中考数学《图形的旋转》真题汇编含解析

图形的旋转(30题)1(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=55°△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADEDE交AC于F．当α=40°D恰好落在BC∠AFE等于()A.80°B.85°C.90°95°B∠B=∠ADB=∠ADEα=40°即可求解．∠BAC=∠DAE=55°AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故选：B．-2(2023·天津·统考中考真题)△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADEBC的对应点分别是点DEE在BCBD()A.∠CAE=∠BEDAB.AB=AEC.∠ACE=∠ADECE=BD可得AB=ADAC=AEBC=DEB选项和D选项不符合题意，∠ABC=∠ADE∵∠ACE=∠ABC+∠BAC∴∠ACE=∠ADE+∠BACC选项不符合题意，∠ACB=∠AED∵∠ACB=∠CAE+∠CEA∵∠AED=∠CEA+∠BED∴∠CAE=∠BEDA选项符合题意，1故选：A．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC和△ADE是以点A△ADE以AM为射线BDCE的交点．若AB=3AD=1．以下结论：①BD=CEBD⊥CE；3-3③当点E在BA的延长线上时，MC=；212MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个4个D△BAD≌△CAE∠DCM∽∠ECA得出MC33-12=A为圆心，ADCE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值AEMDRt△MBC中MC=BC-MB2=2+1公式即可判断④．：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACEBD=CE设∠ABD=∠ACE=α，∴∠DBC=45°-α,∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°-α+45°+α=90°，∴BD⊥CE当点E在BA∵∠DCM=∠ECA∠DMC=∠EAC=90°，∴∠DCM∽∠ECA2MCACCDEC∴=∵AB=3AD=1．∴CD=AC-AD=3-1CE=AE+AC2=2MC33-12∴=3-3∴MC=2A为圆心，AD为半径画圆，∵∠BMC=90°，∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，∠ADM=∠DAE=∠AEM=90°∴四边形AEMD是矩形，又AE=AD，∴四边形AEMD是正方形，∴MD=AE=1，∵BD=EC=AC-AE2=2，∴MB=BD-MD=2-1，在Rt△MBC中，MC=BC-MB2∴PB取得最小值时，MC=AB+AC-MB2=3+3-2-12=2+1121212∴S=MB×MC=2-12+1=故④正确，故选：D．4(2023·山东聊城·统考中考真题)△ABC∠ACB=90°AB=2C是矩形ECGF与△ABCCE=1CG=3D是CBCD=2．连接BGDF，在矩形ECGF绕点CBGDF对应的长mn度分别为m和n的值为()3A.2B.3C.1013DAC=BC=1BGG在点CB，CGBG=4DG=5DF=26m=26BG达到最短G在点CBCGBG=2DG=1DF=2nmn=2=13．22∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2∴AC=BC=AB⋅sin45°=2×当线段BGG在点CBCG=1，则BG=BC+CG=4DG=DB+BG=5，在Rt△DGF中，DF=DG+GF2=5+12=26，即m=26，当线段BGG在点CBCG4则BG=CG-BC=2DG=BG-DB=1，在Rt△DGF中，DF=DG+GF2=1+12=2，即n=2，mn262故==13，故选：D．BG最长和最短时的位置是解题的关键．5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C得新五边形E的顶点落在直线BCABCDE旋转的度数至少为°．72∠DCF：∵五边形ABCDE是正五边形，5∴∠DCF=360°÷5=72°，∴新五边形E的顶点落在直线BC72°，故答案为：72．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC∠BAC=50°ABOC绕点A∠=100°ABOC旋转的角度是．75°∠BAO=∠OAC=25°∠BAC=∠=50°∠AO=∠=25°∠=75°∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，，∴∠BAO=∠OAC=25°，∵将四边形ABOC绕点A，∴∠BAC=∠=50°∠AO=∠=25°，∴∠=∠-∠=100°-25°=75°，故答案为：75°．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1Rt△ABC中，∠ABC=90°AB=8BC=6D是AB上AD=2D作DE∥BC交AC于E△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为．645ADABAEACAC=AB+BC2=10△ADE∽△ABC=ADAEABAC而得到=△ABD∽△ACE∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°AB=8BC=6，∴AC=AB+BC2=10∵DE∥BC∴∠ADE=∠ABC=90°∠AED=∠ACB∴△ADE∽△ABCADABADAEAEACABAC∴∴==∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∴△ABD∽△ACEBDCDABAC481045∴===．故答案为：．52xkx8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线CC分别是函数y=-(x<0),y=(k>0,x>0)的126的正△ABC的顶点A在yBC在x轴上(B在C的左侧)△ABC绕原点OB在曲线CA恰好在曲线C上k的值为．126(画△AOB即可)A在yBC在x△ABC为等OBOA13边三角形且AO⊥BC=AB分别作x△BFO∽OEA三角形的性质得出S=3kA在yBC在xAO，∵△ABC为等边三角形且AO⊥BC∠BAO=30°，OBOA33∴tan∠BAO=tan30°==，A,B分别作xx轴分别于点E,F，∵AO⊥BO∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，7∴∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO，∴△BFO∽OEA，OBOA132∴S==，S-22∴S==1，∴S=3，∴k=6．k三角形是解题关键．9(2023·辽宁·统考中考真题)AB=8C是线段ABBC绕点B顺时针旋转120°得到线段BDCDAB的上方作RtΔDCE∠DCE=90°,∠E=30°F为DE的中AFAF最小时，ΔBCD的面积为．3CFBFBFCD交于点PBF垂直平分CF∠ABF=60°F在射线BFAF⊥BF时，AF30度角直角三角形的性质即可求解．CFBFBFCD交于点P∵∠DCE=90°F为DE的中点，∴FC=FD，∵∠E=30°，∴∠FDC=60°,∴△FCD是等边三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF∠ABF=60°，8∴点F在射线BF上运动，∴当AF⊥BF时，AF最小，此时∠FAB=90°-∠ABF=30°，1∴BF=AB=4；212∵∠BFC=∠DFC=30°，∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，1∴BC=BF=2，21∵PB=BC=1，2∴由勾股定理得PC=BC-PB2=3，∴CD=2PC=23，1212∴S=CD⋅PB=×23×1=3；故答案为：3．30F的运动路径是关键与难点．10(2023·江西·统考中考真题)▱ABCD中，∠B=60°BC=2ABAB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到APPCPD．当△PCDα的度数为．90°或270°或180°AC∠BAC=90°ACBC的中点EAE∵在▱ABCD中，∠B=60°BC=2AB，12∴BE=CE=BC=AB，∴△ABE是等边三角形，9∴∠BAE=∠AEB=60°AE=BE，∴AE=EC12∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，∴∠BAC=90°∴AC⊥CD，P在AC∠BAP=∠BAC=90°α的度数为90°，当点P在CAα=360°-90°=270°当P在BAα的度数为180°∵PA=PB=CDPB∥CD，∴四边形PACD是平行四边形，∵AC⊥AB∴四边形PACD是矩形，∴∠PDC=90°即△PDC是直角三角形，α的度数为90°或270°或180°故答案为：90°或270°或180°．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11(2023·上海·统考中考真题)△ABC中，∠C=35°△ABC绕着点A旋转α(0°<α<180°)B落在BC上B的对应点为DADAD是∠BACα=．101103°AB=AD∠BAD=α∠CAD=∠BAD=α质可得∠ADB=35°+α∠B=∠ADB=35°+αAB=AD∠BAD=α，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=α，∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+αAB=AD，∴∠B=∠ADB=35°+α，则在△ABC中，∵∠C+∠CAB+∠B=180°，∴35°+2α+35°+α=180°，1103解得：α=°；1103故答案为：°掌握相关图形的性质是解题的关键．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=3cm∠B=60°．将△ABC绕点A△B的对应点恰好落在线段BCC的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．3π11AC旋转到的运动路径长是CA为圆心作圆弧在直角△ABC中，∠B=60°∠C=30°，则BC=2AB=2×3=6cm．∴AC=BC-AB2=6-32=33cm．由旋转性质可知，AB=∴△是等边三角形．∴∠=60°．∠B=60°，由旋转性质知，∠=60°．60360π3故弧的长度为：×2×π×AC=×33=3πcm；故答案为：3π30°明确C点的运动轨迹．13(2023·内蒙古·统考中考真题)Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=1△ABC绕点ADDCA逆时针方向旋转90°△．连接AC于点D的值为．5D作DF⊥AB于点FAB=10△ABB、△DFB是1212DF=BFS=×BC×AD=×DF×ABAD=10DFDFBCAFAC104△AFD∼△ACB=AF=3DFAF=10-DFDF=AD5212=CD=D作DF⊥AB于点F，∵∠ACB=90°AC=3BC=1，∴AB=3+12=10，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△，12∴AB==10∠=90°，∴△是等腰直角三角形，∴∠=45°，又∵DF⊥AB，∴∠FDB=45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF=BF，1212∵S=×BC×AD=×DF×ABAD=10DF，∵∠C=∠AFD=90°∠CAB=∠FAD，∴△AFD∼△ACB，DFAFBCAC∴=AF=3DF，又∵AF=10-DF，104∴DF=，104525212∴AD=10×=CD=3-=，5ADCD2∴==5，12故答案为：5．握相关知识是解题的关键．14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC∠A=120°AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°△交直线BC于点．则的长度为DD．4+23或4-23BC=23△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°B作BE⊥AB交D于点E△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°D作DF⊥交于点FA作AM⊥BC于点M，∵等腰△ABC∠BAC=120°AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，1312∴AM=AB=1BM=CM=AB-AM2=3,∴BC=23，△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°B作BE⊥AB交于点，DE∵∠BAC=120°，∴∠DAB=60°∠EB=30°，在Rt△BE中，E=2B=4BE=E-B2=23，，∵等腰△ABC∠BAC=120°AB=2．∴∠ABC=∠ACB=30°，∵△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，∴∠ABA=45°，∴∠DBE=180°-90°-45°-30°=15°∠BD=180°-45°-30°=105°在△BD中，∠D=180°-∠DAB-∠BD=180°-60°-105°=15°,∴∠D=∠EBD，∴EB=ED=23，∴D=E+DE=4+23，△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°D作DF⊥交F于点，在△BFD中，∠BDF=∠=45°∴DF=BF，在Rt△F中，∠=30°33∴DF=FC'∴BC=BF+3BF=23∴DF=BF=3-3∴=2DF=6-23∴D=D-=6-23-2=4-23，综上所述，D的长度为或，4-234+23故答案为：4-23或4+23．1430是解题的关键．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°∠B=30°∠E=45°BC=EF=12BC与EF重合，CD与AB相交于点G(如图1)CG的长是△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转(如图2)EF与AB相交于点HDH旋转0°到60°DH扫过的面积是．66-6212π-183+181G作GH⊥BC于H30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出BH=3GHGH=CHBC=12可求出GHCG2△DEF绕点C顺时针旋转60°得到△DEFFE与AB交于GDDAD△DEF是△DEF旋转0°到60°的过程中11111122DN⊥CD于NB作BM⊥DD交DD的延长线于M△CDD是等边三角1111D在直线ABDH扫过的面积是弓形DDD的面积加上△DDBDN1121和BMDH扫过的面积=S+S1=S1-S1+S1列式计算即可．DDD1G作GH⊥BC于H，∵∠ABC=30°∠DEF=∠DFE=45°∠GHB=∠GHC=90°，∴BH=3GHGH=CH，∵BC=BH+CH=3GH+GH=12，∴GH=63-6，∴CG=2GH=2×63-6=66-62；如图2△DEF绕点C顺时针旋转60°得到△DEFFE与AB交于GDD，11111由旋转的性质得：∠ECB=∠DCD=60°CD=CD，111∴△CDD1是等边三角形，∵∠ABC=30°，∴∠CGB=90°，1∴CG=BC，215∵CE=BC，12∴CG=CEAB垂直平分CE，11∵△CDE是等腰直角三角形，11∴点D1在直线AB上，连接AD△DEF是△DEF旋转0°到60°的过程中任意位置，122则线段DH扫过的面积是弓形DDD的面积加上△DDB的面积，121∵BC=EF=12，22∴DC=DB=BC=62，∴DC=DD=62，11作DN⊥CD于NND=NC=32，11∴DN=DD-ND2=62-322=36，11过点B作BM⊥DD交DD的延长线于M∠M=90°，11∵∠DDC=60°∠CDB=90°，∴∠BDM=180°-∠DDC-∠CDB=30°，12∴BM=BD=32，∴线段DH扫过的面积=S+S1，DDD=S1-S1+S1，60π⋅6221212=-×62×36+×62×32，360=12π-183+18，故答案为：66-6212π-183+18．30°D1在直线AB上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°AM⊥BC于点MD是线段MC上的动点(不与点MC重合)DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．16(1)如图1E在线段ACD是MC的中点；(2)如图2BM上存在点F(不与点BM重合)满足DF=DCAEEF∠AEF的(1)见解析(2)∠AEF=90°(1)由旋转的性质得DM=DE∠MDE=2α∠DEC=α=∠CDE=DCDM=DC即可；(2)延长FE到H使FE=EHCHAHDE是△FCH∠B=∠ACHDM=DE=mCD=nBF=2m=CH△ABF≅△ACHSASAF=AH三角形三线合一证明AE⊥FH即可．(1)DM=DE∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE-∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DCD是MC的中点；(2)∠AEF=90°；2FE到H使FE=EHCHAH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位线，∴DE∥CHCH=2DE，由旋转的性质得：DM=DE∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACHAB=AC，设DM=DE=mCD=nCH=2mCM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF-DM=n-m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM-FM=m+n-n-m=2m，∴CH=BF，AB=AC在△ABF和△ACH中，∠B=∠ACH，BF=CH∴△ABF≅△ACHSAS，17∴AF=AH，∵FE=EH，∴AE⊥FH∠AEF=90°．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1MN分别是斜边DEAB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点CMN距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)MN的长．(1)最大值为31(2)7(1)CM,CN解；(2)过点N作NP⊥MCMC的延长线于点P∠MCN=120°∠NCP=60°CP=1Rt△NCP,Rt△MCP1212(1)CM=DE=1CN=AB=2，当M在NC的延长线上时，M,NCM+CN=1+2=3，当M在线段CN上时，M,NCN-CN=2-1=1；(2)N作NP⊥MCMC的延长线于点P，18∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，∴∠BCE=120°，∵∠BCN=∠ECM=45°，∴∠MCN=∠BCM-∠ECM=∠BCE=120°，∴∠NCP=60°，∴∠CNP=30°，1∴CP=CN=1，2在Rt△CNP中，NP=NC-CP2=3，在Rt△MNP中，MP=MC+CP=1+1=2，∴MN=NP+MP2=3+4=7．30度角的直角三18(2023·四川达州·统考中考真题)1△ABC的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△ABC△ABC；111111(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△ABC△ABC；222222(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．(1)见解析(2)见解析5+5π(3)2(1)先作出点ABC平移后的对应点ABC111(2)先作出点AB绕点C顺时针旋转90度的对应点AB2290π×10212525π2(3)证明△ABCS=AB×BC=S==360转过程中△ABC扫过的面积等于△ABC的面积加扇形CAA1的面积即可得出答案．(1)ABC平移后的对应点ABC△ABC11111119(2)AB绕点C顺时针旋转90度的对应点AB△ABC22222(3)解：∵AB=1+22=5AC=3+12=10BC=1+22=5，∴AB=BC，∵5+5=10=102，∴AB+BC=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，1252∴S=AB×BC=，根据旋转可知，∠ACA=90°，90π×1025π2∴S==，3605+5π∴在旋转过程中△ABC扫过的面积为S=SABC+S=．2的对应点．19(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°CA=CBO为ABD在直线AB上(不与点A,B重合)CDCD绕点C逆时针旋转90°CEB作直线l⊥BCE作EF⊥lFEF交直线OC于点G．20(1)D与点OAD与线段EF的数量关系；(2)D在线段ABCG+BD=2BC；(3)连接DE△CDE的面积记为S△ABC的面积记为SEF:BC=1:3S1的值．12S222(1)EF=(2)见解析AD59179(3)或(1)可先证△BCD≌△BCEBD=BEBE和EF而得到线段AD与线段EF的数量关系．(2)可先证△ACD≌△GECDA=CGCG+BD=DA+BD=AB(3)D在线段ABC作CN垂直于FGFG于点NE作EM垂直于BC，交BC于点MEF=aa的代数式表示EC案．②点D在线段BAE作EJ垂直于BCBC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,设EF=b△CDA≌△CEB△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ可用含b的代数式表示EC22(1)解：EF=AD．理由如下：BE．根据图形旋转的性质可知CD=CE．由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴∠BCD=45°AD=BD．又∠DCE=90°，∴∠BCE=45°．在△BCD和△BCE中，21CD=CE∠BCD=∠BCEBC=BC∴△BCD≌△BCE．∴BD=BE∠CBE=∠CBD=45°．∴∠EBF=45°．22∴EF=BE·sin∠EBF=BE．22∴EF=AD．(2)解：∵CO为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴AO=BO．∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵BC⊥lEF⊥l，∴BC∥EF．∴∠G=∠OCB=45°∠GEC=∠BCE．∴∠G=∠A∠ACD=∠GEC．在△ACD和△GEC中，∠ACD=∠GEC∠A=∠GCD=CE∴△ACD≌△GEC．∴DA=CG．∴CG+BD=DA+BD=AB=2BC．(3)D在线段ABEF:BC=1:3①点D在线段ABC作CN垂直于FGFG于点N点E作EM垂直于BCBC于点M．设EF=aBC=AC=3a．BFEM和CMEN为矩形，△GCN为等腰直角三角形．∴EF=BM=aCM=NE=2a．由(2)证明可知△ACD≌△GEC，22∴AC=GE=3a．∴NG=NC=a．∴NC=EM=a．根据勾股定理可知CE=EM+CM2=2a+a2=5a，△CDE的面积S与△ABC的面积S之比121212CE5aSS591=22=21=12BC23a22②点D在线段BAE作EJ垂直于BCBC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接BE,FBJEFBCI是矩形，∵∠DCE=∠ACB=90°∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE即∠DCA=∠ECB又∵CD=CECA=CB∴△CDA≌△CEB∴∠DAC=∠EBC而∠DAC=180°-∠CAB=180°-45°=135°∴∠EBC=135°∠EBJ=180°-∠EBC=45°∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ设EF=bBC=IF=3bEJ=BJ=CI=b∴EI=EF+IF=4bRt△CIE中，CE=CI+EI2=b+(4b)2=17b△CDE的面积S与△ABC的面积S之比121212CE17bSS1791=22=2=1212BC23b2定及性质是解题的关键．20(2023·四川乐山·统考中考真题)23动刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB=AC，=BC=∠BAC=∠∠ABC=∠∠ACB=∠()(1)(；(2)4cm60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板的位置．①请在图中作出点O；②如果=6cm经过的路径长为B；(2)(1)24322(2)πcm838问题拓展：π-3cm23(1)(2)①分别作和AAOPAAC于MPAPDAA，，∠PA=30°PA=PA=4，Rt△PAM和Rt△ADMMDM中求出和S阴影部分=SP-SDP△ADP≌△DP可求出最后结果．(1)(2)O为所求②连接OB，∵扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板的位置，∴∠=90°OB=,∵=6cm，设OB==xcm∴x+x=62，，∴OB==32cm，B经过的路径长为以点O90°OB为半径的所对应的弧长，90×π×32322∴点B经过的路径长==πcm；180PAAC于M，，如图所示PAPDAA2512∴∠PAC=∠BAC=30°．，．由旋转得∠PA=30°PA=PA=4在Rt△PAM中，M=PM=PA⋅sin∠PAM=4×sin30°=2．在Rt△DM中，12∵∠DAM=∠=30°，Mcos∠DAM2cos30°243∴D===3，121243DM=D=×3=3．3121243∴S=DM⋅P=×3×4=3．243330×π×42SP==π．360434∴S阴影部分=SP-S=π-3，3在△ADP和△DP中，2343∵AD=AM-DM=23-3=3=D，又∵∠PAD=∠PA∴△ADP≌△DP．又∵SPAC=SP，，D=30°PA=PA，∴S阴影部分=S阴影部分，43438383∴S=2S阴影部分=2×π-3=π-3cm．21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)AB45=12,AD=10,∠BsinB=．26(1)如图1AB边上的高CH的长．(2)P是边ABC,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点,．①如图2落在射线CABP的长．②当△BP的长．(1)8347(2)①BP=BP=6或8±2(1)利用正弦的定义即可求得答案；(2)①先证明△≌△CHP△∽△AHC可；CA(1)在▱ABCD中，BC=AD=10，45在Rt△BCH中，CH=BCsinB=10×=8．(2)①如图1CH⊥BA于点H(1)得，BH=BC-CH2=6AH=12-6=6，作Q⊥BA交BA延长线于点Q∠CHP=∠=90°，∴∠PQ+∠Q=90°．∵∠PQ+∠CPH=90°∴∠Q=∠CPH．由旋转知=PC，∴△≌△CHP．设BP=xPQ=CH=8,Q=PH=6-x,QA=PQ-PA=x-4．∵Q⊥AB,CH⊥AB，∴Q∥CH，∴△∽△AHC，QCHQAHA6-x8x-46∴==，347∴x=，34∴BP=．7，，②由旋转得△PCD≌△,CD=CD⊥又因为AB∥CD⊥AB．C．227∵⊥AB，∴落在线段BA延长线上．∵PC⊥，∴PC⊥AB，由(1)知，PC=8，∴BP=6．A3．设与射线BA的交点为T，作CH⊥AB于点H．∵PC⊥，∴∠CPH+∠=90°，∵⊥AT，∴∠T+∠=90°，∴∠CPH=∠T．又∵∠CHP=∠=90°,PC=P∴△CPH≌△T，，∴T=PH,PT=CH=8．设T=PH=tAP=6-t，∴AT=PT-PA=2+t∵∠=90°,⊥AB，∴△∽△TA，ATTTA∴=，28∴AT=T⋅，∴(2+t)=ι12-t，化简得t-4t+2=0解得t=2±2，，∴BP=BH+HP=8±2．为直角顶点时，点P落在BA综上所述，BP=6或8±2．22(2023·四川南充·统考中考真题)ABCD中M在边BCE是AMEDEC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点EB的对应点落在ACMB′．当点M在边BC上运动时(点M不与BC重合)△CMB′(3)在(2)AB=1∠DEB′=45°BM的长．(1)见解析(2)(3)BM=2-3(1)△EAD≌△EBC(2)由旋转的性质得EB==AE=EM∠C=90°对角线的性质推出M=C(3)结合已知信息推出△CME∽△AMC(1)证：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°AD=BC，∵点E是AM的中点，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∴∠BAD-∠EAB=∠ABC-∠EBA：∠EAD=∠EBC，在△EAD与△EBC中，EA=EB∠EAD=∠EBCAD=BC∴△EAD≌△EBCSAS，∴ED=EC；29(2)解：△CMB'由旋转的性质得：EB=，∴=AE=EM，∴∠=∠A∠=∠M，∵∠+∠A+∠+∠M=180°，∴∠A+∠M=90°：∠M=90°，∴∠C=90°，∴∠MC=90°-∠ACB=45°，∴∠MC=∠ACB=45°，∴M=C，∴△CMB'为等腰直角三角形；(3)BE交AD于点F，∵∠EAB=∠EBA∠=∠A，∴∠MEB=2∠EAB∠=2∠，∴∠=∠MEB+∠=2∠+2∠EAB=2∠=90°，∵∠DEB′=45°，∴∠DEF=∠EF-∠=45°，∵△EAD≌△EBC，∴∠AED=∠BEC，∵∠AEF=∠BEM，∴∠DEF=∠CEM=45°，∵∠ACM=45°，∴∠CEM=∠ACM，∵∠CME=∠AMC，∴△CME∽△AMC，CMAMEMCM∴=，∴CM=AM∙EM，1∵EM=AM，21∴CM=AM2，2设BM=xCM=1-xAM=AB+BM=1+x2，12∴1-x=1+x2，解得：x=2-3x=2+3()，12∴BM=2-3．3023(2023·江苏扬州·统考中考真题30°板分别记作△ADB和△C,∠ADB=∠C=90°,∠B=∠C=30°AB=2．如图1△ADB和△C的边AD、△CA绕着点α0°≤α≤360°△ADBBC．(1)当α=60°时，BC=BC=22时，α=°；(2)当α=90°(3)如图2BC的中点F△C绕着点AF的运动路径长为．(1)230或21033(2)画图见解析；1-(3)2π(1)当α=60°时，C与AD△ABCBC=AB=2时，BC=22根据勾股定理逆定理得出∠BAC=90°AC在ABAC在AB(2)证明四边形AD=DE=E=1BE=BD-DE=3-1EF=33333333BE×tan∠ABD=3-1×=1-DG=AD×tan∠DAG=1×=S=S-SBEF-S求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；(3)AF⊥BC∠AFB=90°△C绕着点AF在以AB(1)解：∵△ADB和△C中∠ADB=∠C=90°,∠B=∠C=30°，∴∠BAD=∠CA=90°-30°=60°，∴当α=60°时，C与ADBC，31∵AB=AC=2∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC=AB=2；当BC=22时，∵AB+AC=2+2=8=22=BC2，∴当BC=22时，△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，∴AB⊥AC，当AC在AB∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°，∴此时α=∠=∠-∠DAC=60°-30°=30°；当AC在AB∵∠DAB=∠AC=60°，∴此时α=∠DAB+∠BAC+∠AC=210°；BC=22时，α=30°或210°；故答案为：230或210．(2)α=90°∵AB=AC=2，3212∴AD==AB=1，∴BD==2-12=3，∵∠=α=90°，又∵∠ADB=∠C=90°，∴四边形是矩形，∵AD=，∴四边形是正方形，∴AD=DE=E=1，∴BE=BD-DE=3-1，3333∴EF=BE×tan∠ABD=3-1×=1-，∵∠DAG=∠-∠=90°-60°=30°，3333∴DG=AD×tan∠DAG=1×=，∴S=S-SBEF-S1212331233=×1×3-×1-3-1-×1×33=1-，33即两块三角板重叠部分图形的面积为1-．(3)解：∵AB=ACF为BC的中点，∴AF⊥BC，∴∠AFB=90°，∴将△C绕着点AF在以AB为直径的圆上运动，∵AB=2∴点F运动的路径长为2π．故答案为：2π．24(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1ABCDACBD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)PD、PB．33①求证：PD=PB；②将线段DP绕点PD落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP(2)[迁移探究]如图2ABCD换成菱形ABCD∠ABC=60°AQ与CP的数量关系，并说明理由．(1)∠DPQ=90°AQ=2OP(2)AQ=CP(1)①根据正方形的性质证明△DCP≅△BCP②作PM⊥AB,PN⊥ADMNPM=PNAMPN∠MPN=90°Rt△DPN≅Rt△QPMHL∠DPN=∠QPM③作PE⊥AO交AB于点EEF⊥OB于点FAQ=BEBE=2EF即可得出结论；(2)先证明PQ=PBPE∥BC交AB于点EEG∥AC交BC于点GPEGC是平行四EG=PC△APE,△BEG(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°，∵CP=CP，∴△DCP≅△BCP，∴PD=PB；②∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；PM⊥AB,PN⊥ADMN∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°∠DAB=90°，34∴四边形AMPN是矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵PD=PQ,PM=PN，∴Rt△DPN≅Rt△QPMHL，∴∠DPN=∠QPM，∵∠QPN+∠QPM=90°，∴∠QPN+∠DPN=90°∠DPQ=90°；③AQ=2OP；PE⊥AO交AB于点EEF⊥OB于点F∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°∠AOB=90°，∴∠AEP=45°OPEF是矩形，∴∠PAE=∠PEA=45°,EF=OP，∴PA=PE，∵PD=PBPD=PQ，∴PQ=PB，作PM⊥AE于点M，则QM=BM,AM=EM，∴AQ=BE，∵∠EFB=90°,∠EBF=45°，EFsin45°∴BE==2EF，∴AQ=2OP；(2)AQ=CP；证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC,AC⊥BD,DO=BO，∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC=60°,PD=PB，∵PD=PQ，∴PQ=PB，作PE∥BC交AB于点EEG∥AC交BC于点G则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60°∠AEP=∠ABC=60°，∴EG=PC△APE,△BEG都是等边三角形，∴BE=EG=PC，35作PM⊥AB于点MQM=MB,AM=EM，∴QA=BE，∴AQ=CP．是解题的关键．25(2023·湖北随州·统考中考真题)1643一条直线上的三个点ABC题．(1)(该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1△APCC顺时针旋转60°得到△C，由PC=C∠=60°，△为①=PC=PAPA+PB+PC=PA+PB+≥B，BPA在同一条直线上时，的P∠APC=∠BPC=∠APB=已知当△ABC有一个内角大于或等于120°3∠BAC≥120°点．由②PA+PB+PC2B③；④(2)如图4△ABC120°AC=3BC=4∠ACB=30°P为△ABC费马PA+PB+PC的值；36(3)如图5ABCAC=4kmBC=23km∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向ABCP到村庄ABC的铺设成本分别为a元/kma元/km，2a元/kmP元．(结果用含a的式子表示)(1)120°A．(2)5(3)213a(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；(2)根据(1)的方法将△APCC顺时针旋转60°得到△CBPA在同一条直线上时，PA+PB+PCB+∠=90°B即可，∠ACB=30°可证明∠ACA=∠+∠BCP(3)由总的铺设成本=a(PA+PB+2PC)△APC绕C顺时针旋转90°得到△C腰直角△C2PC=BPA在同一条直线上时，+PB+取最小值PA+PB+2PC取最小值为B(1)解：∵PC=C∠=60°，∴△为等边三角形；B即可．，∴=PC∠PC=∠C=60°，又=PAPA+PB+PC=PA+PB+≥B，BPA在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为B∴∠BPC+∠PC=180°∠C+∠C=180°，∴∠BPC=120°∠C=120°，P又∵△APC≅△C，∴∠APC=∠C=120°，∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>ACBC>AB，∴BC+AB>AC+ABBC+AC>AB+AC，∴A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°∴A，120°A．(2)将△APC绕C顺时针旋转60°得到△C，由(1)可知当BPA在同一条直线上时，PA+PB+PCB，37∵∠ACP=∠，∴∠ACP+∠BCP=∠+∠BCP=∠ACB=30°，又∵∠=60°∴∠BCA=∠+∠BCP+∠=90°，由旋转性质可知：AC=C=3，∴B=BC+C2=4+32=5，∴PA+PB+PC最小值为5，(3)∵总的铺设成本=PA∙a+PB∙a+PC∙2a=a(PA+PB+2PC)∴当PA+PB+2PC将△APCC顺时针旋转90°得到△CB，，，，，由旋转性质可知：C=PC∠=∠ACA=90°=PAC=AC=4km∴=2PC，∴PA+PB+2PC=+PB+，当BPA在同一条直线上时，+PB+PA+PB+2PC取最小值为B，过点作H⊥BCH，∵∠ACB=60°∠ACA=90°，∴∠CH=30°，12∴H=C=2km，∴HC=AC-AH2=4-22=23(km)，∴BH=BC+CH=23+23=43(km)，∴B=AH+BH2=(43)+22=213(km)PA+PB+2PC的最小值为213km总的铺设成本=PA∙a+PB∙a+PC∙2a=a(PA+PB+2PC)=213a(元)故答案为：213a3826(2023·四川·统考中考真题)如图1ABACAC绕点A在直线ABBCBC为边在BC上方作Rt△BDC∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°AB为边在AB上方作Rt△BAE∠AEB=90°∠EBA=30°DE示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2(1)DE⊥ABAB=4AC=2BC的长；(3)如图3∠BCD=90°AB=4AC=2ADtan∠CBA的值．23(1)AC=3DE(2)BC=2735(3)(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30°Rt△BAE∠AEB=90°∠EBA=30°△ABE∽△CBD，ABBCBEBD根据相似三角形的性质得出=∠DBE=∠CBA△ABC∽△EBD性质即可求解；(2)延长DE交AB于点FRt△AEFEF,AFBF(1)出DE=3Rt△BFDBD△ABC∽△EBD(3)AB为边在AB上方作Rt△BAE∠EAB=90°∠EBA=30°BEEAED,EC，43同(1)可得△BDE∽△BCAD在以E为圆心，A,E,D三点共线3277217时，ADcos∠BDA=sin∠BDA=△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCAA作AF⊥BCFAF,CF,然后求得BF(1)Rt△BDC中，∠DBC=30°Rt△BAE∠AEB=90°∠EBA=30°，32∴△ABE∽△CBD∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBCBE=AB×cos∠ABE=ABABBCBEBD∴=∠DBE=∠CBA，∴△ABC∽△EBDACDEABBEAB233∴===3AB223∴AC=3DE，23故答案为：AC=3DE．(2)∵Rt△BAE∠AEB=90°∠EBA=30°AB=412∴AE=AB⋅sin∠EBA=AB=2∠BAE=60°，延长DE交AB于点F39∵DE⊥AB，∴∠BFD=∠DFA=90°，3212∴在Rt△AEF中，EF=AE×sin∠BAE=×2=3AF=AE=1，∴BF=AB-AF=4-1=3，23由(1)可得AC=3DE，32∴DE=AC=3，∴DF=DE+EF=23，在Rt△BFD中，BD=BF+DF2=3+232=21∵△ABC∽△EBD，，BCBDACDE233∴==，233∴BC=×21=27，∴BC=27；(3)AB为边在AB上方作Rt△BAE∠EAB=90°∠EBA=30°BEEAED,EC，同(1)可得△BDE∽△BCADEACBDBC233则==，433∵AC=2DE=，33433在Rt△AEB中，AB=4AE=AB×tan∠EBA=4×=，433∴D在以E为圆心，为半径的圆上运动，833∴当点A,E,D三点共线时，ADAD=AE+DE=，4083324213在Rt△ABD中，BD=AB+AD2=4+=83ADBD277ABBD4432173∴cos∠BDA===,sin∠BDA===，43∵△ABC∽△EBD，∴∠BDE=∠BCA，过点A作AF⊥BCF，∴CF=AC×cos∠ACB=2×∵∠DBC=30°，2774772217=AF=AC×sin∠ACB=，32324213∴BC=BD=×=27，47710772777∴BF=BC-CF=27-Rt△AFB中，tan∠CBA==，AFFB35==．27(2023·湖北黄冈·统考中考真题△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCDADBEADBE的位置关系．(1)如图1m=1ADBE的位置关系：；(2)如图2m≠1时，(1)(3)当m=3,AB=47,DE=4时△CDE绕点CA,D,EBE的长．(1)BE⊥AD41(2)(3)BE=63或43(1)根据m=1AC=BCDC=EC△DCA≌△ECB∠DAC=∠CBE∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG∠GAB+∠ABG=90°(2)证明△DCA∽△ECB∠DAC=∠CBE∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG∠GAB+∠ABG=90°(3)E在线段ADD在线段AE可．(1)解：∵m=1，∴AC=BCDC=EC，∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∴△DCA≌△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴BE⊥AD；故答案为：BE⊥AD．(2)∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，DCCEACBC1m∵==，∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，42∴BE⊥AD；(3)E在线段ADBE设AE=xAD=AE+DE=x+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，BEADACBC∴==m=3，∴BE=3AD=3x+4=3x+43，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE+BE=AB2，即x+3x+43=472，解得：x=2或x=-8(舍去)，∴此时BE=3x+43=63；当点D在线段AEBE设AD=yAE=AD+DE=y+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，BEADACBC∴==m=3，∴BE=3AD=3y，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE+BE=AB2，即y+4+3y=472，解得：y=4或y=-6(舍去)，∴此时BE=3y=43；综上分析可知，BE=63或43．4328(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)45°角的三角尺放在正方形ABCD45°角的顶点始终与正方形的顶点CC旋转三角尺时，45°角的两边CMCN始终与正方形的边ADAB所在直线分别相交于点MNMN△CMN．△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBHH在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；BDCMCN于点EF．求证：△CEF∽△CNM；BD与三角尺45°角两边CMCN分别交于点EF．连EFNM接AC交BD于点O的值．EFNM22[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]=[探究一]证明△CNM≌△CNH[探究二]根据正方形的性质证明∠CEF=∠FNB∠CEF=∠FNB∠ECF=∠NCMEC[探究三]先证明△ECD∽△NCA∠CED=∠CNA，NCCDAC12==△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGCG在直线AB上．得出△NCG≌△NCM∠MNC=EFNMECNC∠GNC∠CNM=∠CEF△ECF∽△NCM==CDAC12=[探究一]∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBHH在直线AB上，∴CM=CH,∠MCH=90°，∴∠NCH=∠MCH-∠MCN=90°-45°=45°，∴∠MCN=∠HCN，CM=CH在△CNM与△CNH中，∠MCN=∠HCNCN=CN∴△CNM≌△CNH∴∠CNM=∠CNH[探究二]∵四边形ABCD是正方形，44∴∠DBA=45°，又∠MCN=45°，∴∠FBN=∠FCE=45°，∵∠EFC=∠BFN，∴∠CEF=∠FNB，又∵∠CNM=∠CNH，∴∠CEF=∠CNM，又∵公共角∠ECF=∠NCM，∴△CEF∽△CNM；[探究三]证明：∵AC,BD是正方形的对角线，∴∠CDE=∠CDA+∠EDM=135°∠CAN=180°-∠BAC=135°，∴∠CDE=∠CAN，∵∠MCN=∠DCA=45°，∴∠MCN-∠DCN=∠DCA-∠DCN，即∠ECD=∠NCA，∴△ECD∽△NCA，EC∴∠CED=∠CNA，NCCDAC12==，△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGCG在直线AB上．∴MC=GC∠MCG=90°，∴∠NCG=∠NCM=45°，又CN=CN，∴△NCG≌△NCM，∴∠MNC=∠GNC，∵∠CNA=∠CEF，∴∠CNM=∠CEF，又∠ECF=∠NCM，∴△ECF∽△NCM，EFNMECNCCDAC12∴===，EFNM22即=．掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．29(2023·湖南·统考中考真题)ABCD的边BC上任意取一点GBG为边长向外作正方形BEFGBEFG绕点B顺时针旋转．45特例感知：(1)当BG在BCDFAC相交于点PP恰为DF(2)小红继续连接EGDFDF中点P判断△APE规律探究：(3)BEFG绕点B顺时针旋转αDFP是DFAPEPAE△APE的形状是否发生改变？请说明理由．(