高中数学 第二章 概率知能基础测试 新人教B版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学第二章概率知能基础测试新人教B版选修2-3时间120分钟，满足150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,10)p则p的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]∵eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)＋p＝1，∴p＝eq\f(1,2)，故选A.2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是()A．0.1462 B．0.1538C．0.9962 D．0.8538[答案]A[解析]P＝1－eq\f(C\o\al(2,37),C\o\al(2,40))＝0.1462.故选A.3．(·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故选B.4．(·霍邱二中一模)设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.5．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为()A.eq\f(5,21) B．eq\f(2,7)C．eq\f(1,3) D．eq\f(8,21)[答案]D[解析]从10个球中任取4个，有Ceq\o\al(4,10)＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有Ceq\o\al(4,5)·24＝80种，∴所求概率P＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21).6．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是eq\f(2,3)，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是()A.eq\f(40,243) B．eq\f(80,243)C.eq\f(110,243) D．eq\f(20,243)[答案]B[解析]P＝Ceq\o\al(3,5)(eq\f(2,3))3(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(80,243).故选B.7．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为()A．2.5 B．3C．3.5 D．4[答案]C[解析]∵p(ξ＝k)＝eq\f(1,6)(k＝1,2，…，6)．∴E(ξ)＝eq\f(1,6)(1＋2＋…＋6)＝3.5.故选C.8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12) D．eq\f(3,4)[答案]C[解析]由题意P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12).9．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(ξ)和D(ξ)的值分别是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p[答案]D[解析]这是一个两点分布，分布列为ξ01P1－pp∴E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)．故选D.10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A．0.9 B．0.2C．0.7 D．0.5[答案]D[解析]设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.故选D.11．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq\f(3,10)的事件为()A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多2只是坏的[答案]C[解析]ξ＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)，∴P(ξ＝1)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6).故选C.12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为()A.eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P.则E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．[答案]②④[解析]由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋P(B∩A3)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(5,10)·eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)·eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)·eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).故①③⑤不正确．15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是____________．[答案]eq\f(4,9)[解析]设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,4).∴Eξ＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,9)＋4×eq\f(1,36)＝eq\f(4,9).16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．[答案]eq\f(4,7)[解析]本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力．由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21).∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(10,21)eq\f(10,21)eq\f(1,21)∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(10,21)＋1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(12,21)＝eq\f(4,7).三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq\f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．[解析]由题意知，用X表示成功的人数，则X服从n＝3，p＝eq\f(3,4)的二项分布，于是有P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))3－k，k＝0,1,2,3.所以X的分布列为X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)18.(本题满分12分)(·湖南理，17)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5)，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．[解析](1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,5).则P(B)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝eq\f(13,15)，所以至少一种产品研发成功的概率为eq\f(13,15).(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(2,15)；P(ξ＝120)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(4,15)；P(ξ＝100)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)；P(ξ＝220)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)eq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)则数学期望E(ξ)＝0×eq\f(2,15)＋120×eq\f(4,15)＋100×eq\f(1,5)＋220×eq\f(2,5)＝32＋20＋88＝140.19．(本题满分12分)一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．[解析]P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.62＋Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＝0.3，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.62＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＋Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.42＝0.37，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.42＝0.2，P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到随机变量ξ的概率分布列为ξ01234P0.090.30.370.20.04所以E(ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.20．(本题满分12分)(·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．[解析](1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是eq\f(1,18).(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).21．(本题满分12分)(·沈阳市质检)为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．[解析]记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci.由题意知，P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(i＝1,2,3)．(1)3人选择的项目所属类别互异的概率P＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3).由X～B(3，eq\f(2,3))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1－eq\f(2,3))3－k(k＝0,1,2,3)，∴X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其数学期望为E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.22．(本题满分14分)甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．[解析](1)解法1：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)即ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(2,9)＋2×eq\f(4,9