数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝（2）夹角：．（3）运算律；；复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。二．新课讲授1、夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2、数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝（2）夹角：．（3）运算律；；思考：1、若，是否有成立？2、若，是否有，或成立？3、向量数量积是否有结合律成立？注意夹角的表示方法和意义，垂直的表示。注意向量运算和代数运算的差别。三．典例讲练在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，且，求证：证明：取直线的方向向量，同时取向量，。因为，所以。因为，且，所以因此。又因为，所以这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。例2．，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：证明：在内作任一直线个，分别在，，，，上取非零向量，，，。因为与相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对，使将上式两边与向量作数量积，得因为，，所以所以，即这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。四．练习巩固1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（）（A）（B）（C）（D）2、如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的长。3、如图，线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。注意的使用五．拓展与提高1、如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）三垂线定理及其逆定理（3）夹角、距离的求法回顾方法七．作业课本P106，习题3.1A组，第3题、第4题、第5题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证OG⊥BC分析：要证OG⊥BC，只需证明。把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：（中等题）２．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º（1）证明CC1⊥BD（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明分析：取为运算的基向量，则。注意向量间的方向对夹角的影响略证（2）设，菱形边长为a，则，解得当时，

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点】：空间向量的分解【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理二．新课讲授1．空间向量的正交分解设，，是空间的三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量，设Q为点P在，所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所确定的平面上，存在实数z，使得而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，使得从而由此可知，对空间任一向量，存在一个有序实数组{}，使得，称，，为向量在，，上的分向量。2．空间向量的基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使由此定理，若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使记推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交分解形式。注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助学生理解概念。三．典例讲练例1．如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解：∴向量的分解过程中注意向量的运算的正确使用。四．练习巩固1、如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解：课本P102练习1、2、3五．拓展与提高1．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量 （） A．互不相等 B．至多有两个相等 C．至少有两个相等D．有且只有两个相等2．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c中，仍能构成空间基底的是 （）A．①②B．②③C．①③D．②④3．已知分别是空间四边形的边的中点，（1）用向量法证明四点共面；（2）用向量法证明：//平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。六．小结1．正交分解的推导和空间向量基本定理2．如何将向量用坐标表示3．任意空间向量在某组基底下的分解七．作业课本P106习题3.1第6题练习与测试：（基础题）1如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解：2．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是 （） A． B． C． D．3．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量 （） A．互不相等 B．至多有两个相等 C．至少有两个相等D．有且只有两个相等4．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组 ①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－9c； ③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c 中，仍能构成空间基底的是 （） A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定6．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝．7．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛，，｝为基底，则＝．（中等题）8．已知四面体中，两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（） (1).(2). (3).(4).不一定成立的是.9.已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。

§3.1.5空间向量运算的坐标表示【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新平面向量的坐标运算二．新课讲授1．空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，，（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2．数量积：即=3．夹角：．4．模长公式：若，则．5．平行与垂直：6．距离公式：若，，则，或．注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运算规律和结论的本质是一样的。三．典例讲练例1．如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成的角的余弦值。解：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，所以，因此，与所成角的余弦值是例2．如图，正方体中，，分别是，的中点，求证：证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，所以，又，，所以，所以，因此，即将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。四．练习巩固课本P105练习1，2，3五．拓展与提高1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。2．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（）A. B.C.2 D.3．已知点A（1，2，3），B=（2，1，2），P（1，1，2）在直线OP（或延长线上）取一点P，使最小，求S的坐标及最小值.解：设S（k,k,2k)为OP上一点，则=(1－k,2－k,3－2k)=(2－k,1－k,2－2k)∴=(1－k)(2－k)+(2－k)(1－k)+(3－2k)(2－2k)=6k2－16k+10=6(k－)2－∴k=时，=－此时=（）学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问题六．小结1．空间向量的直角坐标运算律2．数量积与夹角3．模长与距离4．平行于垂直七．作业课本P106习题3.1，A组第8、9、11题练习与测试：（基础题）1．已知向量的夹角为（） A．0°B．45° C．90°D．180°2．已知（） A．B．5，2C．D．-5，-2（中等题）3.已知，，求：（1）线段的中点坐标和长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件解：（1）设是线段的中点，则．∴的中点坐标是，．（2）∵点到两点的距离相等，则,化简得：,所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。4,。分析：可用公式来求面积解：∵，，∴，，，∴，∴所以．5．已知，则向量与的夹角是（）A．90°B．60° C．30°D．0°6．已知，则的最小值是（）A．B． C．D．7．已知，则的取值范围是（）A.B.C.D.

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系,可以比较顺利地进行教学.在教学中，师生共同探索发现用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系并予于应用,在起点高的班级中是可行的.【教学目标】：（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入两个非零向量共线的充要条件是什么？什么叫直线的方向向量？回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准备.二、探究新知一、点、直线、平面的位置的向量表示1.思考：如何确定一个点在空间的位置？如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．称向量为点的位置向量。基点●基点●O●Pl2.思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？lPPAA

如图，点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。3.思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OPOP如图，点O和、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点P.4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？法向量：若，则叫做平面的法向量。AA如图，过点A，以为法向量的平面是完全确定的.二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l、m的方向向量分别为、，平面的法向量分别为.探究1：平行关系1,线线平行:2,线面平行:3,面面平行:探究2：垂直关系1,线线垂直:2,线面垂直:3,面面垂直:探究3：夹角1,线线夹角:2,线面夹角:3，面面夹角：

要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。联系平面向量基本定理来理解。学生记住法向量的概念。通过对对称轴不同作法的探讨，拓展学生的思维.让学生对每一种关系都进行探究，找到相应的向量关系和运算公式。通过向量理解这些关系式，而不是机械记忆它们。三、练习巩固1．设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。2.设平面的法向量分别为，根据下列条件判断平面的位置关系：答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为。巩固知识，培养技能.四、拓展与提高第4题1．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，第4题（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积．（1）证明：∵，，∴，，又，平面，∴是平面的法向量．（2），，∴，∴，∴，∴．引导学生进行应用.对法向量作理解.巩固以往知识，培养运算技能.五、小结点、直线、平面的位置的向量表示。线线、线面、面面间的位置关系的向量表示。反思归纳六、作业A，预习课本114－119的例题。B，书面作业:1，2，练习与测试：（基础题）1，与两点和所成向量同方向的单位向量是

。解：向量，它的模则所求单位向量为。2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。解：设点坐标为，由题设有；由可得。则，于是所求坐标为。3，设直线l，m的方向向量分别为，判断l，m的位置关系。解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。4，设平面的法向量分别为，判断平面的位置关系。解：易知所给二法向量平行，故平面平行。（中等题）5，已知空间四点坐标分别为A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的单位法向量。解：设平面AEF的法向量为则有为平面AEF的单位法向量。6，如图所示建立坐标系，有分别求平面SAB与平面SDC的法向量，并求出它们夹角的余弦。解：因为y轴平面SAB，所以平面SAB的法向量为设平面SDC的法向量为，由

§3.2.2空间角与距离的计算举例【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【教学难点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算..【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入两个向量的数量积如何运算？向量的模与向量的数量积是什么关系？向量的加法法则。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算A1A1B1C1D1ABCD图1回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？分析:（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）分析：面面距离点面距离向量的模回归图形解：∴∴所求的距离是练习:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长OAOABCDE图2例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值ABABCD图3解：如图化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.A1BA1B1C1D1ABCD（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？分析：二面角平面角向量的夹角回归图形C1CAC1CA1B1D1ADEFB解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图B图4ACD2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABABCA1B1C1图5让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。提醒学生不能缺少这一步。转化为向量。这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.让学生体会空间距离的转化。及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。以下设计与例1类似。三、拓展与提高如图6，在棱长为a的正方体中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。O’C’B’O’C’B’A’OABCEF图6学生进行提高训练应用.四、小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离点面距离向量的模回归图形二面角平面角向量的夹角回归图形反思归纳五、作业课本P121第2、4题。练习与测试：（基础题）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答：C。2．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．答：B。3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为）A．90°B．60°C，45°D．30°答：C。4，已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．答：或。（中等题）5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，这条线段与这个二面角的棱所成的角为。答：·B1PACDA1C1D1B·B1PACDA1C1D1BOH· （Ⅰ）求直线与平面所成的角的三角函数值； （Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．解：（1）连BP，则角APB为直线与平面所成的角，（2）所以

§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法. 【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.二、探究新知一、用向量处理平行问题ADADCBEFNM分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。（图略）分析：面面平行线面平行线线平行。评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题（图略）分析：线面垂直线线垂直。评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。例4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）ABCDO已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，ABCDO求证：证明：例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。联系共线向量来理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。让学生体会坐标法的优势。用向量法证明三垂线定理。三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能.四、小结利用向量解决平行与垂直问题向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。反思归纳五、作业1，直三棱柱中，角ACB是直角，AC＝1，CB＝，侧棱=1，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M，求证CD平面BDM。2，课本p.116第2题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（

）A．+－

B．－+C．－++

D．－+－答：D2，若向量、（

）A．

B．

C．

D．以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．证明：.

又，即.……①.又，即.……②由①+②得：即..4，如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)

∵E为AB的中点，F为PC的中点

∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵＝(0,b,c)，＝(0,0,2c)，＝(0,2b,0)∴＝(＋)∴与、共面又∵EÏ平面PAD

∴EF∥平面PAD．∵＝(-2a,0,0)

∴·＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0

∴CD⊥EF．（较难题）5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。分析要证明EF、BC、AD平行于同一平面DF（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应AEC向量EF与AD、BC共面即可。B证明：如图，利用多边形加法法则可得，=++，=++…①。又E、F分别是AB、CD的中点，故有=-，=-…②将②代入①后，两式相加得2=+，∴=EQ\F(1,2)+EQ\F(1,2)即与、共面，∴EF与AD、BC平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。6，如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。证明：在α内作不共线向量m,nb∵a、m、n不共面，∴b=xa+ym+zn。a两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·nm∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0n得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=ym+zn∴b、m、n为共面向量，又b￠α,b∥α。7，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，求证：EF∥平面A1B1CD。D1C1证明：=++…（1）=1+++…（2）A1B1（1）×2+（2）并注意到=-2，DC=-2，=-，FE得=EQ\F(1,3)-EQ\F(1,3)AB而EF￠平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD。∴，、为共面向量。

§3.2.4坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。【教学目标】：