高中数学 第三章 概率综合素质检测 新人教A版必修3

【成才之路】-学年高中数学第三章概率综合素质检测新人教A版必修3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a、b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%.其中是随机事件的有A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B[解析]由随机事件的概念得：①③是必然事件，②④是随机事件．2．下列试验是古典概型的是()A．从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色B．在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数D．从一组直径为(120±0.3)mm的零件中取出一个，测量它的直径[答案]A[解析]根据古典概型具有有限性和等可能性进行判断．3．(～·吉林油田一中月考)红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件 B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对[答案]C[解析]记事件A＝“甲分得红牌”，记事件B＝“乙分得红牌”，它们不会同时发生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不发生，所以他们不是对立事件，故选C.4．下列命题不正确的是()A．根据古典概型概率计算公式P(A)＝eq\f(nA,n)求出的值是事件A发生的概率的精确值B．根据几何概型概率计算公式P(A)＝eq\f(μA,μΩ)求出的值是事件A发生的概率的精确值C．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的近似值D．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生次数N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的精确值[答案]D[解析]很明显A，B项是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则C项正确，D项不正确．5．(～·甘肃嘉峪关一中高一月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案]D[解析]由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.6．(·安徽)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故选D.7．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积均为()A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(2,3) D．无法计算[答案]B[解析]由几何概型的概率计算公式知eq\f(S阴影,S正方形)≈eq\f(2,3)，而S正方形22＝4，所以S阴影≈eq\f(8,3).8．(·新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]A[解析]记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).9．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b、c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为()A．eq\f(1,12) B．eq\f(7,36)C．eq\f(13,36) D．eq\f(19,36)[答案]D[解析]因为b，c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝b2－4c≥0，显然b≠当b＝2时，c＝1(1种)；当b＝3时，c＝1,2(2种)；当b＝4时，c＝1,2,3,4(4种)；当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6(6种)；当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是eq\f(19,36).10．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，eq\f(1,2)]上为减函数的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(5,6)[答案]D[解析]由题意，函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，eq\f(1,2)]上为减函数满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,\f(b,a)≥\f(1,2))).∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，∴a取1,2时，b可取1,2,3,4,5,6；a取3,4时，b可取2,3,4,5,6；a取5,6时，b可取3,4,5,6，共30种．∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36种等可能发生的结果，∴所求概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故选D.11．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是()A．eq\f(9π,4) B．eq\f(9,4π)C．eq\f(4π,9) D．eq\f(4,9π)[答案]D[解析]本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝eq\f(正方形的面积,圆的面积)＝eq\f(12,(\f(3,2))2π)＝eq\f(4,9π).12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是()A．eq\f(1,10) B．eq\f(7,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(13,15)[答案]C[解析]根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为eq\f(8,15).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]S＝eq\f(180,1000)×12＝0.18.14．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只．[答案]160000[解析]设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以eq\f(400,x)＝eq\f(2,800)，解得x＝160000.15．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．[答案]eq\f(1,10)[解析]由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，知该校共有教师120÷eq\f(4,10)＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，因为在分层抽样中，每一层所占的比例相等，所以不同层中每位教师被抽到的概率相等．则每位老年教师被抽到的概率为P＝eq\f(30,300)＝eq\f(1,10).16．已知函数f(x)＝log2x，x∈[eq\f(1,2)，2]，若在区间[eq\f(1,2)，2]上随机取一点，则使得f(x0)≥0的概率为________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由函数f(x0)≥0得log2x0≥0，解得x0∈[1,2]，又函数f(x)的定义域为[eq\f(1,2)，2)，故f(x0)≥0的概率为eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(·天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X、Y、Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果．(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．[解析](1)从6名同学中选出2人所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}共6种．因此事件M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).18．(本小题满分12分)(～·辽宁模拟)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如右图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，按照指针所指区域的数字购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动．(1)某顾客参加活动，求购买到不少于5件该产品的概率；(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该产品件数之和为10的概率．[解析](1)设“购买到不少于5件该产品”为事件A，则P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).(2)设“甲、乙两位顾客参加活动，购买该产品数之和为10”为事件B，甲、乙购买产品数的情况共有12×12＝144则事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9种情况，故P(B)＝eq\f(9,144)＝eq\f(1,16).19．(本小题满分12分)(～·山东聊城市水城中学高一3月调研)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，(1)求点数之和是5的概率；(2)设a、b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求等式2a－b＝1[解析](1)该试验所有可能的结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件总数为36，记事件A＝“点数之和是5”，则事件A，所含的基本事件为：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，基本事件总数为4，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)要使等式2a－b＝1成立，则须a－b＝0，即先后抛掷两次向上的点数相等，记事件B＝“向上的点数相等”，则事件B所含的基本事件为：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，基本事件总数为6，所以P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).20．(本小题满分12分)(·辽宁)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[解析](1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝eq\f(8,15).21．(本小题满分12分)(～·河北邯郸市一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值茎叶图如图(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天，(1)求恰有一天空气质量超标的概率；(2)求至多有一天空气质量超标的概率．[解析]由茎叶图知：6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f，则从6天中抽取2天的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15.(1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8，∴P(A)＝eq\f(8,15).(2)记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef