新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略（老师版）

新定义型二次函数的综合探究问题压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】 1【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 11【考点三新定义型二次函数——衍生抛物线】 19【考点四新定义型二次函数——旋转函数】 25【考点五新定义型二次函数——孔像抛物线】 29【考点六新定义型二次函数——反碟长抛物线】 34【考点七新定义型二次函数——月牙线抛物线】 41【考点八新定义型二次函数——系列平移抛物线】 46【典型例题】【考点一新定义型二次函数——关联抛物线】例题：如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4．（2）P的对称轴为x=﹣．（3）点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；P：y=﹣x2﹣x+8．【详解】试题分析：（1）若l：y=-2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=-x2-3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；（2）根据对称轴的定义解答即可；（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如图1所示，不要漏解；（4）如图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx-4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．试题解析：（1）若l：y=-2x+2，则A（1，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（-2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：解得，∴P表示的函数解析式为：y=-x2-x+2；若P：y=-x2-3x+4=-（x+4）（x-1），则D（-4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，∴l表示的函数解析式为：y=-4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=-；令x=0，得y=n．∴A（-，0）、B（0，n），∴D（-n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），∵DN=AN，∴--x=x-（-n），∴2x=-n-，∴P的对称轴为x=-．（3）若l：y=-2x+4，则A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（-4，0）．可求得直线CD的解析式为：y=x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=-1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y=x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|xF-（-1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=-2．∵点F在直线ll：y=-2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（-2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=-1时，y=，∴Q1（-1，）；若F（-2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=-1时，y=，∴Q2（-1，）．∴满足条件的点Q有2个，如图1所示，点Q坐标为Q1（-1，），Q2（-1，）．（4）如图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=•=2，∴AB=2OG=4．∵l：y=mx-4m，∴A（4，0），B（0，-4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（-4m）2=（4）2，解得：m=-2或m=2，∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=-2．∴l表示的函数解析式为：y=-2x+8；∴B（0，8），D（-8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=-x2-x+8．考点：二次函数综合题．【变式训练】1．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标；【答案】(1)；(2)或【分析】（1）确定的二次项系数，一次项系数，交换它们的位置即可得到，利用顶点坐标的公式计算即可．（2）设点，则，，得到，根据建立方程求解即可．【详解】（1）因为的二次项系数是，一次项系数是a，所以；因为，所以抛物线的顶点坐标为．（2）设点，因为，，所以，所以，所以，因为，所以，所以或，因为的判别式，所以本方程无解；因为，所以，解得，所以或．【点睛】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行线坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．2．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（）②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（）③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（）(2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式；(3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长．【答案】(1)√，×，√(2)或(3)【分析】（1）根据“互为关联”的抛物线进行一一判断进行解答即可；（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根抛物线与关于点中心对称可得顶点坐标为，再根据抛物线与是“互为关联”的抛物线得出在上，从而可得，解出m的值即可得出结果；（3）由抛物线与是“互为关联”的抛物线可得，即，从而可得，，再由可得出，即可得，再根据当时和当两种情况讨论即可．【详解】（1）①抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线，顶点坐标是（1，-1），当将x=0代入得y=0，将x=1代入得y=-1，所以抛物线的顶点在图像上，抛物线的顶点在图像上，故答案为：√；②与抛物线是“互为关联”的抛物线有无数条，比如、都与抛物线是“互为关联”的抛物线，故答案为：×；③∵设顶点不同的两条抛物线与关联，∴有①+②得，∴m≠p,∴，∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．故答案为：√；（2）抛物线的顶点抛物线与关于点中心对称顶点抛物线与是“互为关联”的抛物线在上解得：，当时，的顶点，当时，的顶点，（3），抛物线与是“互为关联”的抛物线，即，，即当时，（舍）当，即时，，，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．3．如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线．(1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______；(2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；(3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据，得到A（1，0），B（0，2），根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，从而得到D（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，确定a值即可；根据，得到，解得，从而确定A（1，0），D（-4，0），根据旋转性质，得到OB=OD=4，继而得到B（0，4），设直线的解析式为y=kx+4，把点A的坐标代入计算得k值即可．（2）根据，得到A（4，0），B（0，-4t），根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|=-4t，从而得到D（4t，0），利用中点坐标公式G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根据勾股定理，得到，求得t值，继而计算解析式即可．（3）将向左平移个单位得到关联抛物线，确定交点A，D，B的坐标，设出关联抛物线的解析式，计算a值即可．【详解】（1）解：∵，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，∴A（1，0），B（0，2），根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，∴D（-2，0）．设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，得2=-2a，解得a=-1，∴；∵，∴，解得，∴A（1，0），D（-4，0），根据旋转性质，得到OB=OD=4，∴B（0，4）．设直线的解析式为y=kx+4，把点A的坐标代入，得k+4=0，解得k=-4，∴y=-4x+4，故答案为：；．（2）解：∵，∴A（4，0），B（0，-4t），根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|=-4t，∴D（4t，0），∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根据勾股定理，得到，解得t=-2，t=2（舍去），故t=-2，∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+8)，把B的坐标代入解析式，得8=-32a，解得a=，∴．（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，∴将向左平移个单位得到关联抛物线，∴，∵＞0，∴m＜0，∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），解得a(m+n)=-1，故答案为：a(m+n)=-1．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数的解析式即待定系数法，抛物线的平移，旋转的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式，抛物线平移的规律是解题的关键．【考点二新定义型二次函数——友好同轴二次函数】例题：．定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”．（1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式；（2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”；（3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围．【答案】（1）的“友好抛物线”为：；（2）见解析；（3）或.【分析】（1）设的“友好抛物线”的表达式为：，根据可得其顶点坐标，代入可得的值，进而得出的“友好抛物线”；（2）先求出抛物线和的顶点坐标，根据过的顶点，得出，进而得到抛物线经过的顶点，再根据与的开口大小相同，方向相反，即可得出抛物线也是的“友好抛物线”；（3）根据“友好抛物线”的定义，得到，进而得到的顶点为．根据抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得．再根据经过点，得到．根据经过点，得到．进而得出抛物线与线段没有公共点时，的取值范围．【详解】解：（1）依题意，可设的“友好抛物线”的表达式为：，∵，∴的顶点为．∵过点，∴，即．∴的“友好抛物线”为：．（2）的顶点为，的顶点为，∵为的“友好抛物线”，∴．∵过的顶点，∴．化简得：．把代入，得．∴抛物线经过的顶点．又∵与的开口大小相同，方向相反，∴抛物线也是的“友好抛物线”．（3）∵抛物线为的“友好抛物线”，∴．∴的顶点为．∵抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，∴，即．当经过点时，，∴．当经过点时，，∴．由此可知：时，抛物线与线段有公共点，∴抛物线与线段没有公共点时，或．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，读懂“友好抛物线”的定义并根据“友好抛物线”的定义解决实际问题、抛物线的顶点坐标公式和用方程思想解决问题是解决此题的关键.【变式训练】1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③的“友好对称二次函数”为．④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．①若，且四边形为正方形，求m的值；②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．【详解】解：（1）∵，∴函数的“友好对称二次函数”为；，原函数的对称轴为：，∴，∴，，∴函数的“友好对称二次函数”为，,故答案为：；；（2）∵，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵，∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．①∵，∴二次函数L1：，二次函数L2：，∴点B的坐标为，点C的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，∵四边形为正方形，∴，即，解得：，（不合题意，舍去），∴m的值为；②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，∵四边形的邻边之比为1：2，∴或，即或，解得：，，，，∴a的值为－或或或．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．2．定义：若两条抛物线的对称轴相同，则称这两条抛物线为同轴抛物线．若抛物线与抛物线：为同轴抛物线，将抛物线上的部分与抛物线上的部分合起来记作图象G．（1）①_____（用含m的式子表示）；②若点在图象G上，求m的值；（2）若，当时，求图象G所对应的函数值y的取值范围；（3）正方形的中心为原点O，点A的坐标为，当图象G与正方形有3个交点时，求m的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）①m；②m的取值为或或；（2）当时，图象G所对应的函数值y的取值范围为；（3）或．【分析】（1）①根据同轴抛物线的定义可得n=m；②分两种情况：①当时，将代入中，当时，把代入中，计算可解答；（2）先将m=1代入函数y中，画出函数图象，分别代入x=-1，x=2，x=1计算对应的函数y的值，根据图象可得结论；（3）画出相关函数的图象，根据图象即可求得．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：，抛物线的对称轴为：，∵与为同轴抛物线，∴∴故答案为：m②当时，将代入中得，，解得，，∵，∴；当时，把代入中得：，解得，，∵，∴或.综上所述，m的取值为或或；（2）当时，图象G的函数解析式为，图象G如图1所示，在抛物上，当时，y随x的增大而增大，，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，∴当时，图象G所对应的函数值y的取值范围为；（3）当或时，图象G与正方形有3个交点，抛物线.抛物线，当时，当时，.当抛物线的顶点在上时，如图2，，（舍），.当抛物线过点时，如图3，，，∴；当抛物线过点时，如图4，，，.当抛物线过点时，如图5，，，∴.综上所述，当或时，图象G与正方形有3个交点．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，尤其是题目中的函数是分段函数，要能够画出分段函数的图象，结合图象的性质去解决问题．【考点三新定义型二次函数——衍生抛物线】例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线经过点，则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线．①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐标为；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；（2）先求出抛物线的顶点是，从而求出关于的对称点是，得，根据两抛物线有交点，可以确定方程有解，继而求得的取值范围即可；（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出，…

分别是，…的中位线，继而可得，，…，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．【详解】（1）解：把代入，得，∴，∴顶点坐标是，∵关于的对称点，∴成中心对称的抛物线表达式是：，即，故答案为：，，；（2）∵，∴顶点是∵关于的对称点是，∴，∵两抛物线有交点，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴顶点，代入得：①∵，∴顶点，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴两顶点坐标分别是，，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；②如图，设，…，与轴分别相于，…

，，则，，…，分别关于，…，中心对称，∴，…

分别是，…的中位线，∴，，…，∵，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（1）已知抛物线经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；（2）已知抛物线关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；（3）已知抛物线（a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数），直接写出AnAn+1的长_________（用含n的式子表示）．【答案】（1），（-2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，-3），求出点（-2，1）和（0，-3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；（2）求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；（3）求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴抛物线的顶点坐标（-2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴（0，-3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），设新抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，∵点（0，5）在新抛物线上，∴5=a（0-2）2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=（x-2）2+1=x2-4x+5，故答案为-4，（-2，1），y=x2-4x+5；（2）∵抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，∴抛物线的顶点坐标为（-1，6），设衍生抛物线为y′=a（x-1）2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m≤5；（3）抛物线y=ax2+2ax-b的顶点坐标为（-1，-a-b），∵点（-1，-a-b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2），∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2），同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数——旋转函数】例题：（2023·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．【答案】(1)；(2)1；(3)见解析．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式；（2）根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案；（3）首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．【详解】（1）根据题意得，解得故解析式为：．（2）根据题意得∴∴．（3）根据题意得，，∴，，又且经过点，，的二次函数为∵∴两个函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．【变式训练】1．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试证明经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．【答案】(1)(2)1(3)见解析【分析】（1）根据“旋转函数”的定义，可得，，，可得旋转函数；（2）根据“旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，根据负数偶数次幂是正数，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得，，，根据待定系数法，可得函数解析式；根据“旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，可得旋转函数．【详解】（1）由函数可知．由，得．函数的“旋转函数”为；（2）由与互为“旋转函数“，得，．解得．当时，；（3）∵当时，解得，∴．当时，，即．由点A，B，C关于原点的对称点分别是，得．设过点的二次函数，将代入，得，解得，过点的二次函数．函数可知，，．由，得．的“旋转函数”为．∴经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”得出，，是解题关键．【考点五新定义型二次函数——孔像抛物线】例题：二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：…（___，___）………①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为(3m，)，再根据题意即可求解．【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：；②画出草图，由图象知，这条抛物线的解析式只能是；故答案为：；③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，由题意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，∴=m或=m，解得m=1或0，当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，∴m=1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【变式训练】1．二次函数的图象交x轴于原点O及点A，感知特例．…A(___,___)………(1)当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为，，，，，如表：①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”．则此时点A的坐标为A（____,_____）探究问题(2)①求二次函数的“孔像抛物线”的解析式（含参数m）；②当时，若抛物线L于它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，求x的取值范围．【答案】(1)①；②作图见解析；(2)①；②（若答案为也可以）【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点A的坐标；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；根据图象直接求出点A的坐标即可；（2）①先求出“孔像抛物线”的对称中心，然后将化为顶点式，再求出其孔像抛物线的顶点坐标，用顶点式写出关系式，最后化为一般式即可；②当m＝−1时，抛物线L：y＝x2＋2x＝（x＋1）2−1，当x≤−1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝−x2−6x−8＝−（x＋3）2＋1，当x≥−3时，L′的函数值随着x的增大而减小，找出公共部分即可．【详解】（1）解：①∵，关于点A中心对称，∴点A为的中点，设点，∴，，故答案为：；②所画图象如图所示：根据图2可知，此时两个函数图象的中心对称点为（-4,0），即此时点A的坐标为（-4,0）．（2）解：①由题意可得，抛物线的“孔像抛物线”的对称中心是则其孔像抛物线是化成一般形式为：②当时，抛物线，对称轴为直线，开口向上，当时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线，对称轴为直线，开口向下，当时，的函数值随着x的增大而减小，∴当时，抛物线L于它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：（若答案为也可以）．【点睛】主要考查了二次函数图象和性质，中心对称性质及应用，新定义理解及应用等，解题关键是理解题意，运用数形结合思想思考解决问题．【考点六新定义型二次函数——反碟长抛物线】例题：定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P，Q两点．

(1)抛物线的“反碟长”______．(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．①当抛物线的顶点平移到点时，抛物线的解析式是______，抛物线的“反碟长”是______；②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是______（填写所有正确的选项）；A．15；B．16；C．24；D．25③当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时，求点A的坐标．【答案】(1)2(2)①，；②AC；③【分析】（1）由，得，即得；（2）①由抛物线的顶点平移到点，得抛物线的解析式是，由，得或，，故抛物线的“反碟长”是；②设抛物线的顶点坐标为，再求出“反碟长”，再根据“反碟长”是一个偶数判断即可；③过A作于H，设，由,得，根据是等边三角形，可得，即可解得或，从而．【详解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，∴．故答案为：2．（2）解：①∵抛物线的顶点平移到点，∴抛物线的解析式是，在中，令得，解得：或，∴抛物线与直线的交点为和，∴抛物线的“反碟长”是；故答案为：，；②设抛物线的顶点坐标为，则抛物线．令，解得或，∴抛物线的“反碟长”为．∵抛物线的“反碟长”是一个偶数，∴是整数，结合选项可知，当或24时符合题意，故A，C正确．③如图：过A作于H，

设，则抛物线的解析式为,在中，令得,解得或，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，解得或（B，C重合，舍去）．∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用、涉及新定义、平移变换、等边三角形等知识点，读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度是解题的关键．【变式训练】1．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=x2对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为；（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽有端点横坐标为2；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．【答案】（1）4；1；；．【详解】试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．（3）①根据y1，容易得到y2．②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．试题解析：（1）4；1；；．∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为．①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；④抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，∴抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0），碟宽为．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，∴由（1），其碟宽为，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，∴=6，解得A=，∴y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣3（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，∴=，∵a1=，∴a2=．∵y=（x﹣2）2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），∴A（﹣1，0），B（5，0），∴F2的碟顶坐标为（2，0），∴y2=（x﹣2）2．②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，∴Fn的碟宽为2hn，∵2hn：2hn﹣1=1：2，∴hn=hn﹣1=（）2hn﹣2=（）3hn﹣3=…=（）n+1h1，∵h1=3，∴hn=．∵hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上，∵h1在直线x=2上，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+．另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．分析如下：考虑Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图2，Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，∴AB∥DE∥GH，∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，∴HE∥GF，EB∥DC，∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，∴GF∥DC，∴HE∥EB，∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上，∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．∵F1：y1=（x﹣2）2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），F2：y2=（x﹣2）2准碟形右端点坐标为（2+，），∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线【考点七新定义型二次函数——月牙线抛物线】例题：定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)证明见解析，该定值为2(3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；（2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论；（3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，解得，，∴，；将点，代入抛物线，得，解得∴抛物线的解析式为；

3分（2）证明：设，则，∴，，∴，∴的值为定值，该定值为2；（3）存在．由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，，∴，如解图，连接，∵，∴为等腰直角三角形，∴，假设存在，设点，分两种情况讨论：①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，，则，，由勾股定理可知，∴，解得：，，∴，；

②当时，，如解图②，由勾股定理可得，∴，此方程无解，∴此种情况不存在．综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为