2021届福建省龙岩市高三下学期第一次教学质量检测数学试题解析版VIP

2021届福建省龙岩市高三下学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题1．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）A．2 B． C．-2 D．【答案】C【分析】根据复数除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的定义求出，最后根据虚部的定义可求出所求．【详解】解：因为，所以，所以，即的共轭复数的虚部为，故选：C．2．若集合，，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，可得，可得，即阴影部分表示的集合为，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：D.3．围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（）A．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等D．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高【答案】D【分析】由酒店预订条形图和民宿预订扇形图逐一分析四个选项得答案．【详解】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为和，抖音的占比分别为和，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．故选：D．4．在中，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加法法则和减法法则用向量把向量表示出来，从而求的值.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C.5．在的展开式中，的系数为（）A．-20 B．-10 C．10 D．20【答案】C【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】解：，的展开式中的系数为，故选：C．6．2006年7月13日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化遗产．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测此文物存在的时期距今约（参考数据：，）A．1719年 B．2870年 C．3075年 D．4775年【答案】A【分析】根据题意可得，然后建立等式，解指数方程，两边取以2为底的对数，从而可求出的值．【详解】解：由题意可得，则，即，所以年．故选：．7．若三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，则其外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R，可得2R=PC=，结合球的表面积计算公式即可.【详解】构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R，则2R=PC=，所以外接球的表面积为：.故选：B8．定义在R上的奇函数满足，当时，（e为自然对数的底数），则的值为（）A．-3 B．-2 C．-1 D．0【答案】A【分析】直接根据函数的性质得到以及（1）（1）（1），即可求解结论．【详解】解：定义在上的奇函数满足，当，时，，，且（1）（1）（1），可得且，故，故选：A．二、多选题9．若点在直线上，其中，，则（）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】先由题设条件得到：，再利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．【详解】解：由题设可知：，，，，即，，当且仅当时取““，故选项正确；又由可得：，，，，故选项、错误；，，，当且仅当时取“”，故选项正确，故选：AD．10．一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的有（）A．若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是B．若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是C．若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是D．若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是【答案】BC【分析】求出总事件数以及摸出的球均为红球的事件数，由概率公式求解即可判断选项，求出总事件数和摸出的球为2个红球，1个白球的事件数，由概率公式求解即可判断选项，分两种情况：，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，分别求出其概率相加即可判断选项，．【详解】解：对于，总事件数是，摸出的球均为红球的事件数为，所以摸出的球均为红球的概率是，故选项错误；对于，总事件数是，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是，故选项正确；对于，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为；②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项正确；对于，①若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为，②若第一次摸出白球，第二次摸出红球，则概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，故选项错误．故选：BC．11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．当时，函数在上的最大值为B．当时，函数的图像关于直线对称C．是函数的一个周期D．不存在，使得函数是奇函数【答案】ABD【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质的应用判断ABCD的结论．【详解】解：函数，对于A：当时，，由于,，当时，函数的最大值为，故A正确；对于B：当时，，由，故函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C:，故C错误；对于D：要使函数为奇函数，则，即，整理得：，即，关系式不恒成立，故不存在，使得函数是奇函数，故D正确．故选：ABD．12．已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，P为抛物线C上一动点，直线l交C于A，B两点，点不在抛物线C上，则（）A．若A，B，F，Q四点共线，则B．若的最小值为2，则C．若直线l过焦点F，则直线，的斜率，满足D．若过点A，B所作的抛物线的两条切线互相垂直，且A，B两点的纵坐标之和的最小值为4，则的面积为4【答案】CD【分析】若直线l过点F、Q且与y轴垂直，可得，当直线l过点F、Q但不与y轴垂直时，得不出，判断出选项A；分点Q在抛物线的内部及外部两种情况讨论，利用三角形两边之和大于第三边求得最小值，判断出选项B；直线l方程，和抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可判断出选项C；由求导得，利用斜率公式结合二次函数的最值求得面积的最值，判断出选项D.【详解】A.若直线l过点F、Q且与y轴垂直，可得，当直线l过点F、Q但不与y轴垂直时，得不出，故A错；B.当点Q在抛物线的内部时，由抛物线的定义得（N为抛物线准线上的点）；当点Q在抛物线的外部时，连接，.得.故B错C.由条件知直线l的斜率存在，设其方程为与联立消去y得，设，，则，，，故C正确；D.设，，由得，，，，所以当时，取得最小值，从而求得，，，.故D正确.故选：CD.三、填空题13．已知函数在点处的切线方程为，则a的值为______.【答案】1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由（1）求解值．【详解】解：由，得，函数在点，（1）处的切线方程为，（1），即．故答案为：1．14．将这2021个整数中能被2整除余1且被3整除余2的数按从小到大的顺序构成一个数列，则该数列的项数为______.【答案】337【分析】根据题意，设要求数列为，写出的前几项，归纳分析可得是首项为5，公差为6的等差数列，由此分析可得答案．【详解】解：根据题意，设要求数列为，被2整除余1的数为1、3、5、7、，被3整除余2的数为2、5、，则能被2整除余1且被3整除余2的数为5、11、17、，是首项为5，公差为6的等差数列，则，在这2021个整数中，的最大项为2021，即，则该数列有337项，故答案为：337．15．正方体的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若，则动点P的轨迹长度为______.【答案】【分析】首先利用正方体的结构特征以及，确定点的轨迹，进而求出其轨迹长度.【详解】动点P的轨迹是以A为球心，半径为的球与平面，平面，平面的交线，这三条弧长之和为.故答案为：四、双空题16．已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点．若的内切圆的周长为π，则内切圆的圆心坐标为______，双曲线C的离心率为______.【答案】【分析】根据题意求出内切圆半径与渐近线，由位置关系即可求出圆心半径与离心率.【详解】由题意知：抛物线的准线方程为.由的内切圆的周长为π，即的内切圆的半径.由渐近线关于轴对称，则圆心必在轴上，设为.由圆心到的距离为.即.即圆心坐标为.由渐近线的为.则.化简得：.所以离心率.故答案为：；五、解答题17．在①，②，③.三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.（1）求角C;（2）求周长的取值范围．【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）.【分析】（1）选①，，结合正弦定理及同角基本关系可求，进而可求；选②，，结合二倍角公式进行化简可求，进而可求；选③，，结合三角形面积公式及向量数量积定义进行化简求，进而可求；（2）由余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．【详解】解：（1）选①，，由正弦定理得，，因为，所以，即，由为三角形内角得，，选②，，，整理得，，由为三角形内角得，，选③，，由三角形面积公式得，，故，由为三角形内角得，，（2）因为，由余弦定理得，，故，所以，当且仅当时取等号，解得，，因为，故．周长的取值范围，．18．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和为，当对任意都成立时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，当时，，解得，当时，，利用等比数列的通项公式即可得出．（2），利用错位相减法即可得出．【详解】解：（1），当时，，解得，当时，，，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，．（2），数列的前项和为，，相减可得：，化为：．，当对任意都成立时，，实数的取值范围是,．19．为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”.为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生36合计100（2）若用频率估计概率，在随机抽取的100名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取1名学生，求这2人中恰有1人不感兴趣的概率；（3）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生．现从不感兴趣的男学生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.0763.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）没有90%的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关；（2）；（3）分布列见解析，.【分析】（1）直接由题意得列联表，求得，对比临界值表得结论；（2）直接由互斥事件的概率公式求解；（3）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，求其概率，得分布列，再由期望公式求期望．【详解】（1）列联表补充如下：感兴趣不感兴趣合计男441256女36844合计8020100计算所以没有90%的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关.（2）设2人中恰有1人不感兴趣这一事件为A，则（3）根据题意，X的值可能为0，1，2，3.则，，故X的分布列如下：X0123P故X的数学期望：.20．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，F是的中点，二面角的大小为120°，设平面与平面的交线为l.(1)在线段上是否存在点E，使平面?若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；(2)若点Q在l上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】(1)在线段上存在点E满足题意，且E为中点；(2).【分析】(1)当E为中点时满足题意，根据线面平行的判定定理和性质定理证明；然后再证平面，从而得到平面.(2)建立空间直角坐标系，根据点Q在l上，设出点的坐标，然后用向量法计算直线与平面所成角的正弦值，列方程求解.【详解】(1)在线段上存在点E满足题意，且E为中点，连接，，，底面为矩形，，又E，F分别是，中点，，又侧面为等腰直角三角形，，，平面.因为，面，面，所以面，又因为面，面面，所以，又因为平面，所以平面，所以在线段上存在点E满足平面，且E为中点，(2)以E为原点，方向为x轴，EF方向为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，为二面角的一个平面角，所以，因为侧面为等腰直角三角形，，所以，，，,设，，，设平面的法向量为，则由，得，取，设直线与平面所成角为，则，得，所以，又因为，所以.21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦点为，且过点.O为坐标原点，与的面积的比值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线，的斜率分别为，，若k为，，的等比中项，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由与的面积的比值为，得到，再将代入椭圆C的方程得到，结合，求得的值，即可求解；（2）联立方程组，得到，，根据，求得，再结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，因为与的面积的比值为，即，解得，即，将代入椭圆C的方程，可得，又由，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，，且，联立方程组，整理得，则，可得又由，，因为，，所以，所以，因为的斜率，的斜率，则把，代入上式并化简得，因为，所以，又因为，所以，当，时，，所以直线l的方程为，此时由，可得因为，所以，且，可得，，所以，点到直线的距离所以因为，所以，，所以面积的取值范围为.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单