2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步章末检测课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步章末检测(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4S底面积＝4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).答案：A2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，则该几何体的体积是()A．48 B．64C．96 D．192解析：由已知可得该几何体是一个四棱锥，四棱锥的高为4，底面是矩形，∴V＝eq\f(1,3)·Sh＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.答案：B3．已知正方体的外接球的体积是eq\f(4π,3)，则这个正方体的棱长是()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(2\r(3),3)解析：设正方体的外接球半径为r，正方体棱长为a，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π，∴r＝1，∴eq\r(3)a＝2r＝2，得a＝eq\f(2\r(3),3).答案：D4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有解析：设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．答案：B5．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③② B．②①③C．①②③ D．③②④解析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥．答案：A6．E，F，G分别为正方体ABCD­A1B1C1D1面A1C1，B1C，CD1的对角线交点，则AEA．90° B．60°C．45° D．30°解析：在△BDC1中，GF为△BDC1的中位线，∴GF∥BD.又∵BD⊥平面ACC1A1，AE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AE，∴FG⊥AE，∴AE与FG所成的角为90°，故选A.答案：A7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥α，bα，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：A错，a，b可能平行或异面；B错，a，b也可能相交或异面；C错，可能α与β相交．答案：D8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π解析：由三视图可知该几何体的体积V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.答案：B9.如图是底面面积为eq\r(3)，体积为eq\r(3)的正三棱锥的主视图(等腰三角形)和俯视图(等边三角形)，此正三棱锥的左视图的面积为()A.eq\f(3\r(3),2) B．3C.eq\r(3) D.eq\f(3,2)解析：依据已知条件可得正三棱锥的底面边长是2，高为3，故左视图的面积是eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝eq\f(3\r(3),2).答案：A10.如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆akg，则共需油漆的质量为()A．(48＋36π)akgB．(39＋24π)akgC．(36＋36π)akgD．(36＋30π)akg解析：此建筑物是直四棱柱与圆锥的组合体，其外壁的面积S＝π×32－3×3＋π×3×5＋3×4×4＝39＋24π(m2)，因此共需油漆的质量为(39＋24π)akg.答案：B11．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，mα，nβ⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β解析：A中m，n还可能异面关系，B中，lα也有可能．C中，nα也有可能．D正确．答案：D12．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),12)解析：由题意，知正三棱锥的顶点究竟面的距离为1.∵底面是正三角形且球半径为1，∴底面边长为eq\r(3).∴底面积为eq\f(3\r(3),4).∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),4).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线相互异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行推算，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不行能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：814．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．解析：如图，由条件易推断EH綊FG綊eq\f(1,2)BD，∴EH＝FG＝1，同样有EF綊GH綊eq\f(1,2)AC，EF＝GH＝1，又BD⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S＝12＝1.答案：115．若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为________．解析：设圆锥的底面半径为r.则2πr＝2π，∴r＝1.则圆锥的表面积：S＝eq\f(1,2)×2π×2＋πr2＝2π＋π＝3π.答案：3π16.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为________．解析：令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，明显有eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2)＝R，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(V六棱柱＝6×\f(\r(3),4)a2×h＝\f(9,8)，,6a＝3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,h＝\r(3)))⇒R＝1⇒V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知底面半径为eq\r(3)cm，母线长为eq\r(6)cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．解析：如图所示，所得几何体的表面积为：S＝S底＋S柱侧＋S锥侧＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2)．所得几何体的体积为：V＝V柱－V锥＝S底·eq\r(6)－eq\f(1,3)S底·eq\r(6)＝eq\f(2,3)S底·eq\r(6)＝2eq\r(6)π(cm3)．18．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P­AM­D的大小．解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA.∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝eq\r(3).∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形．由勾股定理可求得EM＝eq\r(3)，AM＝eq\r(6)，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P­AM­D的平面角．∴tan∠PME＝eq\f(PE,EM)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P­AM­D的大小为45°.19．(12分)某几何体及其三视图如图所示(尺寸的长度单位：m)(1)O为AC的中点，求证：BO⊥平面APC；(2)求该几何体的体积．解析：(1)证明：由三视图可知，平面PAC⊥平面ABC，BO⊥AC，∴BO⊥平面APC.(2)如图，过P点在平面PAC内作PE⊥AC交AC于E，由俯视图可知：CE＝1，AE＝3，PE＝2，又BO＝3，AC＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∴VP­ABC＝eq\f(1,3)×6×2＝4.20．(12分)某高速马路收费站入口处的平安标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．(1)请画出该平安标识墩的左视图；(2)求该平安标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.解析：(1)左视图同主视图，如图所示．(2)该平安标识墩的体积为：V＝VP­EFGH＋VABCD­EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如图，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.又EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.21．(13分)我国北方冬季种植蔬菜要在暖室里种植，如图，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一暖室，暖室由两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成，已知两墙的长度分别为a米和b米，高为c米，认定两墙面、地面彼此交线相互垂直．问：修建暖室须要多少塑料薄膜？解析：∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB，∴OC⊥AB，过O作OM⊥AB于M，则AB⊥平面COM，∴AB⊥CM，在Rt△OAB中，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(a2＋b2)，∴OM＝eq\f(OA·OB,AB)＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，∴CM＝eq\r(OC2＋OM2)＝eq\r(\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a2＋b2)).∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CM＝eq\f(\r(a2b2＋b2c2＋c2a2),2).故修建暖室，须要塑料薄膜eq\f(\r(a2b2＋b2c2＋c2a2),2).22．(13分)已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA1＝3，设D为AA1的中点．(1)作出该几何体的直观图并求其体积；(2)求证：平面BB1C1C⊥平面(3)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．解析：(1)由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．∵几何体的底面积S＝eq\r(3)，高h＝3，∴所求体积V＝3