2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第7讲 代数方程的复习解析版

第7讲代数方程的复习

本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及

其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大

体完整.

本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.

有理方程

二元•次方

.程组.

代

数二元二次方

方程组

程

J无理方程］

列方程解应用题

一、选择题

例1.下列方程中，是二项方程的是（）

A.V+3x=0B.X4+2X2-3=0C.f=1D.x，+l）+8=0

【难度】★

【答案】C

【解析】如果一元"次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么

这样的方程就叫做二项方程.A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是

零.

【总结】考查二项方程的概念.

例2.（2019•上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（

「X-1.x+21cnX-1x+21

C.----1--------=0D.----1---------=0n

32xmnnm

【答案】c

【分析】A、B选项分母上都没有未知数，所以不是分式方程；D选项是分式方程，但不是

关于x的分式方程，只有.C正确.

【详解】根据分式方程的定义得：等-1=0是分式方程，

故选C.

【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键.

例3.（2019・上海八年级单元测试）如果xa0,yA0,且3x-2y=J亚则（的值可能是

（）

A.B.1C.；D.以上都无可能

44

【答案】B

【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可

得到y与x的关系，从而解决问题.

【详解】将方程3x-2y=后两边同时平方，并整理得，

9x2—13xy+4y2=0（其中3x-2y>0）

即（9x-4y）（x-y）=0,解得，y-\x,或丫=乂，

4

当y=时，3x-2y=-|x,Vx>0,:.3x-2y<0,不符合要求，

当y二x时，3x-2y=x>0,符合要求.，?=1,故选B.

【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程

转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y>0.

例4.(2019•上海八年级单元测试)下列判断错误的是()

A.方程+5=>—1没有负数根B.方程Vx+2=x'x+2的解的个数为2

C.方程VFi耳=3—x没有正数根D.方程=0的解为X1=2,打=3

【答案】D

【分析】解各个方程即可得到结论.

【详解】A.V%+5=x-1>Ax+5=(x—I)2

解得，X1=4,X2=-1经检验，x=-l,是增根，...原方程的解为：x=4.

故选项A判断正确.

B.方程田”=4/^短两边同时平方得，x+2=x2(x+2),

x+2-x2(x+2)=0/.(x+2)(1—x2)=0

解得，%i=-2.x2=1.x3=—1经检验，x=T是增根.

.•.Xi=-2,x2=1是原方程的解，故B判断正确；

C.方程STT百=3—%两边同时平方得，x+9=(3—x)2

解得，x=0,或x=7,经检验，x=7是增根，...原方程的解为：x=0,

故选项C判断正确：

rx-2=0

D.根据题意得，［x+3=0,解得，x=-3.故选项D判断错误，

x2-4>0

故选D.

【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的

方法是解题的关键.

x=1x+y-a

例5.（2019•上海八年级单元测试）如果《是方程组《',的一组解，那么这

y=4xy=b

个方程组的另一组解是（）

*

x=二4x=-1x=-4x=4

A.,B.《C.D.《

=1y=-4J=T

【答案】A

x=1x+y=aCl二=54,再解方程组|x+y=5

【分析】将・4代入方程芈求得,.,即可得解

3二xy=bbxy=4

x=1x+y=a1+4=〃a=5

【详解】将〈代入方程组，中得:<解得：

b=4'

y=4xy=blx4=h

x+y=5

则方程组变形为:由x+y=5得：x=5-y,

xy=4

将x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0,解得y=4或y=l,

x=4

将y=l代入xy=4中可得：x=4,所以方程的另一组解为：\

故选A.

【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解

题的关键.

例6.下列方程中，不是无理方程的是（）

A.Vx（Vx+2）=3B.（应-1»+:=3

0

C.（岳+1）（岳_|）=3D.\fx—=3

【难度】★

【答案】B

【解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，8选项的根号下是常数，容易错选.

【总结】考查无理方程的概念.

2

例7.已知方程：①-+—=3x；©-^-+x=2；③二一5=0；④(-+-)(x+6)=-l.

52x+2x2x8

这四个方程中，分式方程的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【难度】★

【答案】C

【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程.

①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程

【总结】考查分式方程的概念.

例8.用换元法解分式方程—―-竺'+2=0时，设丫=二匚，原方程可变形为()

x2+\x-x2+1

A.y2+2y-3=0B.y2-3y+2=0C.3y2-y+2=0D./-2y+3=0

【难度】★

【答案】A

3r2+33(x2+1)33

【解析】=3——!=士，，原方程变形为y-士+2=0即V+2y—3=0

xxyy

【总结】考查换元后方程的变形问题.

例9.如果关于X的方程("Ll)x=l无解，那么加满足().

A.m>\B.m=\C./n#1D.任意实数.

【难度】★

【答案】B

【解析】当加一1=0时，(m—l)x=031,帆=1

【总结】考查方程无解的条件.

例10.下列方程中，没有实数解的是（）

r24_____

A.——=----B.\/x—2+x=OC.x4—x2—2=0D.x2+y2=1

x+2x+2

【难度】★

【答案】B

【解析】〃中无一220即x之2,\lx-2>0,x>2,.\>/x-2+x>2,，无解

【总结】考查无理方程的解的情况.

例11.方程组[广二的解的个数是（）

[x2-y2+2=0

A.1B.2C.3D.4

【难度】★

【答案】B

【解析】由②式知/=丁-2代入①式得^+>-3=0,△=1+12=13>0，有两个解.

【总结】考查方程的解法.

例12.方程J3x-5=x-l的根是（）.

A.x,=2>x2=3B.X]=-2,毛=-3C.x=3D.x=-3

【难度】★★

【答案】A

【解析】两边同时平方得：3x-5=d—2x+l,即f-5x+6=0,

即：（x-2）（x-3）=0,解得：%=2,々=3,经检验，与=2,超=3均是原方程的解.

【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根.

例13.等式J16—3()

A.x<4B.x>4C.xNYD.-4<x<4

【难度】★★

【答案】D

【解析】由16—丁20,得Wx44,由4+xNO得xW,由4-xNO得x44,，一44x44.

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用.

例14.若解分式方程二-42=四产生增根，则勿的值（）

x-1X~+XX

A.-1或-2B.T或2C.1或2D.1或-2

【难度】★★

【答案】A

【解析】最简公分母为：伞+1）（1）;去分母：2匹+1）Xl）=（x+iy（l）：

把x=0代入方程，得：加+1=-1,帆=-2；把x=0代入方程，得：方程无解；

把x=0代入方程，得：2（机+1）=0,所以〃?=-1.

综上，加=—2或加=—1.

【总结】考查分式方程产生增根的条件.

例15•分式方程d+[—2x—2=4中，若设y=x+』，则原方程可化为（）

XXX

A.y2_2y_]0=0B.y2_2y_8=0

C.y2-2y-6=0D.y2_2y_4=0

【难度】★★

【答案】C

【解析】原方程可变形为：（x+J-2卜+3-6=0....原方程可化为：y2-2y-6-0.

【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用.

例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为/小区安装热水器66台，两队安装的天数相

同，

乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（）

.6660„6660„6660n6660

xx-2x—2xxx+2x+2x

【难度】★★

【答案】A

【解析】乙比甲每天多2台，...甲每天安装（尸2）台

甲安装的天数为旦，乙安装的天数为生，由题意知可列方程：—.

x-2xx-2x

【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系.

例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完

成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（）

85,58,「85,85,

As・-------1—=1BD.---------1—=1C.—i--------=1Dn.---------1—=1

x+3xx+3xxx—3x—3x

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意知甲单独做需要x-3天，甲、乙的工作效率分别为一二」：

x-3x

由甲乙先合作5天，然后甲单独做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天,

Q5

可列方程-7+己=1.

x-3x

【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“1”.

例18.若(x+y-5)2+(盯-6)2=0,则x-y的值为()

A.6B.-1C.1D.1或-1

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意知即P,：5,

［孙一6=0［xy=6

所以（x-y）2=（x+y）2-4孙=25-24=1,二x—y的值为1或-1.

【总结】本题一方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用.

例19.已知。为非负整数，关于x的方程3-。+4=0至少有一个整数根，则a可能

取值的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【难度】★★★

【答案】B

【解析】由题意，显然满足条件的x,必然使得为整数，否则一不可能为

VPx+l

整数，

设Jl-x=y（y为非负数），则原式化为：2（1-y2）-ay-a+4=0,

即a=2（f）+4=2（］_y）+士,因为y非负，所以要使得a为整数，则尸0、1、

1+y1+y

3；

此时炉6、2、-3（舍），当a=0时，方程也有一个整数根，故a=6或2或0,故选B.

【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解.

二、填空题

17TY+1

例1.（2018•上海市行知实验中学八年级期中）如果关于x的方程———1=0有增根，

x-1

则tn=.

【答案】-1

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根，最

简公分母x-l=O,所以增根是x=l,把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的

值.

【详解】方程两边都乘x-1得mx+l-x+l=O,•.•方程有增根，

最简公分母x-l=O,即增根是x=l,

把x=l代入整式方程，得m=-l.故答案为：T.

【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式

方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

例2.（2019•上海八年级单元测试）若方程J"+2=%有实数根,则k的取值范围为

【答案】k》及

【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x?2。求解即可.

【详解】：&+2=公.•./+2=々2,即％2=r_2，

..”220,二公-220，夜或kW-立

:方程JY+2=）有实数根,...k〉。，故答案为：k》五.

【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来

解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方

法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等.

x=-1x=l

例3.（2019・上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为《八和《」则

y=01y=4

a+b=.

【答案】-4

【分析】将两个解的值代入ax+by=8中，然后解出方程组即可求出a与b的值.

[x=\-a=8

【详解】叫尸。和《代入ax+by=8,

[y=4a+4Z>=:8

62=—8

解得：〈,,,，a+b=-4,故答案为：-4.

Z>=4

【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，

本题属于基础题型.

ink

例4.（2019・上海八年级单元测试）已知x=3是方程——+—=1一个根，求k的值

x+2x

【答案】-3

【分析】根据方程的解的定义，把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可

得k的值.

ink10k

【详解】把x=3代入方程」2+勺=1,得义+8=1,

x+2x53

解得k=-3.故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义，属于基础题型.

例5.（2019•上海八年级单元测试）若关于x的分式方程匚=一匕无解，则

x-3尤一3

【答案】2

【分析】因为关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解

就是方程的增根，即x=3,据此即可求解.

【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=l+m,

•••方程无解，，说明有增根x=3,所以l+m=3,解得m=2,故答案为：2.

【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键.

例6.方程-学3=3的解是_____.

x+2x2+3

【难度】★★

【答案】玉=5,%=-1.

+34

【解析】令尸上二，则原方程变形为y—2=3,即—4=0,解得：^=-1,^=4,

x+2y

y-2Ia丫2.Q

当上士=一1时，X2+X+5=0,无解；当^~^=4时，(x-5)(x+l)=0,解得:

x+2x+2

%=5,毛=-1,

经检验芭=5,%=T是原方程的解.

【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验.

例7.(1)方程y/x-l=X-7的根是;

(2)方程Jx+2•程2x-l-6=o的根是.

【难度】★★

【答案】(1)x=10；(2)x=l.

【解析】(1)首先考虑x-120,即xNl,两边同时平方得：X-1=X2-14X+49,

即(x-5)(x-10)=0,解得：々=5,x2=10,经检验内=5是原方程的增根，

所以原方程的根为：x=10；

(2)由x+220且2x-l±0,^x>-;对原方程两边同时平方得：2X2+3X-5=0

2

即(x-l)(2x+5)=0,...芭=1,&=-|,经检验与=-|是原方程的增根，

所以原方程的解为：x=i.

【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验.

例8.方程2x4+/n，—3=o有个实数根.

【难度】★★

【答案】2个.

【解析】首先用换元法，令f=降次得2/+血-3=0,根据一元二次方程根的判别式,

可知：A>0,

则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系(韦达定理)可知方程两根之积为负，

则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值.

【总结】考查高次方程的解的个数.

例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手

有

___________名.

【难度】★★

【答案】7

【解析】假设参赛选手有〃人，那么每个人都要和除了自己以外的(〃-1)个人去打比赛，则

〃个人就要打〃("-1)场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2,即可

得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：=解得：炉7,即参赛选手有7

名.

【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展.

例10.(1)当卬时，方程G石=2-加有实数解；

(2)方程Cx-1=1+加无解,勿的值为.

【难度】★★

【答案】(1)m<2；(2),n<-\.

【解析】(1)由2—得桃M2：(2)由l+/n<0,得/we—1.

【总结】考查二次根式的非负性的运用.

例11.方程上+二_=其产生增根，则公

]-xX+1/―1

【难度】★★

【答案】A=-3或々=—1.

3

【解析】两边同时乘以f-l，可得：-2x-8=63即x=T-3k；

当x=l或-1时，方程有增根，所以当-4-34=1时，k=~；

当一4一3R=—1时，k=-\,

综上所述1<=-2或々=-1.

3

【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算.

例12.当a=时，关于*的方程_2_=，二无解.

x+3x-a

【难度】★★

【答案】a=-3或0.

【解析】当归-3时，方程可化为二3-=二3，无解；当a=0时，方程可化为33=0,无

x+3x+3x+3

解.

【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论.

例13.若(x+3=9,则｛x--)2的值为.

XX

【难度】★★

【答案】5

【总结】考查完全平方公式的应用.

例14.已知关于x的分式方程史2=1的解是非正数，则”的取值范围是.

x+1

【难度】★★

【答案】且力-2.

【解析】由题意，先去分母，得：a+2=x+l,解得：x=a+1.

首先，因为方程解是非正数，那么：x=a+l<0,解得：a<-],

其次，必须满足原分式方程分母不为零：即X+1H0,XW-1,

即a+lw—1,解得：a*—2,因此，1且aH—2.

【总结】考查方程的解的应用及方程有意义的隐藏条件.

例15.一本书有a页，若每天看6页，则需要___天看完；若每天多看3页，则需要

天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看_____页.

【难度】★★

【答案】£

bZ?+3a-3b

【解析】每天看％页，需要4天看完；每天多看3页，需要，—天看完；

bb+3

若要比原来提前3天看完，即现在需要4-3天看完，现在每天看/一=*—,

b3_3〃-3b

b~

...现在每天比原来多看上一-一页

a-3ba-3b

【总结】考查分式方程的应用.

例16.两个连续的正偶数的和的平方是196,这两个数是.

【难度】★★

【答案】6、8.

【解析】设这两个数分别为X、广2,则(x+x+2)2=196,二2x+2=14,解得：x=6,

•••这两个数分别是6、8.

【总结】考查方程在数字问题中的简单应用.

例17.方程4/+3》-3丁+5^-3=0的解中，x、y互为相反数的解是

【难度】★★

【答案】x=-l,y=l或x=3,y=—3.

【解析】由题意，x、y互为相反数，即丁=-彳，代入方程得：4X2+3X-3(-X)2+5(-X)-3=0

化筒得：4X2+3X-3X2-5X-3=0,即：x2-2x-3=0,(x+l)(x-3)=0,

解得：x=-l或x=3,所以y=l或y=-3

所以互为相反数的两个解是x=-l,y=l或x=3,y=-3.

【总结】考查方程的解的应用.

例18.若方程组卜一+2步=6有两组相等的实数解，则女的值为______.

fcr+y=3

【难度】★★

【答案】4=土1.

【解析】由y=3-d，代入化简可得：x?+2(3-履)2=6,即(2公+i)x?-12"+12=0,

因为方程组有两组相等的实数解，所以△=(T2Z>-4xl2x(2公+1)=48公-48=0,

解得：无=±1.

【总结】考查方程组有两组相等的实数解的问题，最终转化为一元二次方程的解进行求值.

例19.若卜=：是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是______.

[y=b[xy=n

【难度】★★

【答案】彳.

【解析】将方程组的解[尤=:代入原方程组，可得|"+,"=帆，

[y=b[ab=n

可以发现，只要满足这样的关系，就可以是方程组的解，那么我们考虑把X、y互换位置

\x=b

即方程组的另一个解可以是

(7=0

【总结】考查方程的解的问题，以后碰到类似的情况仍然可以使用这个办法，因为＞、y是

不分先后的.

例20.方程组忆3"：；由①+②得(…a国则原方程组可化为｛；；：*

与两个方程组.

【难度】★★

尤+2y=-6

【答案】

xy+4y2=8

x+2y=-6

【解析】由题意,我们将(x+2y)2=36开方,得x+2y=±6,故答案为

xy+4y2=8

【总结】考查二元二次方程组的因式分解问题.

例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线

飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是

多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程

【难度】★★★

450450

【答案】+0.5.

165-x165+x

【解析】设风速是X,根据来回所用的时间差，可列方程：/_=*_+0.5

165—x165+x

【总结】考查分式方程，先找准等量关系是关键，再依据题意列方程即可.

例22.若5+3,+3。）2=0,贝汁。=,%=.

【难度】★★★

【答案】。=9,h=—3.

【解析】由题意知：“+»-3=。、〃+3，=0,J。+»-3=0、。+3b=0,

b+\

:•b=T,a=9.

【总结】考查绝对值与平方的非负性的运用.

例23.当加<-2时，方程组卜2一,+1=°的实数解的个数是个.

y-mx

【难度】★★★

【答案】2.

【解析】由题意，把y=代入x?-y+1=0,可得：x2-/nr+1=0,

根的判别式△=加-4，因为可知△=加2-4>0，

则x有两个不相等的实数解，所以方程组也有两个实数解.

【总结】考查含参数的方程组的应用.

三、解答题

2,2

1.（2019・上海八年级单元测试）k为何值时，方程组〈x+.>=16只有唯一解?

x-y=k

【答案】k=±4&.

【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=（）求解即可.

P+y2=]6⑴

【详解】

x-y-k(2)

由(2)得,y=x-k(3)

将（3）代入（1）得，2/—2日+公一16=0,

要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=（）,即

（一2&）2-4*2*（/-16）=0,

解得，k=±4、历.

llx2+y2=16

所以当k=±4五时，方程组《只有唯一解.

[x-y=k

【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式

为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键.

2.（2019・上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，

求它的各边长.

【答案】12cm、16cm、20cm.

a+b+\Ja2+b2=48

【分析】设两宜角边为a、b,则斜边为J7左，根据已知得：\1求

—ab=96

12

解即可.

【详解】设该直角三角形的两条直角边为a、b,则斜边长为病I”，根据题意得，

a+b+y/a2+b2=48

,1,

—ab=96

12

a=l2[a=\6

解得《,/或＜

6=16b=n

。二12。=16--------------

经检验，\和V都是方程的解，所以斜边长为J12?+伺=20cm.

b=16。二1，

答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.

【点睛】此题运用三角形面积表示出ga》=96,然后由勾股定理导出是关键.

2xATI+]X+]

3.(2019•上海八年级单元测试)若解分式方程「一一7―n=：—产生增根，则m

x+1x(x+l)X

的值是多少？

【答案】m=l或m=-2.

【分析】方程两边都乘以最简公分母x(x+1)化分式方程为整式方程，然后把增根代入进

行计算即可求出m的值.

【详解】方程两边都乘以x(x+1)得，2xJm-l=(x+1))

若分式方程产生增根，则x(x+1)=0,解得x=0或x=T,

把X=0代入整式方程，得0-(根+1)=1.解得m=-2；

把X=-1代入整式方程，得2x(-1)2一(加+1)=(-1+以.解得加=1.

/•m=l或m=-2.

【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于。的

未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可.

4.(2019•上海八年级单元测试)解下列方程

,、1以2,,c、12524

(1)-----1—----1-------1(2)---------1---------=-3-----

x+2x—42—xx~—2x—2x—2x+2x—2x+l

【答案】(1)Xi=l;(2)Xi=-1,X2=3,X3=—2,x」=4.

【分析】(1)方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程

的解；

(2)运用换元法求解即可.

【详解】(1)方程两边同乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2),即x?-

3x+2=0,

Xi=l,X2=2.

检验：x=l时,(x+2)(x-2)WO,知x=l是原方程的解；x=2时,(x+2)(x-2)=0,知x=2是

原方程的增根.故原方程的根是x=L

(2)设x?—2x=y,

125_24

则原方程变形为

>'-2y+2y+1

(y+2)(y+1)+25(y-2)(y+1)=24(y2-4)

整理后，得y‘一1ly+24=0.

解得yi=3,y2=8.

①当y=3时，X2-2X=3,

解得Xi——1,x?=3,

②当y=8时，X2-2X=8.

解得X3=—2,x4=4.

经检验：Xi=-1,X2=3,X3=—2,x,i=4都是原方程的解.

【点睛】

此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.

3(2<z-l)>3«-8

5.(2019•上海八年级单元测试)已知a是非零整数，且满足卜11—3〃，解关

------>a+2

I2

22

于x的方程：x-3x+3\lx-3x=1Oa

【答案】XE—l，X2=4

【分析】首先解不等式组求得a的范围，然后根据a是非零整数，即可求得a的值，然后

利用平方的方法即可求得.

’3(2。-1)>3。-8①

【详解】解：111一3a〉a+2②，解①得：a>，，解②得：a<1,

、2°-

则不等式组的解集是：-572是非零整数，...a=：l或-1.

35

当a=T时，方程无解.

当a=l时，则方程是：x2—3x+3\Jx2-3x=10)

设5/7一3%可,则原方程变形为:y2+3y=10,

2

解得：X=-5(舍去)，y2=2,x-3x=4,解得：x=-l和4,

经检验x=-l和4都是方程的解.故方程的解是：x,=-l，X2=4.

【点睛】本题考查了无理方程.在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本

题用了换元法.

6.解下列关于x的方程：

(1)X4-7X2+10=0；(2)x2+x-2+k(x2+2x)=0.

【难度】★★

【答案】(1)X,=>/2,x2=—V2)x3=y/5,xA=—x/5；(2)Xj=-2,x2=---.

【解析】⑴原方程可分解为：(幺-2)(1一5)=0,.,.分=延=5,

解得原方程的解为：x,=>72,x2=-V2,x3=A/5,x4=—>/5；

(2)原方程可化为(x+2)(x-l)+依(x+2)=0,即(x+2)[(k+l)x-l]=0,

解得原方程的解为：x-2,

1='Z+l

【总结】考查简单的整式方程的求解，注意含字母参数时要讨论.

7.解下列关于x的方程：

(1)3or+b=4；(2)b2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.

【难度】★★

【解析】(1)移项得：36=4一6：分类讨论：

当。=0,6=4时，方程左边=0,右边=0,有无数个解：

当a=O,6/4时，方程左边=0,右边,0,无解：

当awO时，方程有唯一解：x=—；

3a

(2)观察方程每一项都含有从，故而考虑消去从，而题中没有说明匕不等于零，那么

要分类讨论：当6=0时，方程左边=右边=0,有无数个解：

当bwO时，方程左边右边可同时约掉从，方程化为：Y+b2d=1+从，即

(1+b2)x2=i+b2,得x?=1,所以%=1,Xj=7.

【总结】考查含参数的整式方程的解法，注意要分类讨论.

8.解下列方程：

(1)J2x—1+j3-2x=2:(2)y/2x+l-y/x+2=2y/3.

【难度】★★

【答案】(1)x=l；(2)73.

【解析】(1)两边平方得：2+2j(2x-1)(3-2x)=4,J(2x-1)(3—2x)=1,

两边再平方得：-4X2+8X-4=0,解得：x=l，经检验x=l是原方程的解;

(2)在R=471+26，两边平方，整理得x-13=4,3(x+2),

两边再平方，整理得：X2-74X+73=0-解得：药=1，刍=73,

经检验，产1是原方程的增根，所以是原方程的解为x=73.

【总结】考查无理方程的解法，通常整理后两边平方即可，注意解完后要检验.

9.解下列方程组：

⑴(x2+2xy-3y2=2x1-y2=3

x+3y=2x2-2xy+y2=\

\x2-7xy+ny2=0

(J)

x2-4xy+4y2=4

【难度】★★

5

x=—

4玉=2Jx,=-2Jx,=6JX=-6\X=4\X=-4

【答案】(1)y=ll%=T；b=2，U=2-2，U3=l，U=4-l

【解析】(1)由f+2盯一3y2=2可得(x+3y)(x-y)=2,代入得，2(x-y)=2,

5