专题09 二模练习中有关圆的计算4种压轴题型全攻略（解析版）

专题09有关圆的计算4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一中点（直线）和圆的位置关系相关计算】 1【考点二中圆和圆的位置关系相关计算】 2【考点三中圆的其它计算】 2【考点四中有关线段取值范围的计算】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一中点（直线）和圆的位置关系相关计算】【例题1】如图，已知及其所在平面内的个点．如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．【详解】解：根据题意得，半径为，如图所示，连接，∴，∴到圆心距离为的点可能是点，故选：．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，理解并掌握点到圆心的线段与圆的半径的大小关系是解题的关键．【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解．【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作，∵矩形中，对角线与相交于点，，．∴，，，，∴∴，则；

当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，

则则∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．【变式2】如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，连接，交于点F，作于点E，求得，再根据圆的运动过程，判断出r的取值范围即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，连接，交于点F，作于点E，

∵∴点O从点D开始向B移动，移到E时，的长度从1减到，再移到点F，此时，在这一范围内，，,∴当时，A，B都在圆外，不满足条件；当点O从点F移到点B时，，此时，，，∴当时，满足两点在圆内的条件；当，即，点O在点F的位置，，此时四点都在圆上，不满足条件；当，即，点O在点B的位置，此时，，A和B在圆内，点D在圆外，满足条件，故r的取值范围是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确进行分类讨论是解答本题的关键．【变式3】已知在中，，，如果以A为圆心r为半径的和以为直径的相交，那么r的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系求解．【详解】解：如图，由题意得：，，由勾股定理得：，设的半径为，根据两圆相交得：，解答：，故选：C．【点睛】本题考查两圆之间的位置关系．熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键．【考点二圆和圆的位置关系相关计算】【例题2】如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【答案】D【分析】先求出两圆的圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解．【详解】解：∵分别以、为直径作圆，∴两圆的圆心分别是、的中点，∴两圆心的连线是梯形的中位线．∵，，∴两圆的圆心距为，∵，，∴两圆的半径分别为3和2，∵，∴两圆外离，故选：D．【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径．【变式1】知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．相交 D．外离【答案】C【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．【详解】解：的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，的半径为15厘米，，两圆的位置关系是相交.故选：C．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．【变式2】如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】B【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解．【详解】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，∵．∴BD=2x，BC=3x，∵．∴AC=4x，∴AB=5x，∵，∴，．∴BE=2AE，，∴EF=AE=，∴，∴CD=DE，∵经过点，且与外切，∴的半径为x，∵，即AC⊥BC，∴与直线相切．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握直角三角形的性质，切线的判定，圆与圆的位置关系等知识是解题的关键．【变式3】在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作(如图)，点在边上，以点为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是_______．

【答案】【分析】连接，作于，设的半径是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解决问题．【详解】解：连接，作于，∵，，点在边上，，

设的半径是，两圆外切，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，，，的长是，故答案为：．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．【考点三圆的其它计算】【例题3】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是(

)A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】过点O作于点M，利用垂径定理，勾股定理计算即可．【详解】过点O作于点M，连接，∵，∴，∴，解得，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．7．如图，为直径，内接于，为内心，交圆于D，且于I，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，求出，根据内心求出，，求出，推出，求出，利用勾股定理得出，解直角三角形形可求出答案．【详解】解：连接、，∵为直径，∴，∵为内心，∴，∵，∴，∴，∴，∵，过点，∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解本题的关键，有一定难度．【变式2】水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为________分米．

【答案】【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【详解】解：过点作于点，∵分米，分米，∴分米，∴设分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴该圆柱形油槽的内半径为分米，故答案为．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式3】如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么______．【答案】【分析】连接，交于点，连接，根据题意得出，设，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接，∵的内接正方形，∴经过点，∵点是的中点，∴，∴设，则∴∵,∴∵，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，正方形的性质，相似三角形的性质，证明是解题的关键．【考点四有关线段取值范围的计算】【例题4】如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是______．【答案】【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求，当C在线段上时，的长度最小值，当C在线段延长线上时，的长度最大值，即可求解．【详解】解：如图，在y轴上取一点，连接，，∵，，∴，，∴，∵点P是的中点，∴，∵，，∴是的中位线，∴，当C在线段上时，的长度最小值为：，当C在线段延长线上时，的长度最大值为：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．【变式1】如图，在中，，，，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是_______．【答案】/【分析】求出线段、，再根据点与圆得位置关系判断即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出，．【变式2】如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是_______．【答案】【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答．【详解】解：设与相切于点F，连接，，∵，，∴，中，∵，∴∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴若与相切时，和一定相交；若与相切时，和一定相离．同理当与相切于点M时，连接，，计算得，∴此时，∴当时，与矩形的各边都没有公共点，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算．【变式3】如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是________．【答案】或【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，最大值为圆与圆E内切，切点为Q，∴，当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，设，则，∴，∴，则长度的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．【过关检测】一、填空题1．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在_____．【答案】外【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，的半径为，且，点到圆心的距离大于的半径，点在外，故答案为：外．【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是_____．【答案】【分析】根据点在直线上，可求得点的“关联点”为，根据点与圆的位置关系可得，根据勾股定理即可得答案．【详解】解：∵点A在直线上，∴，∴，，∴点的“关联点”为，当时，，此时点在上，整理得，解得：，∵点在的内部，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内，；点在圆上，，点在圆外，，正确得出点坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键．3．如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为________．【答案】【分析】连接，取中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而可知点，，，四点均在同一个圆，即上，由圆周角定理可知，可知，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，可得．【详解】如图，连接，取的中点，连接，，在和中，点是斜边的中点，，根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，又，，，过点作，垂足为点，由垂径定理得，，在中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，圆的定义，圆周角定理，垂径定理，含的直角三角形，根据相关性质定理得到点，，，四点均在同一个圆是解决问题的关键．二、解答题4．如图，已知中，，．(1)求边的长；(2)以点为圆心的圆与边相切时，求的半径长．【答案】(1)(2)【分析】（1）过作于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长即可；（2）设切点为，连接，由即可求解．【详解】（1）解：过作于点，在中，，，设，则，，，解得：，，，，在中，根据勾股定理得：；（2）解：设切点为，连接，则，，，的半径为．【点睛】此题考查了勾股定理，三角函数，切线的性质，掌握勾股定理及切线的性质是解题的关键．5．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．(1)求的半径长；(2)联结，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）联结，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可；（2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．【详解】（1）解：联结，则：，∵点C是的中点，∴，，∴，∴，∴，设圆的半径为，则：，∴，在中，，即：，解得：，∴的半径长为．（2）解：由（1）知：，∴，∴，过点作于点，则，即：，∴，由（1）知：，∴．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键．6．如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．(1)求证：；(2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则，根据“全等三角形的对应边相等”得到（2）连接，并延长PO交AD于点M，先证明，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得到为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到，则，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到．【详解】（1）四边形是矩形，且点是边的中点，在和中，，∴；（2）证明：如图，连接，并延长交于点，四边形是矩形，∴∵，，∴点、都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，，是以点为中心的正六边形的一边，由正六边形性质可得∶，∵，是等边三角形，又，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．7．如图，在中，，，圆O经过A、B两点，圆心O在线段上，点C在圆O内，且．(1)求圆O的半径长；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）延长交圆O于点D，连接，设圆O的半径长为r，则，利用正弦函数列式计算即可求解；（2）先求得，在，利用三角函数的定义求得和的长，再利用勾股定理求解．【详解】（1）解：设圆O的半径长为r，延长交圆O于点D，连接，则，又，∴，设，则有，因为，所以，解得，经检验，是方程的解；∴圆的半径长为5；（2）解：过点B作的垂线垂足为E，由（1）得，则，解得，，解得，所以，所以【点睛】本题考查了圆内接三角形，经过圆的直径构造的三角形为直角三角形，添加辅助线再利用三角函数求解．8．如图，已知是的外接圆，连接并延长交边于点D，连接，且．(1)求证：；(2)当时，过点A作边的平行线，交于点E，连接交于点F．请画出相应的图形，并证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先证明，再证明，如图，延长交于，结合垂径定理与等腰三角形的判定可得结论；（2）如图，补全图形如下：结合（1）设，再证明，，，可得，结合相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，如图，延长交于，∴，∴，∴结合三角形的内角和定理可得：，∴．（2）如图，补全图形如下：结合（1）设，∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，而，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．9．如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别连接、．

(1)当是圆的内接正六边形的一边时，求的长；(2)设，，求与之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，连接．是的中腰线，求的长．【答案】(1)(2)(3)的长为或【分析】（1）连接，，是圆的内接正六边形的一边时，进而判断是等边三角形，即可求解；（2）根据题意证明，得出则,，在，中，勾股定理即可求解；（3）分情况讨论，①当时，如图所示，过点作于点，则，②当时，分别画出图形，根据，解方程即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，，

∵半圆的直径，∴，∵是圆的内接正六边形的一边时，∴,∴，∵是的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴；（2）解：如图所示，连接交于点，

∵是的中点，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∵，，∴,∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：①当时，如图所示，过点作于点，则，

设，由（2）可得，，∵，为的中点，∴，∴，在中，，∴，在中，，又∵∴，解得：，∴；②如图所示，当时，

同理可得，则，,∴，解得：，∴，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，函数关系式，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．10．如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点．(1)若点D是弧的中点，求的值；(2)连接交半径于点E，交于点F，设．①用含m的代数式表示线段的长；②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）连接，过点作，垂足为点M．由垂径定理，，再利用直角三角形即可得结论．（2）①作交于点G，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可，②利用圆的位置关系即可得出结论．【详解】（1）连接，∵点D是弧的中点，是直径，∴

∴，∴，∴．

过点作，垂足为点M．由垂径定理，．在中，，，．在中，．

．

∴．（2）①作交于点G.∴∴

∴，∴．

又∵∴∴

∴，∴．

∴．

②设，，．当两圆内切时，．

由于，，所以两圆不可能内切．

当两圆外切时，．解得．

所以当两圆相交时，．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．11．如图1，点E、F分别在正方形的边、上，与交于点G．已知．

(1)求证：；(2)以点G为圆心，为半径的圆与线段交于点H，点P为线段的中点，联结，如图2所示，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再证明，再根据等角的余角相等即可得出结论；（2）根据圆的知识证明垂直平分，再根据等腰三角形的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，∵，，∴，故，∴，∵，∴，即∴；（2）由题意可知：，且（1）有：，∴垂直平分，故，在中，，，∴，在中，，P为线段的中点，，故，∴．【点睛】本题考查的是圆的知识、正方形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．12．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．(1)如图2，当时，联结，求证：；(2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；(3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．【答案】(1)见解析(2)或；(3)【分析】（1）联结、，交于，由，得出，根据垂径定理得出，，则．由，得出．根据菱形的性质得出，则，（2）分当时，当时，如图所示，设交于点，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；（3）分点在，上，以及与点重合时，与点重合时，分别求得的值，结合图形即可求解．【详解】（1）解：联结、，交于，如图，，，，，．，，．四边形为菱形，，，；（2）解：当时，如图所示，∵∴是的直径，∵菱形中，，∴，，∴，∵，则，∴，∴，设，则，，在中，，∴，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∴，当时，如图所示，设交于点∵，，∴，又∵，则∴综上所述，或；（3）解：由（2）可知，当时，此时点在上，则当在上时，如图所示，过点作于点，∵，∴,∵设则∴∴,∴，当与重合时，如图所示，∵∴∴∴即∴∴，当点与点重合时，同理可得，则时，圆心在菱形外部时，综上所述，当时或时，即圆心在菱形外部．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆的相关性质是解题的关键．13．如图，扇形的半径为，圆心角，点是上的动点（点不与点、重合），点、分别在半径、上，四边形为矩形，点在线段上，且．(1)求证：；(2)如图，以为顶点、为一边，作，射线交射线于点，连接，

①当时，求与的面积之比；②把沿直线翻折后记作，当时，求的正切值．【答案】(1)见解析；(2)①；②【分析】（1）连接，由四边形为矩形得到，由得到即可得到；（2）①连接，证明，再证，则，，再求得，再证，得到，求出，，即可得到与的面积之比；②延长交于点Q，设，利用勾股定理得到，利用等积法求出，勾股定理得到，即可得到，证明，则，可证得，则，，由求得，即可得到，由，，根据正切的定义得到的正切值．【详解】（1）证明：连接，∵四边形为矩形，∴，∵，∴；（2）①如图，连接，∵四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如图，延长交于点Q，设，则，∵，∴，∴，∴，∴，由翻折可知，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，解得，∴，∵，，∴，即的正切值为．【点睛】此题考查了圆的基本知识、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转、无理方程等知识，综合性非常强，难度较大，数形结合和准确计算是解题的关键．14．如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E．(1)当时，求的长；(2)当时，求的值；(3)当为直角三角形时，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值为或．【分析】（1）作于M，联结，证明四边形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；（2）同（1）作于M，联结，可得四边形是矩形，求得，由，求得，再求得，根据相似三角形的判定和性质即可求解；（3）分两种情况讨论，当时，同（1）可得四边形是矩形，再证明，利用相似三角形的性质求得的长，即可求解；当时，求得，即可求解．【详解】（1）解：作于M，联结，∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：作于M，联结，同理四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于M，联结，同理四边形是矩形，∴，当时，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得(负值已舍)，∴，∴；当时，由垂径定理得，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∴；综上，的值为或．【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．已知：的直径，C是的中点，D是上的一个动点（不与点A、B、C重合），射线交射线于点E．(1)如图1，当，求线段的长；(2)如图2，当点D在上运动时，连接中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；(3)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．【答案】(1)，详见解析(2)存在，，详见解析(3)与面积的比值为或或，详见解析【分析】（1）连，构造直角三角形利用勾股定理求出的长，再利用，求出的长，即可得解；（2）由C为的中点，为直径得出的度数为，再利用圆周角定理即可得出答案；（3）分类讨论，分点在线段的延长线上和点在线段上，利用勾股定理和面积公式分别求出它们的面积，然后求出比值即可得出答案．【详解】（1）连，如图1∵∴，∵C为的中点，为直径∴在中∴∵∴∴即∴∴∴（2）当D在上运动时，如图2，在中，为度数不变的角，理由如下：∵C为的中点，为直径，∴的度数∴的度数为∴所对的圆心角为，圆周角为∴（3）如图，当点在线段的延长线上，是以为腰的等腰三角形时，当时，连，∵∴由知∴∴∴又∵∴∴为等边三角形∴∴∴∵为中点∴又∵∴∴，当时∴∵∴∴与，，三点共线矛盾，所以此情况不存在；当点在线段上，且小于或等腰时，过点作交于点，过点作于点，，由点在线段上可知，是以为腰的等腰三角形时，不等于，只能有，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵由知，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；当点在线段上，且大于时，过点作交于点，过点作于点，同可得，，，∴∴；综上所述：与面积的比值为或或．【点睛】本题考查了三角形相似，圆周角定理，圆心角定理，勾股定理，等腰三角形等知识的综合应用，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．16．已知：如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M，N，且．(1)求的度数；(2)如果，，求的半径长．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先证明平分，然后由角平分线的定义，即可求出的度数；（2）由弦心距和弦的关系，得到，延长交于点，连接，由等腰三角形的性质，垂径定理，以及勾股定理，即可求出的半径．【详解】（1）解：∵平分的外角，∴，∵，，．∴平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴是等腰三角形，延长交于点，连接，如图：∵平分，∴，，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∴；【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．17．如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点与点O关于直线对称，射线交半圆O于点D，弦AC交于点E、交于点F．(1)如图，如果点恰好落在半圆O上，求证：；(2)如果，求的值；(3)如果，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)或．【分析】（1）如图：连接，先根据圆的性质和对称的性质说明是等边三角形，，然后再说明即可证明结论；（2）设圆的半径为，则，如图：作于N；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得，然后解直角三角形可得、，最后代入计算即可；（3）分在半圆O内和圆外两种情况，分别利用面积法解答即可．【详解】（1）解：如图：连接，∵点恰好落在半圆O上，∴，∵点与点O关于直线对称∴,，∴是等边三角形，，∴，∴，∴，∴．（2）解：设圆的半径为，则，如图：作于N∵，∴，在中，,，∵，∴，又∵，∴，∴，在中，，由轴对称可得：，,,，∴为等腰直角三角形∴，

∴．（3）解：当在半圆O内时，则，由对称性可得：，如图：过F作于N，于M，∴∴，又∵，，即，又∵，∴；当在半圆O外时，由对称性可得：，如图：作于M，于N，∴，∴，又∵，，又∵，∴,即，又∵，∴．综上，或