湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年九年级下学期期末数学试题

数学时量：90分钟总分：120分一、选择题.（每小题3分，满分24分）1.二次函数的图象的顶点坐标是（）A.（2，-5） B.（2，5） C.（-2，-5） D.（-2，5）2.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（）A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四3.如图，在中，，，，CD是的高，则的值是（）A. B. C. D.4.某人从一袋黄豆中取出60粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀.接着抓出180粒黄豆，数出其中有3粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（）A.2400粒 B.3600粒 C.4200粒 D.5400粒5.如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（）A.（-1，2） B.（-1，2）或（3，1）C.（-3，-1） D.（-3，-1）或（3，1）6.若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.且 C. D.且7.如图，的顶点A、B、C均在上，若，则的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.70°8.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（）A. B.3 C. D.4二、填空题。（每小题4分，满分32分）9.如果，那么______.10.如图，已知，若，，，则BD的长为______.11.若，，，面积为10，则的面积为______.12.某商品原价100元，经过连续两次涨价，现价为225元，则这个平均价格增长率为______.13.在-3，-2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_______.14.若二次函数的图象经过，，三点.则，，大小关系为_______（请用“<”连接）.15.如图，将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合.其它角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则的值为______.16.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，①若，则_____.②探究的值为______.三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）17.（6分）计算：.18.（6分）如图，已知在四边形ABCD中，.E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且.求证：.19.（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接AO、OB，求的面积；（3）由图象直接写出：当时，自变量的取值范围.20.（8分）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，即“双减”政策.“双减”政策通过减轻学生作业负担、压减学科类校外培训机构，能够有效减轻学生的学业负担，提高学生的学习兴趣，使学生德、智、体、美、劳全面发展.为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A——学校作业有明显减少；B——学校作业没有明显减少；C——课外辅导班数量明显减少；D——课外辅导班数量没有明显减少；E——没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，回答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有人；______；______；（2）补全条形统计图；（3）校学生会在对结果进行分析时，把“A——学校作业有明显减少，C——课外辅导班数量明显减少”都看作“双减”政策对学生的有效影响，若该校共有3000名学生，请你估计该校“双减”政策有效影响的学生人数.21.（8分）如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°.已知米，米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）22.（8分）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售，经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.（1）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利10000元；（2）物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元，将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大?最大利润是多少元?23.（10分）已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N.（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），将绕A点顺时针旋转90°至，求证：；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论：（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，在（2）的条件下，若，，求AP的长.24.（10分）如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点.已知点B坐标为（1，0），点C坐标为（4，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作轴交AC于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点使得以AB为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标.

答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C二、填空题9.810.411.4012.50%13.14.15.16.三、解答题17.解析原式.18.试题解析：（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴.19.【小问1详解】解：∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的解析式为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∴点B的坐标为（-6，-1），∵点和点在一次函数的图像上，∴，解得，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：在中，令，则，∴点C的坐标为（-4，0），∴，∴的面积为8；【小问3详解】解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围为或.20.解：（1）200；144；20；提示：，，，.（2）200×15%=30，补全条形统计图如图，（3）人.即该校“双减”政策有效影响的学生人数约为1800人.21.【解】（1）如图，过点E作，交CD的延长线于点F.∵斜坡DE的坡度为，∴.在中，，∴，∴米，∴E点到地面DC的距离为2米.（2）如图，过点E作，垂足为G.易知四边形EFCG为矩形，则米，.∵，∴米.∵米，∴.在中，，∴米.在中，，∴米.∴米，∴旗子的宽度AB为米.22.（1）80元或50元（2）时w最大，为1200023.解：（1）证明：作交CB的延长线于E，∵，∴，∴.又∵，，∴，∴，.∵，，∴.∴.（2）图2的结论：；图3的结论：.（3）连接AC.∵，，在中，根勾股定理得：，即，∴，如图3在ND上截取，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，为等腰直角三角形，∴AN垂直MG，∴AN为MG垂直平分线，所以.∴，即.∴，∴，∴，∴.∴.∵，，∴.又，∴，∴.∵在中，根据勾股定理得：，解得.∴，∴.24.解：（1）∵点，∴，∵面积为6，∴，∴，∵，∴，将，，代入，∴，解得，∴；（2）∵，，∴，∴