高考数学一轮复习 第5章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法学案-人教版高三全册数学学案

第1讲数列的概念与简单表示法

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

2019年高考对数列概念的考查不会直

接命题，可能与递推数列、等差数列、等比

2017递推公式17121.会熟练求解数列的通项公式.

2.掌握数列是特殊的函数，能用函数列及数列求和相结合，也可能是解答题的

第一步.预测涉及类型有：①由求；

2016III递推公式1712数的有关性质分析数列的有关S”a”

性质(如单调性等).②根据递推关系求通项4;③根据&=/

2015(〃)求最值(weN*).

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

考点2数列的分类

分类原则满足条件

f类型j

有穷数列项数有限

按项数分类

无穷数列项数无限

递增数列册+1)＞。门

其中

递减数列册+iW”

按项与项间776”

常数列

的大小关系4L1

分类从第2项起，有些项大于

摆动数列它的前一项.有些项小于

它的前一项的数列|

考点3数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

考点4数列的通项公式

如果数列｛aj的第〃项与底曳1之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做

这个数列的通项公式.

［必会结论］

1.若数列｛aj的前〃项和为S,通项公式为2,

S,n=l,

则a=

nSn—Sn—l,〃22.

31n1，

2.在数列｛4｝中，若为最大，则

a?+i.

&3，n~\，

若天最小,则

&Wa+i.

3.数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变

量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打"X”)

(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()

(2)数列：1,0,1,0,1,0,…，通项公式只能是a〃=i+(；D.()

⑶如果数列口的前〃项和为S,则对V〃GN*,都有为+1=S+1—S.()

(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)J

9Q45

2.［课本改编］数列1,d，…的一个通项公式&是()

3579

nnnn

D-

A，2〃+l273T♦2n—32n+3

答案B

解析由已知得，数列可写成;，故该数列的一个通项公式为产彳.故选B.

135277—1

3.［课本改编］在数列｛a｝中，@=La-+(—1)〃(启2,/7£N*),则二的值是

()

A-1---5--n1--5----p3—n3—

16848

答案C

11

---+2

解析由已知得石2=1+(—1)2=2,.*.253=2+(―1)3,22

,、528133工小小

=3,.*.355=3+(―1),••・a=3，，­=77X3=7.故选C.

3念224

4.已知_f(l)=3,广(刀+1)(〃£N*).则_f(4)=.

答案I

解析由/<1)=3,得H2)=2,f(3)=],A4)="

z?+1

5.[2018•山东师大附中月考]已知数列｛2｝的前〃项和£=.，则a5+a=.

答案?

解左…析念+.ac=「&6+-1一14+1=§7一45=91・

6.[课本改编]在数列｛a｝中，2=2,o+i=4+/[八,则数列为=

答案3--

n

解析由题意，得为+i——品=刀(刀।])=]一a\V

=

an(a—劣一1)+(a-1-5/2-2)+…+(&—4)+a

=3T+(£-S)+…+>W+2=3T

板块二典例探究•考向突破

考向由数列的前几项求数列的通项公式

例1写出下面各数列的一个通项公式:

(1)—1,7,—13,19,•••；

..379

⑵5,1,正正，…;

⑶工1_513_2961

'"2'4'8'16'32'64'

(4)1,3,6,10,15,•••；

(5)3,33,333,3333,

解(1)符号问题可通过(一1)〃或(一1)田表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为a”=(—1)"(6〃一5).

3^79

⑵将数列统一为5,E，行,行,…，对于分子3,5,7,9,…，是序号的2倍加1,可得

乙0JLUJ.I

分子的通项公式为4=2〃+1,对于分母2,5,10,17,…，联想到数列1,4,9,16,…，即数

列{/},可得分母的通项公式为c〃=4+i,因此可得它的一个通项公式为为=誓1.

⑶各项的分母分别为牙啰？**…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把

1234

第1项变为一一9—丁Q，原数列可9—化3为一9———3,七9—3,—2—二3，丁，…，

所以&=（一1）”•下

⑷将数列改写为与，亨3义44X5因而有为=及产，也可用逐

2，-I-

差法&-&=2,83-82=3,3A—续=4,为一a=5,…，劣一5/2-1—/7,各式累加得区=，

9999999999

（5）将数列各项改写为鼻，，—,分母都是3,而分子分别是10-1,102

oV<joo

—1,103—1,104—1,•,,,所以1）.

触类旁通

观察法求通项公式的常用技巧

求数列的通项公式实际上是寻找数列的第〃项与序号A之间的关系，常用技巧有：（1）

借助于（一1）”或（一1）5来解决项的符号问题；（2）项为分数的数列，可进行恰当的变形，

寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；（3）对较复杂的数列的通项公式的探

求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决.

考向由与S的关系求通项a„

例2(1)已知数歹!J{aj的前〃项和S=2〃2—3〃，则a〃=.

答案4/2-5

解析(1)ai=S=2—3=—1,

2

当时，an=Sn-Sn-i=(2,n~3n)—[2(n-1)—3(n-1)]=4/7—5,

由于ai也适合此等式，.•.a〃=4〃-5.

⑵设S为数列回}的前〃项的和，且S=](a〃-1)(〃GN*),则为=.

a"

33a

解析当刀>2时，an=Sn—Sn-i=-｛an—r)-—1),整理，得&=34—i,即一^=3,

乙LJQ，n—1

又a=3,.•.数列｛a｝是以3为首项，3为公比的等比数列，.••a〃=3".

(3)已知数列｛&｝,满足石1+2石2+3&+…+〃2=2",则为=.

2,77=1,

答案12G、

---,刀22

n

解析当〃=1时，由已知，可得包=21=2,

n

当时，51+252+353H---\~nan=2,①

故Z1+2&+3&+…+(〃-1)4—1=2"I②

cyn—l

由①一②得7?a=2"—2"T=2'T,an=.

277=1,

显然〃=1时不满足上式，.72=<277-1

—,〃22.

n

触类旁通

给出S与a的递推关系，求为的常用思路：一是利用s—S-1=a（〃三2）转化为a的递

推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S与刀之间的关系，再求&.

【变式训练】(1)已知数列｛2｝的前刀项和S=3〃+l,则a=.

答案142,X37"2，=1,G2

解析当〃=1时，&=S=3+1=4；

/?-1/?-1

当刀22时，an=Sn—Sn-\=(3"+1)—(3+1)=2X3.

当77=1时，2X31T=2W2,

4,72=1,

所以a=

2X3"-1,启2.

2ni

⑵[2018•广州模拟]设数列｛a｝满足.3i+3.32+3a3H---\-3~an=^则an=.

答案J

O

77

x

解析因为a+3a2+32续+…+3'an=~,①

则当时，

n—1

谢+3/+3.3+…+3"2^-1=~-,②

①一②得3"一%=(,所以为=埸(刀22).

由题意知a=：,符合上式，所以为=(.

(3)已知数列｛a｝的前〃项和为S,&=1,S=2a+i,贝！JS=.

答案目T

解析由已知S=2a+i,得S=2(S+LS),

S13

==

即2Sn+l3Snj-~~,而S=4=l,

3n乙

所以S,=flV1.

由递推公式求数列的通项公式

=

9命题角度1形如3„+ianf(n),求3n

例3在数列｛4｝中，ai=4,+1=(〃+2)为，求数列｛a｝的通项公式.

解由递推关系得色”==，

ann

又51=4,

5/7—1改刀+1n刀一1

曳—・&=----•---

Hn-2氏£・包=〃一］•n—277—3

2)(〃+1)(〃£N*).

?命题角度2形如an+i=an+f(n),求an

例4(1)12015•江苏高考］设数列｛a｝满足&=1,且4+1—2=刀+1(〃£“)，求数

前10项的和.

解由题意可得，品=4+(/一a)+(含-&)+•,•+(为—2―J=1+2+3+…+〃

吗2则9=而3r2｝$),数歹此［的前io项的和为2+2+…+5

2(F5寸…+记一司=五

(2)若数列｛aj满足：a=l,&>+1=%+2",求数列｛aj的通项公式.

n

解由题意知an+\—an=2,

1—2n

a—(2—a-\)+(5n-i—劣一2)+…+(&-a)+&=2"1+2^2+,,,+2+1=-T=2"-

nn1—z

V命题角度3形如a+1=汨〃+6(力力0且ZW1),求为

例5已知数列｛a｝中，ai=l,劣+i=2a+3,求为.

=

解设递推公式为+1=22+3可以转化为an+\~t=2｛an-t),即an+\2an—t,解得t

=-3.

故递推公式为为+i+3=2(2+3).

令6〃=a+3,则61=劭+3=4,且牛曳告^=2.

bna十3

所以｛4｝是以及=4为首项，2为公比的等比数列.

所以4=4X2〃T=2"+［即品=2〃十】一3.

，命题角度4形如“尸瓦B,，为常数)，求为

例6已知数列｛aj中，&=1,求数列｛aj的通项公式.

解•劣+1=QJ2,ai=l,・・w0,

1111

则

即

---=-又-XI-

a2472al

是以1为首项，;为公差的等差数列,

11­、1〃+12/加

触类旁通

由递推关系式求通项公式的常用方法

(1)已知a且an—an-\=f^n),可用“累力口法”求an.

(2)已知&且生=/(〃)，可用“累乘法”求当.

Q-n—1

(3)已知&且为+1=。a+6,则为+i+A=q(a+A)(其中A可由待定系数法确定)，可转

化为等比数列3+R.

(4)形如Z+1=五大(4B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数

Ban十C

列求解.

,--------------------------------1&幺师笔记•归纳领悟I-----------------------------

MINGSHIBQIC-^SUTNALINGWU

C核心规律

已知递推关系求通项，一般有以下方法：

(1)算出前几项，再归纳、猜想；

(2)累加法、累乘法、待定系数法.

满分策略

1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，

一定要注意自变量的取值，如数列2=F(A)和函数y=『(x)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

3.在利用数列的前A项和求通项时，往往容易忽略先求出a,而是直接把数列的通项公

式写成a„=Sn—Sn-i的形式，但它只适用于的情形.

板块三启智培优•破译高考

数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题

[2018•南京段考]数列｛aj的通项公式是a〃=/+A〃+4.

(1)若《=—5,则数列中有多少项是负数？〃为何值时，&,有最小值？并求出最小值.

(2)对于〃eN*,都有&+Da.求实数"的取值范围.

解题视点(1)求使当〈0的〃值；从二次函数看为的最小值.(2)数列是一类特殊函数,

通项公式可以看作相应的解析式f(n)=4+h+4.F(〃)在N*上单调递增，可利用二次函数的

对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值.

解⑴由〃「5〃+4〈0,解得1〈水4.

；.A=2,3,.•.数列中有两项是负数,即为愈，a3.

2

,.■aB=7?—5T?+4=^—|j—|,由二次函数性质，得当〃=2或〃=3时，a〃有最小值，

其最小值为az=a3=—2.

(2)由a〃+〉a.知该数列是一个递增数列，

又因为通项公式a„—n+kn+4：,

可以看作是关于〃的二次函数，考虑到〃CN*,

k3

所以一手亍即得“>一3.

答题启示(1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的

选取.，(2)本题易错答案为k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.

■跟踪训练

已知数列。中，&=1+市广(松心

aGR,且a#0).

(1)若a=—7,求数列｛a｝中的最大项和最小项的值；

⑵若对任意的〃GN*,都有a0Wa成立，求a的取值范围.

解⑴.."1+房二”4回，且B。)，

又*=—7,

结合函数_f(x)=1+。1<的单调性,可知1>@>/>&>为,外>注〉&>,•>a>1(刀£“).

・•・数列｛a｝中的最大项为戊=2,最小项为a=0.

1

小…12

(2)a-1+a+2(/?-l)=1+一二i

n~2

:对任意的〃GN*,都有aWa成立，

1

-

2

结合函数f(x)=12£的单调性,

X'2

知5〈一〈6,.*.-10<3<-8.

故a的取值范围为(-10,-8).

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.已知数列娟，乖，2木，…,贝是该数列的()

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

答案C

解析由数列斓，乖,2小，…的前三项小，巾,乖可知，数列的通项公式为an=

、2+3(〃-1)=、3〃-1,由=可得〃=7.故选C.

2.[2018•上饶模拟]已知数列｛&｝满足a+1+a=〃，若a=2,则为一切=()

A.4B.3C.2D.1

答案D

解析由a+1+a=〃，得a+2+&+1=刀+1,两式相减得为+2—a=1,令〃=2,得&

—^2=1.故选D.

3.[2018•济宁模拟]若S为数列口的前〃项和，且$==彳，则上等于()

〃十18

561

A.-B.7C.-D.30

6530

答案D

解析・・♦当〃22时，a=S_S_1=十一口=二,・・工=5乂(5+1)=30.故选

n-r1n77(77+1)为

D.

4.已知数列｛a｝满足a=1,a+ia=2"(〃£N*),则&o=()

A.64B.32C.16D.8

答案B

解析..&+同=2O,...&+2为+尸2小，两式相除得黄=2.又&功=2'ai=l,：.32=2.

田1088

则--—---,-—=2*4,56即dio=25=32.故选B.

氏%&&

5.在各项均为正数的数列｛a｝中，对任意见〃仁N*,都有•a.若a=64,则

卷等于()

A.256B.510C.512D.1024

答案C

解析在各项均为正数的数列｛a｝中，对任意山,都有为+〃=为•%.，为=为•当

=64,&=8.

:.。9=%•<93=64X8,a=512.故选C.

6.[2018•辽宁实验中学月考]设数列｛2｝的前刀项和为S,且S=2(2—1),贝

()

A.2nB.2/7-1C.2"D.2n~l

答案C

解析当〃=1时，&=S=2Q1—1),可得当=2；当时，3n=Sn—Sn-l=2an—2an

-i,:・an=2an—\,；・a=2•2"T=2".选C.

7.若数列｛a｝的前刀项和S=;?2—10〃(〃£N*),则数列｛〃为｝中数值最小的项是()

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

答案B

解析10〃，.•・当2时，dn=Sn~Sn-1=2/1—11；

当77=1时，&=S=—9也适合上式.

/.an=2〃-11(〃£N*).

记广(〃)=〃劣=刀(2〃-11)=2〃2—11〃，此函数图象的对称轴为直线〃=?，但〃£N*,，

当〃=3时，/1(〃)取最小值.于是，数列｛刀为｝中数值最小的项是第3项.故选B.

8.已知数列｛&｝中，ai=l,若品=2a—1+1(〃22),则石5的值是.

答案31

解析,.,劣=22-1+1,.,・2+1=2(a-1+1),

o+1

工T=2，又81=1，「•｛d+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，即a〃+l=2X2"

<9/7-1+1

5

T=2",a5+l=2,即&5=3L

9.[2018•洛阳模拟]数列｛2｝中，a=l,对于所有的〃22,x£N*,都有

2•切•&....an=n,贝1!.

«山61

台案16

解析由题意知：劭•色•当....a—1=(〃一1)2,

所以为“启2),

'外=旦

所以as+25=

15)+4J16-

10.[2015•全国卷H]设S是数列｛aj的前〃项和，Ma=-l,&2+1SS+i,则S=

_1

答案

n

11

=

解析*.*dn+lSn-\-l—Sn,「・S+l—S=S+1S,又由@=-1J知SWO,g一亮=L

是等差数列，且公差为T,而?;T，

—l+(〃—l)x(—i)=一〃，...S=-3

[B级知能提升]

1.[2018•天津模拟]已知正数数列｛劣｝中,ai=l,(77+2)•an+\—(7?+1)an-\-anan+\—0,

〃£N*,则它的通项公式为（）

12

A.B.

刀+1

C.3，n'D.a=n

2n

答案B

由题意可得萱=%,则3，nQ-n—\及n“一12

解析3，n