专题09 一次函数（讲义）（原卷版）

专题09一次函数核心知识点精讲理解一次函数的概念定义，理解一次函数是线性函数的特殊形式，并能够识别和判断一个函数是否为一次函数。掌握一次函数的表达式y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。要掌握如何确定函数的斜率（k值）和截距（b值）。掌握了解一次函数图像的特点，掌握如何绘制一次函数的图像，并能够根据图像分析函数的特点、与坐标轴的交点等性质。掌握一次函数的与其他数学知识的联系：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式等的关系，并能够进行相互转化。能够利用一次函数解决实际问题，如路程、时间、速度问题，以及与其他数学知识的综合应用。考点1一次函数的概念1.一次函数概念：一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。2.正比例函数：当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。考点2一次函数的图象与性质1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线。2.一次函数的图象特征：（1）一次函数的图象是经过点（0，b）的直线；（2）特别的，正比例函数的图象是经过原点（0，0）和（1，k）的直线。3.一次函数的图象与性质k的符号b的符号函数图象图象特征k>0b>0图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K<0b>0图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。考点3正比例函数和一次函数解析式的确定1.确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法，它的步骤通常是：（1）设一次函数的解析式为：；（2）用图象上的点A（x1，y1），B（x2，y2）的横、纵坐标分别去替代函数解析式中的x和y，得到二元一次方程组{（3）解这个方程组，求出k，b的值；（4）求k，b的值带入所设的解析式中，即可得到索要其的一次函数的解析式。2.一次函数图象的平移一次函数的平移若一次函数的解析式为y=kx+b，向左平移m个单位后解析式为y=k(x+m)+b，规律为“左加”；向右平移m个单位后解析式为y=k(x-m)+b，规律为“右减”；向上平移m个单位后解析式为y=kx+b+m，规律为“上加”；向下平移m个单位后解析式为y=kx+b-m，规律为“下减”；考点4一次函数与方程（组）、不等式的关系一次函数与方程（组）、不等式的关系与一元一次方程的关系方程kx+b=0的解x=-是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点横坐标；与二元一次方程组关系联立两个一次函数关系式得出的解是两个一次函数的交点坐标；与一元一次不等式的关系①从“数”上看：kx+b>0的解集是y=kx+b中，y>0时x的取值范围；kx+b<0的解集是y=kx+b中，y<0时x的取值范围；②从“形”上看：kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应点的横坐标；kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方部分对应点的横坐标；考点5根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．考点6一次函数的实际应用1.解一次函数的实际应用的一般步骤：2.集中常见题型及及其解法（1）文字性应用题：从体感中提取两组有关量（自变量和因变量）作为一次函数图像上的两点，应用待定系数法求出解析式，对于阶梯收费问题注意选取的关系量应是同一标准的；（2）表格型应用题：分析表格中数据，从表格中提取两组量应用待定系数法求函数解析式；（3）图象型应用题：从函数图象上找出两点，找到其坐标带入解析式；若函数图象为分段函数，注意要取通断函数图像上的两点，一次方法分别求隔断函数的解析式，最后记得加上对应自变量的取值范围。（4）方案选取问题：①根据解析式分类讨论，比较两个发难在不同取值下的最有结果；②根据题意列不等式求出自变量的取值范围，然后选取符合题意的自变量的取值范围，分别代入两个一次函数解析式中比较，设计或选择最优的方案即可。【题型1：一次函数的概念】【典例1】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为A． B． C． D．1．（2023•霞山区一模）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y=−5x D．y2．关于函数，都是不等于0的常数），下列说法，正确的是A．与成正比例B．与成正比例 C．与成正比例D．与成正比例【题型2：一次函数的图象与性质】【典例2】（2023•蓬江区校级一模）一次函数y＝x﹣2的图象大致是（）A． B． C． D．【典例3】（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定1.（2023•惠城区校级开学）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A． B． C． D．2．（2023•广东模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0），且y随x的增大而减小，则直线y＝﹣2x+k的图象是（）A． B． C． D．3．（2023•茂南区二模）若直线y1＝ax+b经过第一、二、四象限，则直线y2＝bx+a不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型3：正比例函数和一次函数解析式的确定】【典例3】（2023•潮南区模拟）如图，已知A（2，3），B（0，2），在x轴上找一点C，使得|AC﹣BC|的值最大，则此时点C的坐标为（﹣4，0）．1．（2022•增城区一模）如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、A．y=−13x+2 B．y=−15x+2 C．y=−2．（2023•中山市三模）若正比例函数的图象经过点（3，6），则该函数的解析式为y＝2x．【题型4：一次函数与方程（组）、不等式的关系】【典例5】（2023•丰顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3【典例6】（2023•东莞市校级三模）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）1．（2023•海珠区校级二模）已知一次函数y＝ax+2的图象与x轴的交点坐标为（3，0），则一元一次方程ax+2＝0的解为（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a2．（2023•英德市二模）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥23．（2023•南山区模拟）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+5的图象相交于点A（a，2），则不等式﹣2x≤kx+5的解集为（）A．x≤2 B．x≥﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣14．（2023•曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组x+y=3−mx+y=nA．x=1y=3 B．x=3y=1 C．x=1y=25.（2023•金平区二模）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点P(23，83)，则关于x的不等式x+b≥kx6．（2023•江门校级三模）如图，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则方程组2x−y=−bkx−y=3的解是x=4y=−6【题型5：根据实际问题列一次函数关系式】【典例7】（2023•天河区二模）已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为y＝0.3x+6．1．（2023•南海区一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）A．y＝20x B．y＝40﹣2x C．y=40x D．y＝x（40﹣22．（2023春•澄海区期末）一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）（0≤t≤5）之间的关系是h＝﹣5t+25．【题型6：一次函数的实际应用】【典例8】（2023•蓬江区校级三模）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同的路线，从甲港到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（直线）．（1）轮船的速度是20千米/时，快艇的速度是40千米/时；（2）分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；（3）快艇出发多长时间赶上轮船？1．（2023•龙岗区校级一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（）A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元2．（2023•惠州校级模拟）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0（计算结果保留一位小数）．根据图中信息分析，下列结论正确的是（）A．青海湖水深16.4m处的压强为189.36cmHg B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h≥0 D．P与h的函数解析式为P＝9.8×105h+763．（2023•金平区一模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位10km的培训中心参加学习，图中L甲，L乙分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲、乙相遇时，乙走了6千米；③乙出发6分钟后追上甲．其中正确的是①②③．（填序号）4．（2023•龙岗区校级一模）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？为期末加油！2B涂卡铅笔4元/支0.5mm黑色水笔2.5元/支5．（2023•龙川县三模）春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．（1）请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？（2）现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．一．选择题（共7小题）1．已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣32．下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y=x+2 B．y＝5﹣3x C．y=2x D．y3．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．若直线y＝2x+b与x轴交于点A（﹣3，0），则方程2x+b＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝6 D．x=−5．把直线y＝x+2向上平移n个单位后，与直线y＝﹣2x+5的交点在第二象限，则n的取值范围是（）A．1＜n＜7 B．n＜5 C．2＜n＜5 D．n＞36．下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝x﹣17．直线y＝x﹣1的图象与x轴的交点坐标为（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）二．填空题（共5小题）8．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=12x+3上的一个动点，将Q绕点P（0，1）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ9．在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+4沿x轴向右平移2个单位长度后，得到新直线的函数关系式为．10．如果正比例函数y＝（m﹣2）x的图象y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，0），B（5，8）．（1）直线AB的函数表达式为．（2）某同学设计了一个动画：在函数y＝﹣2x+b中，输入b（b＞0）的值，得到直线CD，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线CD与线段AB有交点时，直线CD就会发红光，则此时输入的b的取值范围是．12．若点P（a，b）在直线y＝2x+3上，则4a﹣2b的值为．三．解答题（共3小题）13．已知一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．（1）求k，b的值．（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞0的解集．14．已知y是2x+3的正比例函数，且当x＝1时，y＝﹣5．（1）求y与x的函数关系式．（2）若点（a，2）在该函数的图象上，求a的值．15．如图，函数y＝﹣2x+3与y=−12x+m的图象交于P（（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式−12x+m＞﹣2一．选择题（共5小题）1．一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组y=kx+by=x+2A．x=2y=4 B．x=1y=4 C．x=2.4y=42．正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（）A． B． C． D．3．正比例函数y＝ax与一次函数y＝ax﹣2a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．4．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知乙先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数是（）①乙的速度为4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点80米；③甲到达终点时，乙距离终点还有80米；④甲、乙两人之间的距离为60米时，甲出发的时间为72秒和82秒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．一次函数y＝kx+b的图象经过A（m，1），B（m+4，0）两点，若点M（2，y1）和点N（3，y2）恰好也是该函数图象上的两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定二．填空题（共4小题）6．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a﹣b＝．7．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为．8．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0），过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A'．设OM＝m，折叠后的△A'MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（1）如图，当点A'与顶点B重合时，点M的坐标为．（2）当S=324时，点M的坐标为9．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示方式放置，点A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B4的坐标是，B2020的纵坐标是．三．解答题（共3小题）10．为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图像解答下列问题：（1）求出y与x的函数关系式；（2）若某用户某月用电80度，则应缴电费多少元？（3）若某用户某月应缴电费105元，则该用户用了多少度电？11．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（3）该校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平