2022年江苏新高二数学暑假教材讲练（苏教版2019选择性必修第一册）第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（含详解）

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题

弊【学习目标】

1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法

2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型

3

k'【基础知识】

知识点一.平面向量范围与最值问题常用方法：

1.定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

2.坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3.基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4.几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二.极化恒等式

1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

DC

AaB|£+翻+|£-讨=2(|£|2+出|2)证明：不妨设通=£,而=瓦

则前二£+b,DB=a-^|Xc|2=AC2=(«+=同?+2a-b+|邛(I)

阿=加=(1,=/—275+呼(2)

(1)(2)两式相加得：

明?+|方］=2(@+粕=2(网,+|而».极化恒等式：

上面两式相减，得：；［(£+,-(£-耳］--------极化恒等式

(1)平行四边形模式：a-b=^\AC\"-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差

的L

4

(2)三角形模式：=砰(”为8。的中点)

知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内

容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围

限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

■G【考点剖析】

考点一：定义法

列1.若AABC中，45=2,其重心G满足条件：而.而=。，则(方2十丽)丽•就取值范围为()

A.(-80,160)B.(-80,40)

C.(-40,80)D.(-160,80)

考点二：坐标法

例2.在矩形A8CO中，A8=2,BC=l,点E为边A8的中点,点尸为边3c上的动点，则诙.而

的取值范围是()

D__________________________C

\A.[2,4]B.[2,3]C.[3,4]D.[1,4]

AEB

考点三：基底法

例3.如图，已知点P(2,0),正方形ABC。内接于0O:/+y2=2，M、N分别为边A3、8。的

中点，当正方形ABCO绕圆心。旋转时，丽•丽的取值范围是()

(_P,A.[-1,1]B.[-71y/2]

c-[-2,2]D.咚岑

考点四：几何意义法

八、例4.在“IBC中，AB=68c=4,B=3O。，P为边上4。的动点,则而•旃的取值范围是()

A.[6,16]B.[12,16]

C.[4,12]D.[6,12]

考点五：极化恒等式

住1例5.已知圆C的半径为2,点A满足时卜4,民尸分别是C上两个动点，且同=2。则荏.而

的取值范围是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【真题演练】

N星8c中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸为“18C所在平面内的动点，旦PC=1,则丽・丽的取值范

围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,41D.[-4,6]

2.已知产是边长为2的正六边形〃内的一点，则A户月的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.（-2,4）D.（T6）

3.已知箭是单位向量，2•万=0.若向量2满足卜-〃-司=1,则同的取值范围是（）

A.[72-1,,V2+1]B.[>/2-1„>/2+2]

C.[L,V2+1]D.[L,V2+2]4.如图，在平面四边形A8CO中，

4BJ.BC,A。J.CD,/BA。=120,AB=AZ）=1,

若点E为边C。上的动点，则通•屁的最小值为（）

5.已知“8。是边长为2的等边三角形，『为平面ABC内一点，则雨•（丽+画的最小值是（）

34

A.-2B.--C.--D.-1

23

6.已知丽,祝，|而卜;，|而卜匕若P点是所在平面内一点，且八尸二儡+则闻•无的

最大值等于（）.

A.13B.15C.19D.21

7.已知向量词满足向=响=2,则|叫+*@的最小值是,最大值是.

8.设点P在单位圆的内接正八边形4人…人的边A4上，则中:+禹2+…+品的取值范围是.

9.已知。是平面内的单位向量，若向量5满足瓦3-&=0,则|5|的取值范围是.

10.如图，已知点O（0,0）,A（1,0）,B（0-1）,P是曲线y=Jj二7上一个动点，则而•丽的取值范围是

11.在等腰梯形A8co中，已知A8//OC,AB=2,8C=1,/A8C=60,动

点E和尸分别在线段8。和九上，且旗二施商修反，则通员的最小值为

12.已知向量|。|=1,区=2,若对任意单位向量e，均有|a.c|+区.e|＜。6,则〃石的最大值是

13.已知平面向量万，B,|«|=1,1^1=2,ab=\.若，为平面单位向量，则|万1|+出包|的最大值是

函【过关检测】

］黑!488中,AB=2,BC=l,ZDAB=60°,若E为口ABCD内一动尽（含边界），则荏.而的最大值

是（）

A.1B.2C.币D.@

2

2.已知点P是边长为2的正三角形的边8c上的动点，则而•（而+而）=（）

A.最大值为6B.为定值6C.最小值为3D.为定值3

3.已为向量［、坂的夹角为（，\b\=2\a\=2,向量c=xa+y坂且x,y£口,2］.则向量鼠［夹角的余弦值的最

大值为（）

A02>/7「右3V21

・-----DR・-----lz・1Un・-----

77214

4.已知正方形ABC。的边长为2,M为正方形ABC。的内部或边界上任一点，则MUM。的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.4

3-------/、

5.在AABC中，cosA=-t。为△45C的内心，^AO=xAB+yAC（x,yeR）,则x+y的最大值为（）

A26-x/6r7-V7n8-2V2

A.-D.------C.------U.------

3567

6.在矩形ABC。中，AB=\tAD=2,动点尸在以点4为圆心的单位圆上.若丽=4而+〃而（Z〃£R）,

则4+〃的最大值为（）

A.3B.逐C.正D.2

2

7.已知单位向量3,坂满足£石=0,若（14倒一"）=0,并且。=心+〃力，那么4+〃的最大值为（）

3

A.2B.2&C.y/2D.-

3--------9

8.在“ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,cosC=—,若CBC4=2,贝"的最小值为（）

A.2

B.4

C.721

D.17

9.已知P是等边三角形A8C所在平面内一点，且钻=26，BP=l,则丽・丽的最小值是（）

A.1B.72C.>/3D.2

10.如图所示，点。在以O为圆心2为半径的圆弧48上运动，且NAOB=12d,则围&的最小值为（）

A.TB.-2C.0D.2

11.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖

的小用友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形A3C。中，

OAA.OCtOA=OC=4,AC±BC,AC=8C,点尸是八边形ABCDfiFG〃内（不含边界）一点，则方.衣

的取值范围是（）

B.(-48,16)C.(-I6>/5,48>/5)D.(-48^,165/5)

12.如图，已知四边形ABC。为直角梯形，ABIBC,AB//DC,AB=\,AD=3,^BAD=—f设点尸为

直角梯形ABC。内一点（不包含边界），则丽.Q的取值范围是（

A-B.卜川C.（。，|）D.回

13.如图，已知点尸在由射线0。、线段。A,线段84的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且。。

与融平行，若丽=1而+），丽，当时，y的取值范围是（）

A.【MB.「5’」dD.05

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题

与蹄【学习目标】

1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法

2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型

【基础知识】

知识点一.平面向量范围与最值问题常用方法：

1.定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

2.坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3.基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4.几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二.极化恒等式

1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

DC

AaB|£+翻+|£-讨=2(|£|2+出|2)证明：不妨设通=£,而=瓦

则前二£+b,DB=a-^|Xc|2=AC2=(«+=同?+2a-b+|邛(I)

阿=加=(1,=/—275+呼(2)

(2)(2)两式相加得：

明?+|方］=2(@+粕=2(网,+|而».极化恒等式：

上面两式相减，得：；［(£+,-(£-耳］--------极化恒等式

(1)平行四边形模式：a-b=^\AC\"-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差

的L

4

(2)三角形模式：=砰(”为8。的中点)

知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内

容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围

限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

■G【考点剖析】

考点一：定义法

住1例1.若中，45=2,其重心G满足条件：而.而=0,则(方2+历)而•就取值范围为()

A.(-80,160)B.(-80,40)

C.(-40,80)D.(-160,80)

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据G为重心，W.BGAG=0f利用中线定理得到8=3,再分别在dDC和△皈•中，利用余弦定理

得到/+从=20,由(57屈］AB-BC=-20accosB求解.

【详解】

解：如图所示：

因为AB=2,G为重心，且而.而=0,

所以3=：4?=1,又々7:切=2:1,则C£>=3,

在AADC中，有=AD2+CD2-2ADCD-CQS4ADC=10-6cosNJZT，

在中，有位2+勿2-2BD,CD•cos4BDC=10-6cos乙BDC，

两式相加得CT+CB~=20，

“u„6»2+1-9冰-8ncf,

在ABDC中，cosB=----------=-------,,0.2<CB<4»

2CB2cB

所以岳2）茄.茄=_20|阿•|画・cos6,=-20（CB2-8）€（-160,80）,

故选：D

考点二：坐标法

例2.在矩形ABCO中，48=2,8c=1,点E为边A3的中点，点尸为边8c上的动点，则诙.而

的取值范围是()

B.[2,3]C.[3,4]D.[1,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

以A为坐标原点可建立平面自角坐标系，设产(2,/n)(0V/nG),由平面向量数量枳的坐标运算可表示出

诙.而，结合小范围可求得诙.而的取值范围.

【详解】

以A为坐标原点，而，而正方向为乂丁轴，可建立如图所示平面.宜角坐标系，

DF=（2,/n-l）,

:.DEDF=2I1=3m-vO<w<l,.\2<3-m<3f即诙.丽的取值范围为[2,3].

故选：B.

考点三：基底法

小1例3.如图，已知点尸(2,0),正方形ABCD内接于。0:/+丁=2,M、N分别为边A8、BC的

中点，当正方形ABCD绕圆心。旋转时，丽.两的取值范围是()

C.[-2,2]D.一冬日

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意易知ON=L将丽表示为瓦再结合数量积的运算律计算艮]可.

【详解】

解：由题意可知正方形"C。的边长为2,

则QV=1,

•：OMLON,••西•丽=0,

设而，丽的夹角为，，则。目0,司,

二.两•两=（而+而）•两=所•两=2xlxcose=2cos0w[-2,2].

故选：C.

考点四：几何意义法

例4.在AABC中，AB=6BC=4,3=30。，尸为边上AC的动点，则册.乔的取值范围是（）

A.[6,16]B.[12,16]

C.[4,12]D.[6,12]

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的几何意义求解.

【详解】

如图，作AE_LBC于E,作尸尸J_8c于尸，由已知得4£；=*，BE=1（6）2_§2=；,

瑟.丽=网网85/尸80=4.，

当P在线段AC上运动时地，尸在线段EC上运动，1<«F<4,所以6W4|司M16,

故选：A.

考点五：极化恒等式

g已知圆C的半径为2,点A满足|码=4,石"分别是C上两个动点，且同=2技则荏.而

的取值范围是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,221D.[4,24]

【答案】C

【解析】

【分析】

借助于垂径定理处理，结合向量整理可得荏•赤=|而+两『_3,再根据向量的加法“J"得

3<\AC+CM\<5.

【详解】

取所的中点M,连接CM,则之河二,22_阴2=]，

痔通=（两+码•（丽+砺）=（赤+码（初_函=赤2_砥2=犷_3■/+两『_3,

XIIACI-ICMII^JIAC+CMI|AC|+|CW|,所以3<恁+叫45,

所以64荏•而422，

当且仅当向量衣与西共线同向时，荏.正取得最大值22；向量衣与两共线反向时，通.而取得最

小值6,

故选：C.

【真题演练】

1.在AABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.尸为“1BC所在平面内的动点，且PC=1,则中.方的取值范

围是1)

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[T6]

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意建立平面直角坐标系，设P(cos&sinO),表示出可，而，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及

正弦函数的性质计算可得;

【详解】

解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(3,0),8(0,4),

因为PC=1,所以尸在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(cos0,sin6),6e[0,2司,

所以幺=(3-cos6,-sin。)，PB=(-cos0A-sin0),

所以小•PB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin0)x(-sin0)

=cos2<9-3cos^-4sin^+sin2^=1-3cos。-4sin6=l-5sin(6+。)，其中sine=g,cos^?=-,

因为T«sin(6+0)41,所以-441-5sin(J+*)M6,即丽丽4-4,6]；

故选：D

2.已知P是边长为2的正六边形48coM内的一点，则而.而的取值范围是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到所在丽方向上的投影的取值范围是(-1，3),利用向

量数量积的定义式，求得结果.【详解】

4月的模为2,根据正六边形的特征,

可以得到而在通方向上的投影的取值范围是(T3),

结合向量数量积的定义式，

可知福・福等于福的模与Q在通方向.上的投影的乘积，

所以丽•福的取值范围是(-2,6),

故选：A.

【点睛】

该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式,

属于简单题目.

3.已知3)是单位向量，排3=0.若向量2满足k-〃-同=1,则同的取值范围是()

A.[五-1,,应+1]B.[&-1,,四+2]

C.D.应+2]

【答案】A

【解析】

【详解】

因为上一“一同二1,卜-5+利=1,做出图形可知，当且仅当^与3+方方向相反且同-卜+4=1时，同取

到最大值；最大值为夜+1：当且仅当。与3+母方向相同且忸+司-同=1时,同取到最小值；最小值为

V2-1.

4.如图，在平面四边形ABCO中，4B_LBC,AO_LCO,N84O=120,AB=AZ)=l,

若点E为边CD」：的动点,则亚.诙的最小值为

21

A.C.

16B-?

【答案】A

【解析】

【详解】

分析：由题意川得为等腰三角形，△88为等边三角形，把数量积荏.砺分拆，设

DE=rDC(0^t^l),数量积转化为关于I的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知△ABO为等腰三角形，而A8_L3C,AO_LCO,所以△8CO为等边三

角形，BD=y/3.设方E=r或(0WY1)

AE.BE=(AD+DE)<BD+DE)=ADBD+DE(AD+Bb)+DE2=^+BDDE+DE2=3t2-^t+^

(0<r<l)

所以当工=；I时，上式取最小值2§1,选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

同时利用向量共线转化为函数求最值。

5.已知AABC是边长为2的等边三角形，尸为平面48c内一点，贝1」万♦（而+前）的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.

【详解】

建立如图所示的坐标系，以8c中点为坐标原点，

则A(0,6),B(-I,o),C(1,O),设P(x,y),则而=(_x,Q_y),pg=(-l-x,-j),PC=(\-xf-y),

则PA^PB+PC)=2?-2⑶+2y2=2[f+(y-$-j

.•.当R=0，尸立33

时，取得最小值2X（-：）=F

24Z

|AB|=y,\AC\=tf若尸点是“IBC所在平面内一

).

A.13B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】

【详解】

以A为坐标原点,建立平面直角坐标系，如图所示，则刀(一,0),。(0/),/=(1,0)+4(0,即K1,4),

即工=；时

【答窠】426

【解析】

【详解】

设向量工石的夹角为6，由余弦定理有：p-^|=Vl2+22-2xlx2xcos^=V5-4cos^,

|tz+5|=yj\2+22-2x1x2xcos(^-^)=j5+4cos。,则：

卜+,+卜-4=j5+4cos：+\/5-4cos。,

令y=j5+4cos。+j5-4cos。,则y?=g+2V25-16cos2e[16,20],

据此可得：(卜+q+卜一皿=>/^=2后(k+,+卜一同)=\/\6=4,

即B+.+W叫的最小值是4,最大值是2G

【名师点睛】

本题通过设向量痴的夹角为6,结合模长公式，可得,+即归一闸=>/5+4856+j5-4cos6,再利用三

角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

8.设点P在单位圆的内接正八边形A4-A的边A4上，则而:+%2+…+⑸;的取值范围是.

【答窠】[12+2夜,16]

【解析】

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，4A所在直线为x轴，AA所在直线为了轴建立

平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设尸。。)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到

丽;+而;+…+忒=8(Y+/)+8,然后利用cos22.5wOP区1即可解出.

【详解】

以圆心为原点，44所在直线为％轴，AA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

A（o,i）,等）,4（1,0）,孝，一日），4（0,—1）,4卜日，一母）,4（—1Q）,设P*,y）,

于是西;+PA，2-1---hPSJ-8（x2+）；）+8,

因为8s22.5。4|OP区1,所以1+C^S45<x2+/<l,故⑸:+序;+.••+居的取值范围是U2+2夜,16].

故答案为：[12+20,16].

9.已知土是平面内的单位向量，若向量5满足瓦3-5)=0,贝iJ|B|的取值范围是.

【答案】01]

【解析】

【详解】

本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题.依题了(6-■)=(),即

ba-^|2=0,・・・|洲可cose=|W且。€[0,,.,又,为单位向量，・・・同=1,

・•・忸卜cos夕6e[0,1].A|5|G[0,1].

10.如图，已知点O(0,0),A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=J[37上一个动点，则丽•丽的取值范围是

【答案】T伪

【解析】

【详解】

试题分析：由题意，设P(cosa,sina),ae[0,冗],则丽=(cosa,sina),又放=(1,1),所以

OP-BA=cosa+sina=>/2sin(a+—)G[-1,V2].

4

【考点】

数量积的运算、数形结合思想

【名师点睛】

本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数

的图象和性质，得到而•丽的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合

思想、转化与化归思想等.

11.在等腰梯形A8CZ)中，已知44〃£>CAB=2,5C=l,ZA8C=60，动点E和尸分别在线段BC和。。

上，且，屁=义前,而=工反,则荏.标的最小值为_______________________.

92

29

【答案】历

【解析】

【详解】

—•1------------.1————.—1——1-92-1-92—

=—DC,DC=-AB,CF=DF-DC=—DC-DC=^-^DC=AB,

9/12929A182

___._.—.1-9；-.I+92—.

AE=AB+BE=AB+ABC^AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC,

1o/l1o/l

荏通=（而+；1配）.（上丝丽+而］=匕丝通2+4配2+（1+/1.上出］丽欣

'f［182）184I182）

_1+92-19+92.1lono21,17、J21,1729小口内文2_11日口】_2

————X4+4H-------x2x1xcos120=----1—AH>2./-----XH=—1且仅.ITTV一1之即4一二时

18，189A218V9A218189A23

荏.乔的最小值为弓29.

lo

12.已知向量"A\a\=L区=2＞若对任意单位向量e,均有己.)+6.e|＜。6,则分坂的最大值是.

【答案】y

【解析】

【详解】

试题分析：|0+电-工上屏0+,工卜卡=＞|£+刷＜#=忖|2+出『+2£/《6=£石＜；,即最大值为

【考点】

平面向量的数量积.

【易错点睛】

在归+4«指两边同时平方，转化为|片+|邛+2)/46的过程中，很容易忘记右边的遥进行平方而导致错

误.

13.已知平面向量万，6,|«|=1,|^|=2,ab=\.若“为平面单位向量，则I万心|+出心|的最大值是.

【答案】77

【解析】

【详解】

试题分析：由已知得(万万)=60。，不妨取4=(1,0),5=(cosa,sina),设e=(cosa,sina),

则B•同+忸•目二|cosa\+|cosa+逐sina卜|cosa\+|cosa|+石|sina\

=2|cosa|+V3|sina|,取等号时cosa与sina同号.所以

娶8sa+泵na

2|cosa|+A/3|sina|=|2cosa+x/3sin<2f|=币=V^sin(a+创(其中

2°△

sin6="3S”后,取。为锐角）.

显然、行卜in（a+。）区占，

易知当Q+”］时，卜in（a+6）|取最大值1,此时。为锐角，sina,8sa同为正，

因此上述不等式中等号能同时取到，故所求最大值为五.

【考点】

平面向量的数量积和模.

【思路点睛】

先设小5,和巨的坐标，再将|不列+|尻即转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最

后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得修心|+出包|的最大值.

O

中，A8=2,8C=1,N£>A8=6O。，若E为口ABCD内一动点、（含边界），则通•前的最大值

是（）

A.1B.2C.y/7D.叵

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可设荏=工通+y而且0Vx,y«1,代入结合数量积运算处理.

【详解】

根据题意可得而•而=|同|码cos/DAB=1

^AE=xAB+yAD^O<x,y<\

.•・荏辰=［而+y而）.而=x而•而+y而2=x+yK2故选：B.

2.已知点P是边长为2的正三角形△ABC的边8。上的动点，则丽•（通+配）=（）

A.最大值为6B.为定值6C.最小值为3D.为定值3

【答案】B

【解析】

【分析】

设施=£,衣=瓦而=f而,根据向量的加减运算表示出AP，进而将而•（荏+AC）转化为

（而+而）•（而+/），结合数量积的运算律，可求得答案.

【详解】

设丽=**=反而=/而，^\BC=b-a，

贝|」而=而+而=£+/色一£）,

故存•（荏+硝=（丽+而）•（而+砌=[£+而-£）卜（£+可

—2———2I

=（1T）。+ab+tb=4（l-?）+2x2x—+4r=6,

2

故选：B

3.已为向量的夹角为3，I引=2y|=2,向量2=茄+）石且%,丁引1,2].则向量人工夹角的余弦值的最

大值为（）

A历R2万n3亚

77214

【答案】C

【解析】

【分析】

由题设，应用向量数量积的运算律可得72=x+），、|"|=4?+2Q，+4），2,根据85<。,。>=£^及参数范

1。1©

围求最大值.

【详解】

—•—••c——————九2

f

rhcos<atc>=―—―,而|Z?|=21a|=2,则a3=|a||b|cosw=l,\a-c=ci-（xa+yb）=xa4-ya-b=x+y

klkl3

由c~=（xa+yb）2=x2+2xy+4y2,则Ic1=\fx2+2xy+4y2,

—x+y1

cos<a,c>=/-=]

所以Jd+2盯+49]+」,

要使余弦值最大且X,ye[1,2],只需土最大，且为2,此时最大COS<N">=也.

y2

故选：C

4.已知正方形A8C。的边长为2,M为正方形A8CD的内部或边界上任一点，则祝•丽的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正方形的边长为2,所以。（2,2）,。（0,2）,

因为祝=(2—x,2—y),而=(一Z2-y),

所以就.而=T(2—x)+(2_y)2=(x_l)2+(y_2)2_],

因为04x,y42,所以-14x-lWl,-24y-2K0,

因此祝.砺=(x—l)2+(y—2产一141+4—1=4,当且仅当x=0,2,y=0时取等号,

3__一一,、

故选：D5.在△48C中，cosA=-,。为aABC1的内心，^AO=xAB+yAC（xtyeR）,则x+y的最大值

为（）

A26-瓜7-778-2x/2

A・二oR.----------Cr.---------1nJ.----------

3567

【答案】D

【解析】

【分析】

146）AO

设而=4布="丽+心正，根据三点共线可得x+y=：=*=.八=八,结合图像分析运算.

XADAO+OD

【详解】

加图：圆O在边A及8cl•的切点分别为连接。瓦。厂,延长AO交AC于点。

设N0A8=。，则854=8526=1-25皿2。=3,贝ijsin®="

44

]§：AD=AAd=AxAB+AyAC

•・•氏DC三点共线，则"+心=1,即x+y=：

\AOAOAO11118-272c/6

—==--------W---------=-------=-------=-------==-=-------8-2U2

2ADAO+ODAO+OF[+”]+笠1+sin。&7n^x+y^―--

AOAO1+彳7

故选：D.

6.在矩形ABC。中,AB=i,AD=2f动点尸在以点A

为圆心的单位圆上.若Q=a瓦+〃亚(4〃wR),则4+〃的最大值为()

A.3B.x/5C.@D.2

2

【答案】C【解析】

【分析】

cos0=2〃，

构建直角坐标系，令Q=(cose,sine),。口0,2幻，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得

sin"%”

合辅助角公式、正弦函数性质求最值.

【详解】

构建如下直角坐标系：丽=(0,1),而=(2,0),令/=(cose,sin。)，6e[0,2万),

cos。=2〃

sin=A

所以当sin(e+0)=i时，的最大值为它.

2

故选：c

7.已知单位向量入B满足£$=0,若(£-@・,一")=0,并且;心+/,那么义+〃的最大值为(