高中数学 第三章概率综合测试题 新人教B版必修3

【成才之路】-学年高中数学第三章概率综合测试题新人教B版必修3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列事件中，不是随机事件的是()A．东边日出西边雨刘禹锡 B．下雪不冷化雪冷民间俗语C．清明时节雨纷纷杜牧 D．梅子黄时日日晴曾纾[答案]B[解析]A、C、D为随机事件，B为必然事件．2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是()A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对[答案]D[解析]从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”，故选D.3．老师为研究男、女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为()A．eq\f(1,50) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,4)[答案]C[解析]因为在分层抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5).4．在400mL自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A．0.005 B．0.004C．0.001 D．0.002[答案]A[解析]发现大肠杆菌的概率为P＝eq\f(2,400)＝0.005.5．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为()A．0.7 B．0.5C．0.3 D．0.6[答案]A[解析]任意摸出一球，事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出黄球”，事件C＝“摸出白球”，则A、B、C两两互斥．由题设P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4，P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝0.9，又P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，∴P(A)＝0.4＋0.9－1＝0.3，∴P(B∪C)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.6．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为()A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(2,3) D．无法计算[答案]B[解析]设阴影区域的面积为S，又正方形的面积为4，由几何概型的概率公式知eq\f(S,4)＝eq\f(2,3)，∴S＝eq\f(8,3).7．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(3,20)[答案]C[解析]P＝eq\f(5－2,20－2)＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).8．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).9．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)[答案]C[解析]集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32个，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，∴P＝eq\f(8,32)＝eq\f(1,4).10．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为()A．1－eq\f(π,6) B．1－eq\f(π,12)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,12)[答案]B[解析]蚂蚁活动的区域为三角形内部，面积为6，而蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的图形的面积是三角形的面积去掉三个扇形面积，即：以三角形的三个顶点为圆心，以1为半径画弧与三角形的边围成的三个小扇形，由于此图形为三角形，所以这三个扇形可拼成一半圆，面积为eq\f(π,2)，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离可拼成一半圆，面积为eq\f(π,2)，所以蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的圆形的面积是6－eq\f(π,2)，所以某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为eq\f(6－\f(π,2),6)＝1－eq\f(π,12).11．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回任取两数，两数都是偶数的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]从6个数字中不放回地任取两数，所有可能的结果如图所示．由图可知，所有可能出现的结果共有15种．记“两数都是偶数”为事件A，则A有3种可能的结果．∴P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).12．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有两个相异实根的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(2－\r(2),2)[答案]D[解析]由Δ>0得a>eq\f(\r(2),2)或a<－eq\f(\r(2),2)(舍去)，∵a>eq\f(\r(2),2)，∴P＝eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)13．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}．其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．[答案]A与B，A与C，C与B，B与D；B与D[解析]事件“两次都击中飞机”发生，则A与D都发生．事件“恰有一次击中飞机”发生，则C与D都发生．A与B，A与C，B与C，B与D都不可能同时发生，B与D中必有一个发生．14．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是eq\f(3,5)和eq\f(1,4)，该市足球队夺得全省足球冠军的概率为________．[答案]eq\f(17,20)[解析]某市甲队夺取冠军与乙队夺取冠军是互斥事件，分别记为事件A、B，该市甲、乙两支球队夺取全省足球冠军是事件A∪B发生，根据互斥事件的加法公式得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,20).15．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．[答案]eq\f(1,3)[解析]如图，这是一个长度的几何概型题，所求概率P＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(1,3).16．甲、乙两射手在同样条件下击中目标的概率分别为0.6与0.7，则至少有一人击中目标的概率为________．[答案]0.88[解析]由概率的一般加法公式得P＝0.6＋0.7－0.6×0.7＝0.88.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．[解析]两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种不同的方法．(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：(0,3)，(1,2)，故P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)中奖的概率为P(B)＝eq\f(1＋1＋2,6)＝eq\f(2,3).18．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.(1)求事件“x＋y<4”的概率；(2)求事件“|x－y|＝3”的概率．[解析]设(x，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，……，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A表示事件“x＋y<4”，则A包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件．∴P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以事件“x＋y<4”的概率为eq\f(1,12).(2)用B表示事件“|x－y|＝3”，则B包括：(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,1)，(5,2)，(6,3)，共6个基本事件．∴P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以事件“|x－y|＝3”的概率为eq\f(1,6).19．(本题满分12分)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某市场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，指针所指区域的数字为购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动.(1)某顾客自己参加活动，求购买到不少于5件该种产品的概率；(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该种产品件数之和为10的概率.[解析](1)设“购买不少于5件该种产品”为事件A，则P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).(2)设“甲、乙两位顾客参加活动，购买该产品数之和为10”为事件B，甲、乙购买产品数的情况共有12×12＝144(种)，则事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9种情况，故P(B)＝eq\f(9,144)＝eq\f(1,16).20．(本题满分12分)已知定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋3.(1)如果a是集合{1,2,3,4}中的任一元素，b是集合{0,2,3}中的任一元素，试求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率；(2)如果a是从区间[1,4]上任取的一个数，b是从区间[0,3]上任取的一个数，试求函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．[解析](1)由题意知基本事件有(1,0)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,2)，(3,3)，(4,0)，(4,2)，(4,3)共12个，要使函数在[1，＋∞)上单调递增，只需对称轴x＝eq\f(b,a)≤1，即a≥b，满足条件的基本事件有9个，故所求概率为P＝eq\f(9,12)＝0.75.(2)这是一个几何概型，如右图，所求概率P＝eq\f(3×3－\f(1,2)×2×3,3×3)＝eq\f(7,9).21．(本题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．[解析]本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决简单的实际问题的能力．(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B1)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝eq\f(11,21).22．(本题满分14分)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，