全概率公式高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2

全概率公式第七章随机变量及其分布7.1.条件概率与全概率公式情景引入情景引入三门问题是一个著名的概率问题，出自美国的电视游戏节目“Let'sMakeaDeal”.问题的情景是：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇后面有汽车，另外两扇后面都是山羊.参赛者选择了一扇门后，节目主持人会在剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要换另一扇门？换门是否能增加赢得汽车的概率?问题1

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.

新知探究追问1

你能直观感知第2次摸到红球的概率是多大吗？下面我们给出严格的推导.追问2

既然摸出的球不再放回，那么第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响，为什么第1、2次摸到红球的概率还会是相同的呢？第2次拿到红球，事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即证：用

Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.那么我们可以用图形来表示事件之间的关系R2=R1R2UB1R2.探究新知P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)问题1

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即利用概率的加法公式和乘法公式，得证：用

Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.R2=R1R2UB1R2.探究新知P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)第2次拿到红球，事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即证：用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.那么我们可以用图形来表示事件之间的关系R2=R1R2UB1R2.探究新知问题1

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?探究新知追问3

把问题1变为“从有a个红球、b个蓝球和c个黄球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?”你能类比上述过程进行计算吗?问题1

从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?探究新知追问3

把问题1变为“从有a个红球、b个蓝球和c个黄球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?”你能类比上述过程进行计算吗?探究新知追问3

把问题1变为“从有a个红球、b个蓝球和c个黄球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为

，那么第2次摸到红球的概率是多大?”你能类比上述过程进行计算吗?

按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.探究新知问题2

上述解决问题的过程采用了怎样的方法？

我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一.

全概率公式(1)全概率公式本质上是综合运用加法公式和乘法公式解决“多因一果”的概率问题.(2)全概率公式告诉我们，事件B发生的概率恰好是事件B在各种可能“原因”下发生的条件概率的加权平均.说一说知识应用例1

三门问题是一个著名的概率问题，出自美国的电视游戏节目“Let'sMakeaDeal”.问题的情景是：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇后面有汽车，另外两扇后面都是山羊.参赛者选择了一扇门后，节目主持人会在剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，然后问参赛者是否要换另一扇门？知识应用知识应用思考

能提炼出解题步骤吗？3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)

).1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An

看作导致结果的若干个原因；2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai

)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))；课堂小结步骤：设事件；找划分；搜数据；求概率.方法：树状图；韦恩图.思想：由因导果；全面考虑；化繁为简；化难为易.素养：数学抽象；逻辑推理；数学运算；数学建模.全概率公式：布置作业2.能力：教材53页8，103.探究：人工智能问题chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术。在对chatGPT进行测试时，如果输入的问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问愿中出现语法错误的概率为5%。(1)求chatGPT的回答被采纳的概率，(2)现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.1.基础：教材52页，练习1，2全概率公式教学阐释教材解析01.学情分析02.教学目标03.教学策略04.教学过程05.教学反思06.目录01教材分析——教学内容

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修三》第七章《随机变量及其分布列》第一节第2课时.本节课主要学习全概率公式.01教材分析——教材的地位和作用实际问题条件概率加法公式乘法公式贝叶斯公式全概率公式02学情分析

知识

学生已经学习了概率的基础知识，对一些简单的概率模型(如古典概型)已经有所了解，在本节课之前，学生学习了条件概率，概率的乘法、加法公式，为全概率公式的学习做好了铺垫.技能

本节课之前，学生已经具备了一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，能够用数学的眼光看待随机事件的概率，初步具备解决较复杂概率问题的能力.素养

通过之前排列组合、二项式定理、条件概率的学习，学生已经可以从具体情境中建立简单的数学模型，抽象出基本的数学概念，可以推理出相应的公式并完成后续问题的运算.02学情分析——重点、难点

教学重点

全概率公式的推导与应用.教学难点

将相关问题转化为对应概率模型，

运用全概率公式求概率.难点突破方法

问题驱动

媒体辅助

自主探究

合作交流.03教学目标

(1)结合实例以及古典概型公式，通过利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式的过程，在推导、运用公式的过程中体会化繁为简、化难为易的转化思想.(2)通过运用全概率公式解决实际问题，进一步理解全概率公式的结构和含义，提升数学运算能力.04教学策略——教法

启发式教学

问题是数学学习的心脏，因此以问题串的方式引导学生思考，由学生对全概率公式加以概括和抽象，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养，突出本节课重点.探究式教学

教学借鉴条件概率公式的学习经验，引导学生借助树状图和韦恩圈理解全概率公式的直观意义，并探究应用全概率公式解决实际问题的步骤，提升学生的直观想象素养，并突破教学难点.情景式教学

通过“三门问题”的游戏，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学抽象素养，数学建模素养.04教学策略——学法

独立思考

在探究问题、例题及练习的解决过程中，学生对教师提出的问题进行独立深入的思考，让学生的思维得到真正的锻炼，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.自主探究

学生在推导全概率公式的的过程中，在独立思考的基础上进行自主探究，提升学生的直观想象、数学建模的素养.合作交流

在推导全概率公式以及解决情景问题的过程中，学生在自主探究遇到问题时进行分小组讨论，合作交流，增强学生的合作意识，提升学生的数学运算素养，突破难点.05教学过程

情景引入激发兴趣04巧设问题探究方法抽象概括生成概念应用概念解决问题总结提升巩固理解布置作业提升素养05教学过程——情景引入

激发兴趣

设计意图

通过经典的“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题(MontyHallproblem)，引入新课，充分调动学生学习积极性，激发学生学习热情.05教学过程——巧设问题

探究方法

设计意图

先由学生独立思考从2个颜色中随机不放回摸1球，求第2次摸到红球的概率，之后将条件变成从3个颜色中随机不放回摸1球，通过增加变式对教材内容适度改编，引入树状图以及韦恩图让学生更直观地理解全概率问题的解题思路，体现化难为易的转化思想，为全概率公式的引入做铺垫，突破难点.05教学过程——抽象概括

生成概念

设计意图

由以上两个具体实例，通过数学抽象得出一般性的数学结论，是培养学生数学抽象素养的重要途径，结合韦思图通过层层设问，深化学生对全概率公式的理解，让学生能够体会全概率公式的本质是“多因导果”.05教学过程——应用概念

解决问题

设计意图

回扣课前引例，由学生独立完成本道例题，并进行展示，深化学生对全概率公式的理解，让学生感受到全概率公式在解决实际问题中的广泛应用，同时，进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤.05教学过程——总结提升

巩固理解

设计意图

由学生梳理总结全概率公式的基本思想和解题步骤，有助于学生把握数学思想方法，提升他们的数学核心素养.05教学过程——布置作业

提升素养

设计意图

考虑到学生的差异，三个课后作业形成一定的梯度和难度，让每一位学生都能在自己的最近发展区得到提升，实现培优减负，双管齐下，同时，设置当下热点的人工智能探究作业，为贝叶斯公式的引出做了铺垫，发展学生的四基，以及发现和提出问题，分析和解决问题的能力.06教学反思

收获

1、数学学习的核心是学思维.因此，在教学中我合理设计教学活动让学生真正的成