2024届高考物理三轮冲刺精微专题－第10讲 数学方法在物理中的应用

第页（共4页）第10讲数学方法在物理中的应用掌握利用数学知识解决物理问题的常用方法学会将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论。物理问题的解答常常离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考物理考查的能力之一。借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，进而快速简捷地解决问题。应用数学处理物理问题的基本思路是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论。方法1：应用二次函数解决物理极值问题二次函数：y＝ax2＋bx＋c(1)当x＝－eq\f(b,2a)时，有极值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。(2)利用一元二次方程判别式求极值用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值。【例1】(2022·山东省聊城市高三下一模)歼­20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为k，飞机的重力为G，能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是()A．eq\f(G,1＋k2) B．eq\f(G,k)C．eq\f(G,\r(1＋k2)) D．G答案C解析飞机受到重力G、发动机推力F1、升力F2和空气阻力f，重力的方向竖直向下，升力F2的方向竖直向上，空气阻力f的方向与F2垂直，如图所示，歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航，则有水平方向Fx＝f，竖直方向F2＋Fy＝G，又F2＝kf，解得Fy＝G－kf，则Feq\o\al(2,1)＝Feq\o\al(2,x)＋Feq\o\al(2,y)＝(k2＋1)f2－2kGf＋G2，Feq\o\al(2,1)与f的函数图像为开口向上的抛物线，当f＝eq\f(kG,k2＋1)时，Feq\o\al(2,1)取最小值，解得最小推力是F1min＝eq\f(G,\r(1＋k2))，故选C。方法2：均值不等式由均值不等式a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)可知：(1)两个正数的积为定值时，当两数相等，和最小；(2)两个正数的和为定值时，当两数相等，积最大。【例2】在一个半径为R的圆弧的圆心处，质量为m的小球，以大小不同的初动能水平抛出，如图所示，不计空气阻力。当小球落在圆弧上的动能最小时，对应的初动能为(g表示当地的重力加速度)()A．eq\f(\r(3),6)mgR B．eq\f(\r(3),3)mgRC．eq\f(1,6)mgR D．eq\f(\r(3),2)mgR答案A解析设小球平抛运动的竖直位移为h，水平位移为x，根据勾股定理有R2＝x2＋h2，根据机械能守恒定律可得小球平抛运动的末动能Ek＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，根据平抛运动的规律可知x＝v0t，h＝eq\f(1,2)gt2，联立各式可得Ek＝mgh＋eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,t)))eq\s\up12(2)＝mgh＋eq\f(1,2)m×(R2－h2)×eq\f(g,2h)＝eq\f(3,4)mgh＋eq\f(mgR2,4h)，根据数学知识，当且仅当eq\f(3,4)mgh＝eq\f(mgR2,4h)时，小球落在圆弧上的动能最小，解得h＝eq\f(\r(3)R,3)，则对应的初动能为Ek0＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,t)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)m×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)R,3)))\s\up12(2)))×eq\f(\r(3)g,2R)＝eq\f(\r(3),6)mgR，B、C、D错误，A正确。方法3：应用三角函数解决物理极值问题1．三角函数求极值(1)y＝sinα，在0≤α≤π范围，当α＝eq\f(π,2)时，ymax＝1；(2)y＝cosα，在0≤α≤π范围，当α＝0时，ymax＝1。2．辅助角求极值三角函数：y＝acosθ＋bsinθ(ab≠0)y＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中tanα＝eq\f(a,b)。当θ＋α＝2kπ＋eq\f(π,2)(k为整数)时，有最大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。【例3】(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是()A．轻绳的合拉力大小为eq\f(\a\vs4\al(μmg),cosθ)B．轻绳的合拉力大小为eq\f(\a\vs4\al(μmg),cosθ＋μsinθ)C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小答案B解析设两根轻绳的合拉力为F，对石墩受力分析如图1，根据平衡条件有Fcosθ＝f，Fsinθ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝eq\f(\a\vs4\al(μmg),cosθ＋μsinθ)，A错误，B正确；上式变形得F＝eq\f(\a\vs4\al(μmg),\r(1＋μ2)sin（θ＋α）)，其中tanα＝eq\f(1,μ)，根据三角函数特点，由于不知道开始时(θ＋α)的值，因此减小θ，轻绳的合拉力F不一定减小，C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcosθ＝eq\f(\a\vs4\al(μmgcosθ),cosθ＋μsinθ)＝eq\f(\a\vs4\al(μmg),1＋μtanθ)，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。(本题的C、D选项还可以这样判断：设F′为地面对石墩的支持力FN与摩擦力f的合力，β是摩擦力与F′间的夹角，则tanβ＝eq\f(FN,f)＝eq\f(1,μ)，即不论FN、f怎么变化，合力F′的方向总保持不变，因此可将四力平衡转化为如图2所示的三力平衡问题，由矢量三角形可知，随着θ减小，绳子的合拉力F可能先减小后增大，也可能一直增大，关键是看初始时θ的大小；摩擦力与支持力的合力F′随着θ的减小而增大，故地面对石墩的摩擦力f随着θ的减小一直增大，即f的最小值不与轻绳合拉力F的最小值对应，故C、D错误。)方法4：正（余）弦定理根据题给信息以及物理知识和规律，利用受力分析图、运动情境图或题图所给边角关系，应用三角形、矩形、圆等几何知识分析求解对应的物理关系或物理量。1．正弦定理在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。2．余弦定理在如图所示的三角形中，有如下三个表达式：a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝a2＋c2－2ac·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC【例4】(2022·河北衡水市模拟)如图所示为一个半径r＝48cm的薄壁圆柱形鱼缸的横截面，O为圆心．鱼缸内装满水，水中有一条小鱼(可视为质点)．观察水中图示位置的小鱼时，人眼睛所接收的光线恰与小鱼和圆心连线的延长线垂直，图中β＝53°.已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.若认为玻璃和水的折射率均为n＝eq\f(4,3).求小鱼到圆心O的距离．解析如图所示，由小鱼S射向P点的光线入射角为α，折射光线进入眼睛，折射角β＝53°根据折射定律有n＝eq\f(sinβ,sinα)，得sinα＝eq\f(3,5)根据几何关系得∠OSP＝180°－(90°＋α－β)＝90°＋β－α在三角形SOP中，由正弦定理得eq\f(sinα,OS)＝eq\f(sin∠OSP,r)解得OS＝30cm方法5：微分、积分的思想在物理中的应用求随时间或位移变化的物理量在时间或空间上的累积所代表的物理量时，经常把变化过程分成无穷多个微小不变的小段，然后累积求和，比如求变速直线运动的位移、变力的功、变力的冲量等。【例5】如图所示，实线是实验小组某次研究平抛运动得到的实际轨迹，虚线是相同初始条件下平抛运动的理论轨迹。分析后得知这种差异是空气阻力影响的结果。实验中，小球的质量为m，水平初速度为，初始时小球离地面高度为h。已知小球落地时速度大小为v，方向与水平面成角，小球在运动过程中受到的空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．小球落地时重力的功率为B．小球下落的时间为C．小球下落过程中的水平位移大小为D．小球下落过程中空气阻力所做的功为【评析】本题以实验为背景考察有阻力的平抛运动或者说模型的分析，涉及功率以及做功等核心物理概念的求解需要用到微元法的基本思想。【拓展延申】物体在变力作用下做复杂的变速运动，可以把物体的运动分割成若干小段，在每一小段内，可认为力f不变，这样，在△t1时间内，力f的冲量：同理，时间内，力f的冲量，……所以整个过程力f的冲量为：即变力的冲量大小与物体的位移大小成正比。这个结论的几何解释如图所示（仅仅是示意性地画出，并不真正表示物体就做图示形式的运动）。对于v—t图象，图象与t轴所围的面积表示物体的位移x。由于f=kv，力f随时间t变化的f—t图象与v—t图象相似（纵轴相差k倍）。对f—t图象来说，图象与t轴所围的面积就是力f的冲量I，显然I=kx。此结论在解答“f=kv”问题中有很重要的作用。【答案】BCD【解析】A．小球落地时重力的功率为故A错误；B．小球下落过程在竖直方向根据动量定理解得小球下落的时间为故B正确；C．小球在水平方向根据动量定理解得小球下落过程中的水平位移大小为故C正确；D．小球下落过程根据动能定理解得小球下落过程中空气阻力所做的功为故D正确。方法6：应用数学归纳法及数列求解物理中的多过程问题对于过程多、重复性强且随着物理过程的重复，某些物理量接连发生着在前后过程中有联系的变化的物理问题，求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。等差数列：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d(d为公差)。等比数列：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q为公比)。【例6】一小球从h0＝45m高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度大小就变化为原来的k倍．若k＝eq\f(1,2)，求小球从下落直至停止运动所用的时间．(g取10m/s2，碰撞时间忽略不计)解析由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的时间的通项公式求出，然后再累加求和．小球从h0处落到地面时的速度：v0＝eq\r(2gh0)，运动的时间为：t0＝eq\r(\f(2h0,g))第一次碰地后小球反弹的速度：v1＝kv0＝keq\r(2gh0)小球再次与地面碰撞之前做竖直上抛运动，这一过程球运动的时间：t1＝eq\f(2v1,g)＝2keq\r(\f(2h0,g))则第n次碰地后，小球的运动速度的通项公式为：vn＝kneq\r(2gh0)运动时间：tn＝eq\f(2vn,g)＝2kneq\r(\f(2h0,g))所以，小球从下落到停止运动的总时间为：t＝t0＋t1＋…＋tn＝eq\r(\f(2h0,g))＋2keq\r(\f(2h0,g))＋…＋2kneq\r(\f(2h0,g))＝eq\r(\f(2h0,g))＋2eq\r(\f(2h0,g))(k＋k2＋…＋kn)．上式括号中是一个无穷等比递减数列，由无穷等比递减数列求和公式，并代入数据得t＝9s.方法7：导数的应用导数在物理学中常见具体应用：1、描述运动状态：通过计算导数，可以得出物体运动的速度和加速度。速度是位置函数对时间的导数，而加速度是速度函数对时间的导数，这些量描述了物体运动的瞬时变化率。2、分析电磁场分布：例如，电场强度是电势对位置的导数。3、研究物理量的变化率：导数可以用来计算物理量的变化率，这有助于理解物理系统如何随时间或其他变量变化。例如，通过计算热量、压力或密度等物理量的导数，可以研究它们的瞬时变化。4、分析物理量的单调性：导数的符号可以用来分析物理量的单调性。如果导数大于零，则物理量是增函数；如果导数小于零，则物理量是减函数。这在研究物理系统的稳定性或变化趋势时非常有用。5、求极值：导数还可以用来找到物理量的极值点，即函数图像上凹凸性变化的点。这对于优化物理系统或找到特定条件下的最佳状态非常关键。【例7】如图所示，一个带正电的绝缘圆环竖直放置，圆环半径为R，带电量为，电荷量均匀分布在圆环表面上，将一正试探电荷从圆环中心偏右侧一点（图中未画出）的位置静止释放，试探电荷只在电场力的作用下沿着中心轴线向右侧运动，则下列说法正确的是（）A.试探电荷将向右先加速后减速B.试探电荷的加速度逐渐减小C.当试探电荷距离圆环中心为时，其加速度最大D.将圆环所带电量扩大两倍，则加速度最大的位置右移【答案】C【详解】A．根据圆环电场分布的对称性可知，圆环中心轴线上的电场强度均背离圆环中心，沿着中线轴线向外，则可知试探电荷将始终受到向右的电场力，一直做加速运动，故A错误；BCD．如图将圆环上所带电荷进行无限分割，设每一份的电荷量为，则其在M点的场强其水平分量微元累加并根据对称性可知，M点的合场强为令则其导函数为此时可知当，即试探电荷距离圆环中心为时，场强最大，加速度最大，并且这个位置与电荷量无关，故C正确，BD项错误。故选C。方法8：椭圆的性质的应用当椭圆中心为原点时，焦点位于(-c,0)、(c,0)或(0,c)、(0,-c)，其中c与椭圆的半轴长度a和b有关。椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a。【例8】一椭球形玻璃置于真空中，其中心截面的椭圆长轴和短轴长度分别为10cm和6cm。一束从左焦点射向最高点P的激光，恰好在P点发生全反射。已知光在真空中的速度为c，则该光线在玻璃中传播的速度为（）A． B． C． D．答案：D1．一个质点做初速度为的匀减速直线运动至速度为0，其速度随运动位移关系如图所示．图像上纵坐标为的P点的斜率为k，已知图像上某点斜率等于该点加速度与速度比值。则粒子做匀减速运动的时间为（

）

A． B． C． D．【答案】D【详解】设加速度为，根据数学方法可知得到则粒子做匀减速运动的时间为故选D。2．现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场，匀强