全国高中数学题库-椭圆2

椭圆题库

1E、E是椭圆f+2y2=4的左、右焦点，/是椭圆的右准线，点Pe/,过点E的直线

交椭圆于A、B两点、.

(1)当AELAE时，求A4EF的面积；

(2)当网=3时,求尸|+忸尸|的大小;

(3)求NEPF的最大值.

m+n=41

解：(1)《22=>5必"=—机〃=2

[m2+n2=8MEF2

[\AE\+\AF\=4-.............

(2)因1=4S+Af+8网=8,

\BE\+\BF\=4111111

则|A川+忸刊=5.

(1)设PQ曰t)(t>0)tanZEPF=tan^EPM-NFPM)

,300、“372x72,2万2a也

=(--------)+(1+----5-----)=-——=---------T4一

ttV厂+6t+6t3

当，=«时，tan/EPF=三=NEPF=30°

3

2已知椭圆二+二=1(。〉匕>0)的左、右焦点分别是R(-C,0)、F2(C,0),Q是椭

a-b-

圆外的动点，满足1甚。1=2。.点P是线段EQ与该椭圆的交点，点T在线段RQ上，并且满

足%=0,177^^0.

(1)求点T的轨迹C的方程；

(2)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M,

使AFiMF?的面积S=/>2.若存在，求NFMFz

的正切值；若不存在，请说明理由.

(1)解：设点T的坐标为(x,y).

当I而1=0时，点(。，0)和点(-a,0)在轨迹上.

当IA71Ho且।而MO时，由沅i=o,得A7_L而.

又I而日至1,所以T为线段FzQ的中点.

--1---

在△QFE中，\0T\=-\FXQ1=a,所以有1+

综上所述，点T的轨迹C的方程是/+》2=。2.

(2)解：C上存在点M(x0,y0)使S=/的充要条件是

N+y2_(3)

王)十X)一〃，7

<

1?

--2cly0\=b'.④

、乙

/7212

由③得1必)14〃，由④得1打1«—,所以，当Q之也时，存在点M,使S=h2;

CC

当以时，不存在满足条件的点M.

C

卜2----,

当a2幺时，MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x0,-y0),

c

2*4

由诟.而豆=x；-C+y；=q2_c2=》2,

MFrMF\=\MF}\-\MF[ICOSZ^M^,

SMF2IsinZF,MF2=/,得tanZF,MF2=2.

尤2

3已知椭圆G的方程为——+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为3的左、右顶点，而

4

C2的左、右顶点分别是G的左、右焦点.

(I)求双曲线C2的方程；

(n)若直线/：y=丘+正与椭圆a及双曲线C?都恒有两个不同的交点，且1与Cz

的两个交点A和B满足3•称<6(其中0为原点)，求k的取值范围.

22

解：(I)设双曲线a的方程为上_匕=1，则/=4—1=3,再由/+/=,2得/=1.

a2b2

—

故a的方程为——y2=1.

3

2

(II)将y=kx+后代入二+/=1得(]+4/+8血丘+4=0.

4

由直线1与椭圆G恒有两个不同的交点得

△\=(8扬2k2_]6(1+4攵2)=16(4k2-1)>0,

即k2>-.①

4

r--_

将y=近+扬弋入、=]得(1_3小)/_6伍・9=0.

由直线1与双曲线Cz恒有两个不同的交点A,B得

1—3父/0,

<

A2=(―6岱)2+36(1—3k2)=36(1—女2)〉0

即Y/I且火2<1.

3

阳(/，%)，8(4,yB),则4+X"=,xA-xB=—

1-3K1-3K

由04OB<6得》内8+yAyB<6,而

xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+丘)(%+扬

2

=(k+i)xAxB+6k(x人+xfi)+2

,,2八-9nr6s/2k

=(k-+1)-------+72k-------+2

l-3k2I-3k2

3k2+7

~3k2

22

于是兰T,k3+7<6,即1sk-13>0.解此不等式得

3k2-13k2-I

k2>—^k2<-.③

153

由①、②、③得

1.21-P.132।

—<k<一或一<k<1.

4315

故k的取值范围为UUU(J.,1)

4.已知某椭圆的焦点是正(-4,0)、Fi(4,0),过点&并垂直于x轴的直线与椭圆的

一个交点为反且I月m+IF,B\=10.椭圆上不同的两点”(不，必)、C(x2,刀)满足

条件：I&/I、I区川、IEC\成等差数列.

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦/C中点的横坐标；

(3)设弦/C的垂直平分线的方程为y=kx+m,求。的取值范围.

（1）解：由椭圆定义及条件知

2a=|F\B|+|FiB\=10,得a=5.又c=4,所以b=yja2-c，=3.

22

故椭圆方程为二十二=1.

259

a

（2）解：由点5（4,%）在椭圆上，得|£川=\yB\=

方法一：因为椭圆右准线方程为刀=2上5，离心率为？4.

45

4754

根据椭圆定义，有IE/I=±（/-汨），I=-（―-£）.

5454

由II、|百川、|F2C\成等差数列，得

4254259

—（——修）+一（——再）=2x—.由此得出与+万=8.

54545

设弦4。的中点为尸（的耳），则痴=土土包=§=4.

22

(3)解法一：由4(汨,万），C（Xi,.）在椭圆上，得

9"+254=9x25,

9照2+25n2=9x25.⑤

由④一⑤得9(X\-Xi)+25(4-I)=o,

即+25(21121)()=0(屈#影).

22xl-x2

将上上旦=x0=4,乃+乃=加3j-y2=_1(%0)代入上式，得

22Xj-x2k

9x4+257)(--)=0(K0).

由上式得k=—为（当宠=0时也成立）.

36

由点尸（4,刀）在弦/C的垂直平分线上，得刀=4£+%

所“以、，227=Jb-4，1，=/b--25Jo=--16Jb.

QQ

由尸（4,为）在线段初（B与夕关于x轴对称）的内部，得一］<为</

“16,/16

所以———<227<——・

55

5设心yCR,i、/为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量分"+（尸2）

j,b=xi+（y-2）j,且|a|+|b|=8.

（1）求点M（x,y）的轨迹。的方程.

(2)过点(0,3)作直线/与曲线。交于/、B两点、,设丽=3+而，是否存在这

样的直线/,使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线/的方程；若不存在，试说明理

由.

(1)解：*/a=xi+(j+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,

.♦.点〃(x,y)到两个定点火(0,-2),FT(0,2)的距离之和为8.

22

轨迹C为以区、区为焦点的椭圆，方程为二-=1.

1216

(2)过y轴上的点(0,3),

若直线/是了轴，则4J两点是椭圆的顶点.

OP•OA+OB^,

；.P与。重合，与四边形如外是矩形矛盾.

二直线/的斜率存在.设，方程为片上计3,A(X\,y\),B(Xiy乃)，

r片届'3,

由4ry2消y得(4+3k?)x2+18kx—21=0.此时，4=(18k2)-4(4+3/c2)

—+--=1,

〔1216

(-21)>0恒成立,且为+£=-―侬7,不照=--.

4+3/4+3小

•・•OP=OA+OB,・・・四边形"回是平行四边形.若存在直线1,使得四边形OAPB定短

形，则OALOB,即次•OB=0.

VOA=(x19%),。5=(照,乃),

OA•。3=小冬+再乃=0,

即(1+/)禹照+3宠(汨+*)+9=0,

即(1+/)•(-21-)+31-(-18k)+9=0,即妙=2，得4±咨.

4+3k24+3k2164

••・存在直线/:片土正产3,使得四边形曲班是矩形.

4

2

6设6、尸2分别是椭圆亍+V=1的左、右焦点.

(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PK•「用的最大值和最小值；

(II)设过定点”(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且NA08为锐角(其中。

为坐标原点)，求直线/的斜率々的取值范围.

解：(I):易知a=2,b=l,c=M

所以£卜6,0）,乙（6,0）,设P（x,y）,则

222

PF]PF2=（_6_》,_〉），（百_》,_\）=x+y-3=x+1-^■—3=；（3x?—8）

因为xe[—2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，西-P玛有最小值-2

当工=±2,即点P为椭圆长轴端点时，尸耳,尸&有最大值1

（II）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线/:y="一2,4（不[,必），5（冗2，y2），

y=kx-2

二+.1'消去y,整理得：卜+J

联立•x2+4kx+3=0

,4

4k3

•••玉+々=------r,再•％=-----r

k2+-k2+-

44

由A=（44）2—4（4+；]x3=4/_3>0得：k<匚或k>_J

2-2

又0°<ZA08<90°ocosZAOB〉007・。豆〉0

OA-OB=玉龙2+%内>0

3k2-8k2-k2+l

又=（处+2）（5+2）=k2xx+20（X[+々）+4-----+------+44=------

}2111

k~+9-k+?-H7+一

444

-^~r+~k+<1>0>即攵,<4■■■-2<k<2

21i21

kt-+-k-+-

44

故由①、②得一2<女<一、二或上<Z<2

22

Y

7如图，直线y=*x+b与椭圆——|_>2=1交于人、B两点，记AAOB的面积为S.

4

（I）求在左=0,0<b<l的条件下，S的最大值；

（II）当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程.

⑴解:设点A的坐标为（（玉,5）,点B的坐标为（工2，匕），

由?+丁=1,解得％2=±2J1-/

所以S=,blx-x,1=2bjl—JW^+l—4=1

2

当且仅当匕=2-时,.S取到最大值L

2

y=kx+h

(□)解：由＜X221得

—+V=1

I4-

2

(4/+1)X+Skbx+4/-4=0

A=16(4A:2-^2+l)①

IAB|=Jl+Elx,-x21=&+、2加死―：+D=2②

124k2+1

I1IOf

又因为0到AB的距离d=—==3一=1所以匕2=公+1③

V17FIABI

③代入②并整理，得4左4_4女2+1=0

I3

解得，k2=-,b2=-,代入①式检验，△>()

22

故直线AB的方程是

V2V6..V2V6..V2V6..V246

y=——x+——或y=——x----或y=----x+——或y=----x-----

22222222

22

8已知椭圆G.——+=l(a>b>0)的左.右焦点为Fi、F”离心率为e.直线，/:y

crb

=e*+a与*轴.y轴分别交于点4、B、"是直线/与椭圆。的一个公共点，户是点先关于

直线/的对称点，设俞=入薪.

(I)证明：入=1-

3

(H)若4=—,△姐区的周长为6;写出椭圆。的方程；(理科无此问)

4

(in)确定入的值，使得△阳月是等腰三角形.

(I)证法一：因为4夕分别是直线/:丁二夕+〃与1轴、y轴的交点，所以4、B

y=ex+a,x=-c,______

的坐标分别是(一@,0),(0,a)由x2y2逑萨这里c=Vo2+b2.

eF+不=1，y=

la-b~l

b23

所以点〃的坐标是（-c,—）.由而=2ABW(-c+)=A(-,a).

aa

ada

---c-/t一

即＜解得几=1—.

、a

31

(n)当2=—时，c=—,所以a—2c.由△始月的周长为6,得2a+2c=6.

42

22

所以a=2,c=I,/?2—a1—c~-3.椭圆方程为土+匕=1.

43

(ID)因为PF\L1,所以/冏6=90°+N皿月为钝角，要使△阳月为等腰三角形,

必有I阳1=1凡RI,即glPKl=c.

设点火到/的距离为"，由glPKI=d=Ie(-c)+0+。I\a-ec\

,二c,

Vl+e2l+e2

212

得==e,所以e?=—，于是4=1—e2=—

P233

2

即当4=—时，△阳区为等腰三角形.

3

x2y1

9如图，椭圆Q:——+=1（。＞/?＞0）的右焦点为F（c,0），过点尸的一动直线m绕点F

,a~

转动,并且交椭圆于A、8两点，P为线段A8的中点.

（1）求点尸的轨迹”的方程；

（2）若在Q的方程中，令/=1+cos6+sin0,b2=sin6（0v，＜］）•确定，的值，使

原点距椭圆。的右准线/最远.此时设/与X轴交点为O,当直线机绕点尸转动到什么位置

时,三角形A8O的面积最大?

解：如图

22

⑴设椭圆。：5+4=1上的点&X1%）、3（々当），又设2点坐标为「（苍》），则

a"h"

xf+a2y^^a2b2............①

'x[+a2y^^a2b2............②

1°当A8不垂直x轴时，x,x2,

由①一②得

21

b(xt-x2)2x+a(yl-y2)2y=0,

,X一%二『X二y

Xj-x2ayx-c

:,b2x2+〃2y2-b2cx=O,........(*)

2。当48垂直于大轴时，点P即为点尸，满足方程(*).

故所求点尸的轨迹”的方程为：h2x2+a2y2-h2cx=O.

⑵因为，椭圆。右准线/方程是》=幺，原点距椭圆。的右准线/的距离为上,

由于=/-》2,Q2=i+cosO+sin。,/=sin(9(0<^<—).

2

m,,a2l+sinO+cos。>.£"、

则一=——1-=2sin(-+—).

cJl+cos。24

jrrr

当e=万时,上式达到最大值,所以当。=彳时,原点距椭圆。的右准线/最远.

此时a2=2,62=],C=I,O(2,O),|OF|=I.

22

设椭圆。：5+亍=1上的点4(石))、B(x2y2),

△A8O的面积+

22

设直线机的方程为x=6+l,代入三+乙之中，得(2+%2)>2+26—1=0.

2k1

由韦达定理得,+--五式.=一.'

,_.8传+1)

4s“=(必-%厂=(弘+%)-4%%=7\一

一+2)

Qf

令f=r+121,得4s24—=2,当f=l,k=0取等号.

At

因此，当直线用绕点/转动到垂直x轴位置时，三角形的面积最大.

9.已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在坐标轴上，直线产产1与椭圆相交于点尸和点Q,

且0P上0Q,1%1=巫，求椭圆方程.

2

2QQ2

椭圆方程为二+士了=1或士，-=1.

2222

x2x2

10设A9分别为椭圆j+r=l(a,b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距,

a'b2'''

且》=4为它的右准线。

(I)求椭圆的方程；

(II)设尸为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线/尸、的分别与椭圆相交

于异于/、B的点、M、N,证明点方在以也V为直径的圆内。

a=2c

解(I)依题意得，“2a=2

解得从而b-yfi

—=4c-1

故椭圆方程为二+二=1

43

(II)解法1：由(I)得4—2,0),6(2,0),设%)

3

"点在椭圆上，.二苏二—(4—x；)①又M点异于顶点4、B、：.—2<X。<2

由久/、”三点共线可得P(4,国-)从而而'=(4—2,稣),丽=(2,3」)

x0+2x0+2

---—"6y3297

J.8P=2x0—4+^^=-----(片―4+3yj)②

x0+2x0+2

将①式代入②式化简得麻MP=|(2-x0)

•.•2—%>0,.•.丽丽>0.于是NMBP为锐角，从而NM3N为钝角，

故点5在以削为直径的圆内.

22

10设£、居分别是椭圆］+誉=1的左、右焦点.

(I)若P是该椭圆上的一个动点，求丽•西的最大值和最小值；

(II)是否存在过点A(5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F£|=|FJ)|?

若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解：(I)易知。=石为=2,。=1,，工=(—1,0),吊(1,0)

设P(x,y),则丽・丽=(-l-x,-y>(l-x,-y)=x2+y2-i

41o

x02+4——x02-l=-x2+3

55

,/xG[-V5,V51,

.♦.当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，丽•丽有最小值3;

当工=±百，即点P为椭圆长轴端点时，丽・所有最大值4

(n)假设存在满足条件的直线/易知点A(5,0)在椭圆的外部，当直线/的斜率不

存在时，直线/与椭圆无交点，所在直线/斜率存在，设为k

直线/的方程为y=k(x-5)

(22

二+匕=1

由方程组《54一，得(5公+4)》2一50女2工+125左2—20=0

y=k(x-5)

依题意A=20(16—8O/)>o,得一

当一[■<&<乎时,设交点C(M，y)、D(x2,y2),CD的中点为R(xo，yo),

50k2x,+x25k2

贝IM+x,=--——,x=———2-=--——

125k2+4°025k2+4

,,u、“25k2-20k

••y()-k(X。15)=K(~5)~~.

°05/+45/+4

又IF2c|=旧口|0尸2夫，/0人%居/?=T

.k.k.k—5.+4)_20k2.

修।25k2_4-20k2-

/.20k2=20k2-4,而20k2=201-4不成立，所以不存在直线/,使得IF2c|=|FzD|

综上所述，不存在直线八使得|F£|=|F?D|

11已知圆例：(x+石产+产=36,定点N(五,0),点尸为圆〃上的动点，点Q在NP上，

点G在MP上，且满足标=2而，诙•而=0.

(I)求点G的轨迹C的方程；

(II)过点(2,0)作直线/,与曲线C交于A、B两点，0是坐标原点，设丽=3+5瓦

是否存在这样的直线/,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,

求出直线/的方程；若不存在，试说明理由.

解：(1)_._,b=>Q为PN的中点且GQJLPN

GQPN=0

=>GQ为PN的中垂线n|PG|=|GN|

|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长。=3,半

22

焦距c=石，..•短半轴长b=2,.♦.点G的轨迹方程是二+竺=1

94

(2)因为。S=OA+OB,所以四边形OASB为平行四边形

若存在/使得I历1=1而I,则四边形OASB为矩形.•.万^丽=0

[x=2x=2

若/的斜率不存在，直线/的方程为户2,由J22得,

L+匕=1y=±挛

I94

,.16..

.♦.04。3=—〉0,与04。8=0矛盾，故/的斜率存在.

9

设/的方程为y=k(x-2),A(xt,y,),B(x2,y2)

y=k(x-2)

2

曲r22n(%2+4)x2—36/x+36(A：-1)=0

—+^=1

I94

36k236()12-1)

x+x-----------=-----------------------①

]29k2+4129k2+4

月为=伙(王一2)]伙(%一2)]

20k2

=k'[xx-2(X]+x)+4]

}229k°+4

,3

把①、②代入X1%2+%乃=0得&=±—

・,・存在直线/:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等.

12已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线尸L，的焦点,

4

离心率等于述.

5

(1)求椭圆C的方程;

（2）过椭圆C的右焦点F作直线/交椭圆C于A、B两点，交了轴于M点，若忌=入

iAF,MBfzBF,求证入1+入2为定值.

解：（I）设椭圆C的方程为「+二=1（。＞匕〉0）,则由题意知5=1.

ab

x、

，椭圆C的方程为---Fy"=1.

5

（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为A（X],yJ,6（X2，y2），M（°，yo）-

易知F点的坐标为（2,0）.

7

MA=4A/,（七,yt-y0）=/,（2-x1，一月）.

22.）'o

X]...................8分

1+41+4

将A点坐标代入到椭圆方程中，得[（m_）2+（』_）2=i.

51+41+4

去分母整理得升+104+5-5君=0.

同理，由赢=久而可得：用+104+5-54=0.

.­.4,%是方程/+10X+5-5y：=0的两个根，

4+4=~io.

13、已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为Y5,两条准线间的距离为

3

6.椭圆W的左焦点为尸，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线/与椭圆W

交于不同的两点A、8,点A关于x轴的对称点为C.

(I)求椭圆W的方程；

(n)求证：CF=XFB(2eR);

(ID)求AM8C面积S的最大值.

22

解：(I)设椭圆W的方程为--+—Y=1，由题意可知

ab~

Y~V

所以椭圆W的方程为--1---=1.

62

2

(11)解法1：因为左准线方程为x=——=-3,所以点“坐标为(-3,0).于是可设直线

c

/的方程为y=k(x+3).

'y=k(x+3),

<丫22得(1+3攵2)/+18女2%+27女2-6=0.

一+工=1

I62

由直线/与椭圆W交于A、8两点，可知

2

△=(18&2)2-4(1+3廿)(27%2_6)〉0,解得女2<].

设点A,B的坐标分别为(须,%)，(x2,%)，

-18Px,x=21k~~6,弘=攵(石+3),>2=%(々+3).

则王+x2

2l+3k21+3A~

因为尸(一2,0),。(七,一弘)，

所以FC=(x]+2,—%)，FB=(x2+2,y2).

又因为(为+2)%-(2+2)(-%)

=(X)+2)k(x2+3)+(x2+2)k(x1+3)

=k[2x]x2+5(王+X2)4-12]

54^—12-90k2

k[---------------9-------------------------.+12]

1+3/1+34

女(54女2-12—90k2+12+36^2)

=---------------7-----------=。,

1+3/

所以而=4万.

2

解法2：因为左准线方程为x=——=一3,所以点M坐标为(一3,0).

c

于是可设直线/的方程为y=Mx+3),点A,8的坐标分别为(X|,y),(x2,y2),

则点C的坐标为(演,一耳)，X=女(占+3),y2=k(x2+3).

由椭圆的第二定义可得

+

\FB\_-^2_Iy21

IFCTx,+3~7y^\'

所以B,F,。三点共线，即酝=彳丽.

(ID)由题意知

S=^\MF\\yx\+^\MF\\y2\

=；IM/7I•I必+为।

=glk(F+々)+6左I

3Ml3,3&

=------=----------——————,

1+3公工+3映「262

\k\

当且仅当左2=_L时"=”成立，

3

所以AMBC面积S的最大值为手.

14已知定圆A:(x+l/+>2=16,圆心为4,动圆〃过点5(1,0)且和圆/相切，动圆的圆

心〃的轨迹记为C.

(I)求曲线C的方程；

(II)若点?(与,打)为曲线。上一点，求证：直线/:34》+4凡〉—12=0与曲线C

有且只有一个交点.

解：(I)圆A的圆心为A(—1,0),半径八=4,

设动圆M的圆心M(x,y),半径为公依题意有,弓TM8L

由|AB|=2,可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A,

故|MA|=h—即|MA|+|MB|=4,

所以，点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，

22

设椭圆方程为二"+4=1,由2a=4,2c=2,可得a?=4,/=3.

ab~

x~y2

故曲线C的方程为——+乙=1.

43

(II)当儿=0时，由?■+段=1，可得X。=±2,

当X。=2,"=0时，直线/的方程为X。=2,

直线/与曲线。有且只有一个交点(2,0).

当/=-2,汽=。时，直线/的方程为/=-2,

直线/与曲线C有且只有一个交点(-2,0).

当w0时，直线/的方程为y=12—3”

4yo

12-3xox

y=~r—，

联立方程组：

2

消去力得(4y；+3x^)x-24xox+48-16^=0.①

由点P(x(),九)为曲线C上一点，

得?+[=1.可得4y；+3x；=12.

2

于是方程①可以化简为x-2XQX+x；=0.解得x=x0,

将X=/代入方程^=123x°x可得y=方，

4yo

故直线/与曲线C有且有一个交点尸(4,y0)，

综上，直线/与曲线C有且只有一个交点，且交点为「(与，九).

15在平面直角坐标系x曲中，已知点/（-I,0）、5（1,0）,动点C满足条件：的周

长为2+272.记动点C的轨迹为曲线W.

（I）求〃的方程；

（II）经过点（0,地）且斜率为1•的直线/与曲线"有两个不同的交点P和Q,

求4的取值范围；

（in）已知点〃（/，0）,〃（0,1）,在（H）的条件下，是否存在常数£使得向

量丽+丽与丽共线？如果存在，求出发的值；如果不存在，请说明理由.

解：（I）设C（局y）,

\AC\+\BC\+\AB\=2+2>/2,\AB\=2,

|AC|+|BC|=2^2>2,

由定义知，动点C的轨迹是以“、方为焦点，长轴长为2班的椭圆除去与x

轴的两个交点.

a=>/2,c=l-**•b2=a2—c2=1.

2

・•・%—+y=i（ywO）.

2

（n）设直线/的方程为y=H+VL代入椭圆方程，得E+（"+后）2=].

2

整理，得（；+公求2+2亚x+i=o.①…

因为直线/与椭圆有两个不同的交点产和。等价于

△=8公一4（3+左2）=4女2一2>0，解得攵<一等或七〉等.

「・满足条件的左的取值范围为k晨-8,---）U（-^-,+°o）

（m）设尸（汨,¥）,。（岛j2）,则OP+OQ=（汨+E,乃+%）,

由①得%+%=-冬丝•②

1-l+2k2

又X+丫2=k（Xi+*2）+2近③

因为M（及，0）,N（O,1）,所以丽=（-a,1）.

所以OP+OQ^lMN共线等价于占+%=-逝（凶+X）•

将②③代入上式，解得k=YL

2

所以不存在常数A使得向量加与营而共线.

16、已知定点C(—1,0)及椭圆》2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于4B两点、.

(I)若线段A8中点的横坐标是-L,求直线A3的方程；

2

(n)在x轴上是否存在点M,使雨•麻为常数？若存在，求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

(I)解：依题意，直线48的斜率存在，设直线48的方程为y=Z(x+l),

将y=k(x+1)代入x?+3y2=5,

消去y整理得(3k2+i)x2+6k2x+3k2-5=0.

△=36/一4(3%2+1)(3/-5)>0,(1)

2

设A(X1,3),B(X2,y2),则<6k

%,+x,=-----：—.(2)

I123k2+\

由线段AB中点的横坐标是-！，得五土&=--=一1,

223公+12

解得女=±2，适合⑴.

所以直线48的方程为x-V3y+l=0,或x+&y+l=0.

(II)解：假设在x轴上存在点M(m,0),使而•丽为常数.

①当直线A8与x轴不垂直时，

2

.,T、，6k23k-5八、

由(I)知M+M=---——，=------.(3)

'-3k2+1123A2+1

所以MA-MB-(x}-m)(x2一6)+y%=(占一机乂々一小)+攵2(芭+l)(x2+1)

—(42++(E—m)(玉+x,)+.

zr24-----)9K-r1)—-------

将⑶代入，整理得赤廊二n7"