第68讲、曲线的轨迹方程（教师版）

第68讲曲线的轨迹方程知识梳理一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．必考题型全归纳题型一：直接法例1．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是.【答案】（）【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外），即以的中点为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹方程是.故答案为：.例2．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】设，由得，则，即.故答案为：例3．（2024·全国·高三专题练习）已知两条直线和，有一动圆与及都相交，并且、被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是．【答案】【解析】设圆心的坐标为，圆的半径为，点到、的距离分别为、，则，，得．由题意可得：，，即，化简得．即．故答案为：.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为.【答案】【解析】设，由题设有，整理得到，故.故答案为：.变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】设，因为动点到点和的距离之比为，所以，，即：，所以，即，所以点的轨迹方程是.故答案为：变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上一定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为；【答案】【解析】设，则，由·=0，得，即，化简得，所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．故答案为：题型二：定义法例4．（2024·全国·高三专题练习）若，，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】【解析】因为，所以点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.故答案为：例5．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设，点到直线的距离为d，如图，只能在直线的左侧，则，因为圆的圆心为，半径为1，依题意可得，即，化简可得，故圆的圆心的轨迹方程为．故答案为：.例6．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【答案】【解析】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：变式4．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为；【答案】【解析】由，知点G是的重心，取点，，不妨设，，则，，且，所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点），设椭圆的方程是，则，，于是，即，从而，点的轨迹方程为：.故答案为：变式5．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为.【答案】，【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为，，即，.故答案为：，变式6．（2024·全国·高三专题练习）中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为．【答案】.【解析】根据正弦定理，由，所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，由，所以A点的轨迹方程为，故答案为：.变式7．（2024·全国·高三专题练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，所以，所以圆心的轨迹为椭圆.其中，，故，因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.故答案为：.变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【答案】．【解析】由题意，在线段的垂直平分线上，则，所以，又，所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，，，，则，所以轨迹方程为．故答案为：．变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；【解析】因为，即，所以，半径为，如图，根据题意可知，又，所以，故，又，所以，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，这里，故，所以点的轨迹方程为：.变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为.【答案】【解析】由题意得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦.又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为与相减，即.又，所以，代入有，化简得.当时，；当时，均满足方程.又当时，不满足题意.综上点的轨迹方程为，故答案为：变式11．（2024·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．【答案】【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.故答案为：变式12．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．(1)求动点P的轨迹方程；【解析】（1）由题意得，，．因为D为中点，所以，即，又，所以，又E为的中点，所以，所以，所以动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设动点P的轨迹方程为：，其中，．则，，，．故动点P的轨迹方程为：．题型三：相关点法例7．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为．【答案】.【解析】设点，由得点，而点P为椭圆上的任意一点，于是得，整理得：，所以点M的轨迹方程是.故答案为:例8．（2024·福建泉州·高三校考开学考试）是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是.【答案】【解析】设，则，解得，即，则，整理得，故点的轨迹方程是.故答案为：.例9．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为．【答案】【解析】设线段中点为，，则，即，因为点为圆上的点，所以所以，化简得：故答案为：变式13．（2024·全国·高考真题）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．【答案】【解析】设，，则，即，又，则，整理得，即点M的轨迹方程为.故答案为：变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为．【答案】【解析】设，．由点G为的重心，得，所以．又在抛物线上，所以，即．又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．故答案为：变式15．（2024·全国·高三专题练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是．【答案】【解析】设点，则，设，，则，，，，，，又，，，，即.故答案为：.变式16．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为．【答案】【解析】设，因为，所以是的重心，因为，所以，所以,所以点在的角平分线上，因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.所以点，即，又，所以与轴平行，又，所以,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，，当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.所以点的轨迹方程为.故答案为：题型四：交轨法例10．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是．【答案】【解析】联立两直线得，将这两式相乘，消去参数m，得，即，可得轨迹方程为．故答案为：例11．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为.【答案】或【解析】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.由可得，故，故在处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为，联立，即.联立直线与抛物线方程：，消去得，由题或.由韦达定理，，得，其中或，故点的轨迹方程为：或.故答案为：或例12．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为.【答案】【解析】因为A，B分别为椭圆的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，由，，得，，两式相乘得∶，化解得.故答案为：.变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为．【答案】（）．【解析】设，因为椭圆的长轴端点为，设直线和的交点为，因为三点共线，所以，，因为三点共线，所以，两式相乘得，（）,因为，所以，即，所以，整理得（），所以直线和的交点的轨迹方程（）.故答案为：（）.变式18．（2024·全国·高三专题练习）直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点，点为抛物线的顶点，过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点．分别过点、作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．【答案】【解析】设点、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理，可得，，显然抛物线在点处切线斜率存在且不为，设其方程为，由，消去并整理，得，解得或，因此有，解得，则抛物线在点处切线方程为，即，同理抛物线在点处切线方程为，而，由，解得，，于是得两条切线的交点在直线上，又，所以两条切线的交点的轨迹方程为．故答案为：.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为：．【答案】【解析】，，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：，，联立：，得：，，又，过的切线的斜率分别为：，故过点和点的切线方程为：，联立：，解得：，，故点P的轨迹方程为：.故答案为：.变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】如图所示：设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且c=3，a=1，所以点的轨迹方程为故答案为：变式21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.

【答案】（不唯一）【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，化简，得，当时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式，故杆的交点P的轨迹方程是.因为取原点的位置不一样，所以答案不一样.故答案为：（答案不唯一）.变式22．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.(1)求椭圆的方程；(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.【解析】（1）设椭圆方程E：+=1由AC两点可知：，解得=16，=12，所以椭圆方程为；（2）设，M（，）N（，）联立（3+12my-36=0直线AM：=直线BN：=消去：，因斜率不为0，该直线方程：.变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.【解析】（1）根据题意可得，解得，∴求椭圆C的方程为（2）根据题意可得直线AE：，BF：，由可得，所以，故，故，同理，，故，因为三点共线，故共线，而，故，整理得到：或，若，则由可得，这与题设矛盾，故.联立方程，解得，∴P点的轨迹方程为变式24．（2024·山西阳泉·高三统考期末）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．(1)证明：；(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．【解析】（1）设，，因为三点共线，所以,所以，整理可得，所以，所以．（2）设，，，由题意，，因为，，所以，又因为，，所以，整理得．因为在轴同侧，所以，同理可得，所以直线的方程为，同理的方程为，两式联立代入，可得，由题意可知交点不能在x轴上，所以交点的轨迹方程为．变式25．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．(1)当时，求的大小；(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．【解析】（1）设直线l的方程为，由，消去x并整理得，设，，则，，当时，，，因，，即，所以．（2）显然，当轴时，直线AB：，四边形是矩形，x，y轴分别为其对称轴，则直线AD与BC交于原点，当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知，，且此时，，，则有，即有，因此点共线，同理点共线，即直线AD与直线BC交于原点，所以直线AD与直线BC的交点恒为原点．（3）由（1）知，，显然抛物线在点A处切线斜率存在且不为0，设其方程为：，由消去x并整理得：，解得或，因此有，解得，则抛物线在点A处切线方程为，即，同理抛物线在点B处切线方程为，而，由解得，于是得两条切线的交点在直线上，又，所以两条切线的交点的轨迹方程为．变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线过点，直线与抛物线C交于A，B两点.(1)若，求直线l的方程；(2)过点作直线和，其中交C于M，N两点，交C于P，Q两点，M，P位于x轴的同侧，Q，N位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.【解析】（1）∵抛物线过点，∴，抛物线.联立消去x并整理，得，设，，则，.∵.∴，∴（舍去）或，∴.∴直线l的方程为或.（2）设，，，.由（1）可知，，.直线的斜率为，直线的方程为，同理，直线的方程为，联立化简可得，.，，，.解得，则直线，的交点在直线上，∴直线，交点的轨迹方程为.变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．（1）试求抛物线的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．①求证：直线恒过定点；②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．【解析】（1）解依题意，设，，则由，得，即，因为，，所以，故，，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，，故抛物线的方程为.（2）①证明

由题意可设直线的方程为，，，由，消去，得，故，，.因为，所以.即.整理得，，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.②解

设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.题型五：参数法例13．（2024·全国·高三专题练习）方程(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是(结果化为普通方程)【答案】【解析】圆化为，它表示以为圆心，为半径的圆，设圆心坐标为，于是得(t为参数)，消去t得：，所以所求圆心轨迹方程是.故答案为：例14．（2024·全国·高三专题练习）已知，，当时，线段的中点轨迹方程为．【答案】【解析】因为，，所以中点坐标为，即，设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标，，，，即当时，线段的中点轨迹方程为，故答案为：例15．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知O为坐标原点，，A是上的动点，连接OA，线段OA交于点B，过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为．【答案】【解析】设则，由题意可得，消参可得：所以点的轨迹方程为．故答案为：变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知在中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，若，则点P的轨迹方程为．【答案】【解析】由题得，则，即，又，为的内角，则，则有，故，由题可设，，，则，所以且，则，即.故答案为：题型六：点差法例16．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆．(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，当时，．当时，，两式相减得，即(*)，因为，，，所以，代入上式并化简得，显然满足方程.所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．（2）设，在（1）中式子里，将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.（3）在（1）中式子里，将，，代入上式可求得．所以直线方程为．例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.【解析】设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：例18．（2024·全国·高三专题练习）已知：椭圆，求：（1）以为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【解析】（1）设弦的端点，，可得：，，相减可得：，把，，代入可得：．∴以为中点的弦所在直线的方程为：，化为：．（2）设直线方程为：，弦的端点，，中点．联立，化为，，化为：，∴，化为：．得，∴变式29．（2024·全国·高三专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是．【答案】(或).【解析】设直线为，与双曲线交点为，联立双曲线可得：，则，即或，所以，故，则弦中点为，所以弦的中点的轨迹方程为(或).故答案为：(或)变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是．【答案】【解析】设这组平行直线的方程为，联立方程组，整理得，由可得，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，即这些点均在轨迹上，即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是.故答案为：．变式31．（2024·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【答案】【解析】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．由题意知，则，∴点的轨迹方程为．又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.变式32．（2024·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为．【答案】【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得或，所以，所求得轨迹方程为．故答案为：．题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹例19．（2024·北京·高三强基计划）在正方体中，动点M在底面内运动且满足，则动点M在底面内的轨迹为（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对【答案】A【解析】因为，故在圆锥面上，该圆锥以为轴，为顶点，而M在底面内，故动点M在底面内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧．故选：A.例20．（2024·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且．那么，动点C在平面内的轨迹是（

）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点【答案】B【解析】连接.，则，又，，平面，则平面，又平面，则，则动点C在平面内的轨迹是以为直径的圆（去掉两个点）.故选：B例21．（2024·云南保山·统考二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（

）A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆【答案】C【解析】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，设，可得，，因为直线与的所成角为，则，化简可得，所以点Q的轨迹为抛物线.故选：C.变式33．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正四棱柱中，连接，如图，，平面，因为平面，则，又平面，，则平面，又平面，则，取中点，连接，在平面内过作，交于，显然，而平面，则平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因为平面，，从而平面，连接，则点的轨迹为平面与四棱柱的交线，即，因为，即有，又，于是，有，，所以点的轨迹长为.故选：A变式34．（2024·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（

）A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【解析】设在内的射影为，到的距离为，以与的交点为原点，为轴，为轴，与的公垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则到的距离为.过点作于点，过点作于点，又在内的射影为，则，连结,又，，所以平面，又平面，所以，所以，所以则到的距离为,因为点到、距离相等，所以，即，所以点在平面内的轨迹为双曲线.故选：C.变式35．（2024·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延长，交的延长线与，连接，分别交，于，过点作交于点，过点作交于点，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，所以平面平面，过点作交于点，连接，则则平行四边形（点除外）为点的轨迹所构成的图形，因为正方体棱长为4，，分别为棱，的中点，，所以，因为，所以，过点作⊥于点，则，则由几何关系可知，所以，由勾股定理得，所以点的轨迹所构成的周长为.故选：D题型八：复数与圆锥曲线的轨迹例22．（2024·辽宁朝阳·统考二模）已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为．【答案】【解析】∵复数在复平面内所对应点，又，∴，即点到点，和的距离之和为6，且两定点的距离为，故点的运动轨迹是以点为焦点的椭圆，且，故，∴复数在复平面内所对应点的轨迹方程为：，故答案为：．例23．（2024·全国·高三专题练习）设复数满足，在复平面内对应的点为，则在复平面内的轨迹方程为．【答案】【解析】因为且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，为长轴的椭圆，所以的轨迹方程为故答案为：例24．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数为虚数单位为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为（

）A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射线【答案】D【解析】由题意可知，复数在复平面内对应的点，所以，因为为纯虚数，所以，解得或，故在复平面内，对应的点的轨迹为不含端点的4条射线.故选：D.变式36．（2024·全国·高三专题练习）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（

）A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆【答案】A【解析】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（

）A．线段 B．直线C．椭圆 D．椭圆的一部分【答案】A【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.故选：A变式38．（2024·全国·高三专题练习）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.故选：D变式39．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【答案】B【解析】设，求出，判断出点的轨迹是圆.设，由可得：，两边平方得：，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.故选：B变式40．（2024·辽宁抚顺·高三校联考期末）若复数满足.则复数在复平面内的点的轨迹为（

）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线【答案】C【解析】设复数，由题意可得，则，故复数在复平面内的点的轨迹为圆.故选：C.题型九：向量与圆锥曲线的轨迹例25．（2024·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】A【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，∴动点的轨迹一定通过的重心，如图，故选A．例26．（2024·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心【答案】D【解析】由题设，而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，所以P的轨迹一定通过的重心.故选：D例27．（2024·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】设线段的中点为，则、互为相反向量，所以，，因为，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分线段，因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.故选：D.变式41．（2024·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，，，，则，，，，则，设，则，，，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.变式42．（2024·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【解析】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆.故选:A.变式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，又角为锐角，所以．因此，．由得．由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为的菱形，．于是这个菱形的面积．故选：A．变式44．（2024·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆【答案】D【解析】方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】B【解析】设的中点为，因为，所以，即，两端同时点乘，所以，所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B.题型十：利用韦达定理求轨迹方程例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，点在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程．【解析】（1）由题意，b＝1，，又，解得b＝1，，c＝1．故椭圆C的方程为．（2）直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为．设，，．将代入，得．于是，．①由题意，有，即．显然点不在直线上，∴，从而．将式①代入，得，化简得．当直线MN的斜率不存在时，经检验符合题意．故满足题意的点P的轨迹方程为直线x＝2．【反思】右焦点关于椭圆C的极线是其右准线x＝2，又∵点P满足，∴动点P在F的极线x＝2上．本题是命题2的逆向应用．例29．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

(1)求曲线的方程；(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．【解析】（1）由题意得，又，则，曲线的方程为；（2）设直线的斜率分别为，直线为，由，得，，，则，，由于点关于原点的对称点为点，，则直线为，直线为，显然，由，得，即，则直线的方程为，由得，即，当时，由对称性可知在轴上，此时直线平行于直线，不符合题意，故的轨迹方程为．例30．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程；【解析】直线l过点，点M在椭圆内部，所以直线总与椭圆相交.当的斜率存在时，设斜率为，则的方程为.联立直线与椭圆的方程，消去得，设、，则，则，于是.设点P的坐标为，则，由①÷②得，代入②整理得③当的斜率不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为．变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点，且椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过A，过点A作线段PQ的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程.【解析】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意知，直线的斜率不为0，则不妨设直线的方程为，联立消去得，，化简整理得，设，则，因为以线段为直径的圆经过，所以,得，将代入上式，得，得，解得或（舍去）．所以直线的方程为，则直线恒过点因为过点做的垂线，垂足为，所以在以为直径的圆周上，所以点的轨迹方程为：除去点变式47．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线与直线．(1)若直线与双曲线C相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线的方程；(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解析】（1）设，则，所以，因为点是线段AB的中点，所以，所以，故，所以直线的斜率为1，所以，又点在直线上，所以直线的方程为，联立，化简可得，所以或，满足条件；所以直线的方程为.（2）当时，直线与双曲线有两个交点，不满足要求，由已知有且仅有一组解，所以方程有且只有一个根，又，所以，所以，设，则，，因为，所以直线的方程为，令，可得，令，可得，又，，所以，，所以，，所以轨迹方程为，所以点轨迹为焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线挖去点.变式48．（2024·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，