导数及其应用经典回顾 课后练习

专题导数及其应用经典回顾课后练习

主讲教师：丁益祥数学特级教师

题一：已知函数/。）=双3+必2+。，其导函数图象如图所示，则函数/（工）的极小值是

A.a+b+cB.Sa+4b+c

C.3a+2bD.c

题二：已知函数y=Rr）,），=g（x）的导函数的图象如图，那么y=/（x）,y=g（x）的图象可能

是（）

题三：若函数十人在区间卜1川，单调递增，求a的取值范围.

题四：已知函数若函数/J）在区间Q+8）上是减函数，求实数

。的取值范围，

题五：f，（l+x）公等于_____.

Jo

题六:公等于

IX）

题七：已知函数/（6=丁+（1—。）/一4（4+2）%+/?（。,/?£火）.（I）若函数/（X）的图象过原

点，且在原点处的切线斜率是-3,求。口的值；（II）若函数/（X）在区间上不单调，求。

的取值范围.

2

题八：已知f(x)=§x3-2ax?-3x(aeR).

(1)当|a|«，时，求证f(x)在(一1,1)内是减函数；

4

⑵若y=f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围.

题九：设。20,f(x)=x—1—ln2x+2«Inx(x>0).

(I)令尸(％)=xffQ),讨论尸(x)在(0,+oo)内的单调性并求极值；

(II)求证：当％>1时，恒有x>ln4-2alnx+1.

题十：已知函数/(幻=@吧+9,曲线>=/a)在点(1,/(1))处的切线方程为x+2y-3=0,

x+\x

(1)求出b的值

InX

(2)证明：当X>O,XH1时，f(x)>——

1-X

题十一：设函数./(x)=lnx+ln(2—X)+公(4>0).

⑴当a=l时，求/(*)的单调区间;

(2)若人外在(0,1］上的最大值为：，求〃的值.

题十二：已知函数/(x)=d+ax2+以+。,过曲线)，=/*)上的点尸(1,〃1))的切线方程为

y=3x+l

(1)若函数/(幻祗=一2处有吸值，求/(%)的表达式；

(II)在(I)的条件下，求函数y=/(x)在［-3,1］上的最大值；

(III)若函数y=/(x)在区间［-2,1］上单调递增，求实数b的取值范围

专题导数及其应用经典回顾

课后练习参考答案

题一:D

详蟀：点拨：由图可知函数/(力在(F,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,上单调递减，所以

函数的极小值为/(0)=。.

题二：D

详蜂：山题意知函数人用，g(X)都为增函数，当时，由图象知

./即/(*)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x>xo时，:(x)Vg(t),g(x)的增长速度大于<x)的增长速度,

数形结合，选D.

1A

题三：a的取值范围是3，+^/

详释：/'(%)=W+1,/(%)在区间［-1,1］上单调递增，则/'(1)=3ap+1N0在［-1,1］上恒成立。

当x=0时，显然成立，当XHO时----r

3x2

---r在X£［-1,1］的最大值为

3x2L」3

:.a>一一，故a的取值范围是一一，+8.

33)3

题四：a的取值范围是(-8,一J

u[l,+oo)

详释：显然函数/(x)=Inx-a?/十奴的定义域为。内)

-2a2x2+ar+1-(2ax+l)(ax-1)

f\x)=--2a2x+a=

xxx

①当a=(M,/r(x)=->0,/./(x)在区间(1,+oo)上为增函数，不合题意

X

②当a>OH寸，/(x)<0(A:>0)等价于(2ar+l)(ar-1)>0(x>0),

即x2』此时/(x)的单调递减区间为-,+oo

aa

—<1

依题意，得包一’解之得a21

a>0,

③当a<00寸,f\x)<0(A:>0)等价于(2火+l)(ar-1)>0(x>0),

1「1、

即xN------此时/(x)的单调递减区间为-----,4-00

2a\_2aJ

，「奈L得7

a<0,2

实数a的取值范围是U[l,-K»)

14

题五:

T

详释:x(x+l)=x2+X,且-X3

13『河'='

2272

广广广1.2172

则x(l+x)心=x~dx+xdx=-x+—x~

J。J。Jo3020

题六：

详解：(lnx),=-,(e2r),=e2x(2x),=2e2x

X

C(*1、,2).211,22Id19

所以£e定+j血=，+lnx=5,+ln27nl

题七：Z?=0,a=-3或a=l；-5va<-1

详第(I)由题意得了+

小⑼…。

，解得力=0,。=—3或。=1

l/,(0)=-^+2)=-3

(ii)函数/(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数/'(X)在(-1,1)既能取到大于o的实数，又能取到小于o

的实数，即函数/'(X)在(一1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有/'(一1)/(-1)<0,即：

[3+2(l-a)-a(a+2)][3—2(l-a)-a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(a+1)(。-1)~v0,解得一5vav—1

题八：(-8,---)U(一，+8).

44

2

详解：(1)vf(x)=—x3-2ax2-3x,/.f\x)=2x2-4ax-3.

fz(-l)=4(a-i)<0

,•,|a|<

4f(l)=-4(a+^-)<0

又•,•二次函数f'(x)的图象开口向上,

二在(T,1)内f'(x)<0,故f(x)在(一1,1)内是减函数.

(2)设极值点为x0e(-l<x<l),则f'(x)=0

fX-l)=4(a--)>0

当a时，•；<4

41

f(l)=-4(a+-)<0

・•・在(-1,x0)内f'(x)>0,在(x0,1)内f'(x)<0,

即f(x)在(-1,X。)内是增函数，f(x)在(X。，1)内是减函数.

当a>,时f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点.

4

当a<一>!■时，同理可知，f(x)在(-1,1)内且只有一个极值点，且是极小值点.

4

当一,VavL时，由⑴知f(x)在(-1,1)内没有极值点.

44

故所求a的取值范围为(-8,--)U(-,+oo)

44

题九：在x=2处取得极小值F(2)=2-21n2+2«.

详解：(I)根据求导法则有/'(x)=l一生4+工3,工〉。，

/2r-2

故/(%)=4'(工)=%一2出入+加,%>0，于是尸'(x)=1—=----,x>0.

入X

列表如下；

X(。，2)2(2,+oo)

如)—0+

J极小值尸(2)T

故知产(工)在(0,2)内是减函数，在(2,位)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值

尸⑵=2-21n2+”

(H)证明：山白》。知，尸(x)的极小道/(2)=2—21n2+2a>0.

于是由上表知，对一切xe(0,+oo),恒有尸

从而当x>0时，恒有/'(x)>0,故/(x)在(0,+8)内单调增加.

所以当五>1时，/(X)>/(1)=°,即了一1一x+241nx>0.

故当五>1时，恒有工>In2工-2alnx+1.

遮十：a=b=\：

zx+l,、[b=\

a(-----Inx)b/(1)=1

详择：(I)vf(x)=——3----------由题意知：•1即<

(x+1)2X2r(i)=4巴-b」

122

\a=b=\

(II)由(I)知f(x)=^-+-,所以,

X+1X

〃\Inx1cX

f(x)-----=-~H21nx-------)

x-\1-xX

x2-1-(x-D2

设h(x)=2Inx------,(x>0)则，hf(x)=----------

XX

当xwl时，h'(x)<0,而人(1)=0

故，当X£(0J)时力(x)>0,当X£(l,+O0),时力(x)V。得：一!-y/z(X)>0

1-x

从而，当x>0时，/(x)----->0,即f(x)>—―

x-1x-1

a)凡r)的单调递增区间为(0,g,单调递减区间为(6，2).a=\.

详解：函数兀r)的定义域为(0,2),/(x)=5一

一d+2

(1)当a=l时，”x)=i._J,所以/(x)的单调递增区间为(0,y［2),

单调递减区间为(、R,2).

2—2x

(2〉当工£(0,1］时/(x)=^~T^+a>。，

即於)在(0,1］上单调递增，故外)在(0,1］上的最大值为贝1)=。，因此。斗

题十一：/(X)=V+2x2-4x+5.［—3,1］上最大值是13;b的取值范围是10,+00)

详解：(1)由/(%)=33+冰2+hx+c,求导数得了'(%)=3x?+2or+b.

过丁=f(x)上点尸(1J。))的切线方程为：

y-f(V)=八l)(x-1),即)，-3+b+c+1)=(3+2。+b\x-1).

而过y=，(x)上PIL/(I)］的切线方程为y=3x+\.

士/3+2a+b=3(2a+b=0①

故(即〈

［«-c=-3［«-c=-3②

•・•y=f(x)&