2020年浙江省丽水市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

-.选择题（共10小题）

1.有理数3的相反数是（）

1

A.-3B.--C.3D.-

33

2.分式注的值是零，则x的值为（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

3.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()

22222D._Q2_〃

A.a+bB.2a-bC.a-b

4.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

5.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概

6.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘A8的垂线。和b,得到理由是（）

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

k

7.已知点（-2,a）.（2,b）,（3,c）在函数＞=一（左＞0）的图象上，则下列判断正确的是（）

X

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<hD.c<h<a

8.如图，。。是等边△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点£F,D,尸是上一点，则NEPF的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

9.如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为九则列出方程正确的是（）

A.3x2x+5=2xB.3x20x+5=10xx2

C.3x20+x+5=20xD.3x（20+x）+5=10x+2

10.如图，四个全等的直角三角形拼成〃赵爽弦图〃，得到正方形4BCD与正方形EFG从连结EG,8。相交于点。，BD

与”C相交于点P.若GO=GP,则把9的值是（）

3正方形EFGH

A.1+V2B.2+V2C.5-72D.y

二.填空题（共6小题）

11.点P（M7,2）在第二象限内，则胆的值可以是（写出一个即可）.

12.数据1,2,4,5,3的中位数是.

13.如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为cm?.

3/71

敢也cm$

rMfi向

14.如图，平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中a的度数是1

15.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A,B,C均为正六边形

的顶点，A8与地面BC所成的锐角为人贝han4的值是.

16.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,BD（点A与点B重合），点。是夹子

转轴位置，OEJ_AC于点£0尸1.2。于点?OE=OF=\cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用

手指按夹子，夹子两边绕点。转动.

（1）当E,尸两点的距离最大值时，以点人B,C,。为顶点的四边形的周长是cm.

（2）当夹子的开口最大（点C与点。重合）时，AB两点的距离为cm.

三.解答题（共8小题）

17.计算：（―2020）°+"-tan45°+|-3|

18.解不等式：5x-5<2（2+x）

19.某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱体

育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息回

答下列问题：

咕取的堂中■体育徽馈蝎目的林计今

类别项目人数

A跳绳59

B健身操▲

C俯卧撑31

D开合跳▲

E其它22

抽取的学生■事景体筑Ml目的廨招统计囹

D/KMK

11%

24%//

-..AC箫孙博

CX

29.5%。弄令戈

B\

(1)求参与问卷调查的学生总人数.

(2)在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

(3)该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.

20.如图，A8的半径OA=2,OCL4B于点C,NAOC=60。.

(1)求弦AB的长.

(2)求A8的长.

21.某地区山峰的高度每增加1百米气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象

解决下列问题：

(1)求高度为5百米时的气温.

(2)求T关于h的函数表达式.

(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.

22.如图，在△ABC中，AB=4近，NB=45。，ZC=60°.

(1)求8c边上高线长.

(2)点£为线段AB的中点，点尸在边AC上，连结EF,沿E尸将AAEF折叠得到△尸EF.

①如图2,当点P落在BC上时，求NAEP的度数.

②如图3,连结AP,当PF_LAC时，求4P的长.

23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=—；(x—加了+4图象的顶点为A与y轴交于点B,异于顶点A

的点C(l,n)在该函数图象上.

(1)当，”=5时，求〃的值.

(2)当〃=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当＞22时，自变量x取值范围.

(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点8在x轴上方，且在线段。。上时，求m取值范围.

24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB,0C的中点D,E

作AE,AD的平行线，相交于点F,已知0B=8.

(1)求证：四边形AEED为菱形.

(2)求四边形4EED的面积.

（3）若点尸在x轴正半轴上（异于点。），点。在），轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G为顶点的

四边形与四边形AEFO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.

备用图

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

-.选择题（共10小题）

1.有理数3的相反数是（）

11

A.-3B.--C.3D.一

33

【答案】A

【分析】

依据相反数的定义求解即可.

【详解】解：3的相反数是-3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义.只有符号不同的两个数称互为相反数.

2.分式名的值是零，则x的值为（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】

分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零.

【详解】解：依题意，得

x+5=0,且x-2/O,

解得，x=-5,且x#2,即答案为x=-5.

故选：D.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为

0.这两个条件缺一不可.

3.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）

A.a2+b2B.2a-b2C.a2-h2D.-a2-b2

【答案】C

【分析】

根据平方差公式的特点分析即可.

【详解】解：A、/+〃不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

B、2a-6不能运用平方差公式分解，故此选项错误：

C、尸能运用平方差公式分解，故此选项正确：

D、_"一〃不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

故答案为C.

【点睛】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方

的形式且符号相反.

4.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

A.

【答案】C

【分析】

根据中心对称的图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这

个图形就是中心对称图形.

【详解】A选项不是中心对称图形，故本选项错误；

8选项不是中心对称图形，故本选项错误；

C选项是中心对称图形，故本选项错误；

。选项不是中心对称图形，故本选项错误；

故本题答案选C.

【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义，理解定义是解本题的关键.

5.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概

11

C.一D.-

2336

【答案】A

【分析】

根据概率公式直接求解即可.

【详解】解：•••共有6张卡片，其中写有1号的有3张,

.♦・从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是3=2，

62

故选：A.

【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.

6.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘A8的垂线a和4得到。〃b,理由是()

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

分析】

根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可.

【详解】解：

,由题意a_LAB,b±AB,

.\Z1=Z2

；.a〃b

所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

k

7.已知点(-2,a),(2,b),(3,c)在函数y=、(Z>0)的图象上，则下列判断正确的是()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】

k

根据反比例函数的性质得到函数丁=一（火>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随x的增大而减小，则

X

b>c>0,a<0.

【详解】解：vfc>0,

k

二函数y=—（Z>0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随X的增大而减小，

X

Q-2<0<2<3,

,\b>c>0,a<0,

：.a<c<b.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

8.如图，。。是等边△A5C的内切圆，分别切AB,BC,4C于点£F,D,尸是上一点，则NEPF的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【答案】B

【分析】

连接OE,OF.求出NEOF的度数即可解决问题.

【详解】解：如图，连接OE,OF.

•・・。0是4ABC的内切圆，E,F是切点，

AOE1AB,OF1BC,

.,.ZOEB=ZOFB=90o,

「△ABC是等边三角形，

・・・ZB=60°,

AZEOF=120°f

.\ZEPF=—ZEOF=60°,

2

故选：B.

A

ED

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考常考题型.

9.如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内数字为乂则列出方程正确的是（）

A.3x2x+5-2xB.3x20x+5=10xx2

C.3x20+x+5=20xD.3x（20+x）+5=10x+2

【答案】D

【分析】

直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可.

【详解】解：设“□”内数字为X,根据题意可得：

3x（20+x）+5=10x+2.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键.

10.如图，四个全等的直角三角形拼成"赵爽弦图"，得到正方形A8C。与正方形EFG凡连结£G,BD相交于点。，BD

与HC相交于点P.若GO=GP,则浮典的值是（）

A.1+也B.2+V2c.5-V2D.y

【答案】B

【分析】

证明DBPG@DBCG（AS4）,得出PG=CG.设OG=依=CG=x,则EG=2x,FG=缶，由勾股定理得出

BC2=（4+2夜*,则可得出答案.

【详解】解：四边形EFG”为正方形，

\?EGH45?,NFGH=90°,

QOG=GP,

\?GOP?OPG67.5?,

\?PBG22.5?,

又NDBC=45。,

\2GBe22.5?,

\?PBG?GBC,

Q?BGP?BG90?,BG=BG'

\DBPG@DBCG（ASA）,

\PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

O为EG,BD的交点，

\EG-lx,FG=&x,

四个全等的直角三角形拼成"赵爽弦图"，

\BF=CG=x,

\BG=x+A/2X,

\BC2=BG-+CG2=_?（&++V=（4+2夜）d,

SJE方.seo=G+2回x-=2+企.

SjE方形印G"2x

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾

股定理的应用是解题的关键.

二.填空题（共6小题）

11.点P。"，2）在第二象限内，则胆的值可以是（写出一个即可）.

【答案】-1（答案不唯一，负数即可）

【分析】

根据第二象限的点符号是+”，m取负数即可.

【详解】•.•点尸（〃?，2）在第二象限内，

m<0,

m取负数即可，如m=-l,

故答案为：-1（答案不唯一，负数即可）.

【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是+”是解题的关键.

12.数据1,2,4,5,3的中位数是.

【答案】3

【分析】

先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数.

【详解】解：数据1,2,4,5,3按照从小到大排列是1,2,3,4,5,

则这组数据的中位数是3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数.

13.如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为cm?.

【答案】20

【分析】

根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积.

【详解】解：该几何体的主视图是一个长为5,宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2.

故答案为：20.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

14.如图，平移图形与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中a的度数是一°.

【答案】30

【分析】

根据平行四边形的性质解答即可.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形,

\?D180??C60?,

\la180?(540?70?140?180?)30?,

故答案为：30.

【点睛】此题考查平行四边形的性质和多边形的内角和，关键是根据平行四边形的邻角互补解答.

15.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A,B,C均为正六边形

的顶点，A8与地面BC所成的锐角为贝han/?的值是.

【答案】y|V3

【分析】

作AT//BC,过点B作BHLAT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距=旦然后再•求出

2

BH、AH即可解答.

【详解】解：如图，作AT//BC,过点B作BH_LAT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距

-V3

------------<1

2

观察图像可知：

719

BH=6。+7。•sin30-6a+—a-——a

22

AH=5xacos30=^a

2

19

BH3a

所以ta加通=诙=百19石•

F

故答案为.

【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角

形求解.

16.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,BD(点A与点B重合)，点O是夹子

转轴位置，OE1.AC于点E,OF_L2。于点£OE=OF=\cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用

手指按夹子，夹子两边绕点O转动.

(1)当E,尸两点距离最大值时，以点4,B,C,。为顶点的四边形的周长是cm.

(2)当夹子的开口最大(点C与点。重合)时，A,B两点的距离为cm.

【答案】⑴.16(2).—

【分析】

(1)当E、0、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm,根据

矩形的性质求出周长即可.

（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接0C并延长交AB于点H,可得C"_LAB,AH=BH,利用已

1QnpAU

知先求出*=—cm,在RJOEF中利用勾股定理求出CO的长，由sinNSCO=—=——,求出AH,从

5COAAC

而求出AB=2AH的长.

【详解】（1）当E、0、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD=EF=2cm,

以点A,B,C,。为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm.

（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接0C并延长交AB于点H,

ACH±AB,AH=BH,

VAC=BD=6cm,CE：AE=2：3,

.312

..CE=—cm,

5

i1Q

在RtAOEF中，CO=4OE2+CE2=—,

OF30

•••sin乙ECO=—系,AH

CO13

•••AB=2AH=—.

13

故答案为16,——•

13

【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关

键.

三.解答题（共8小题）

17.计算：（—2020）°+V4-tan45°+|-3|

【答案】5

【分析】

利用零次鬲的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可.

【详解】解：原式=1+2-1+3=5.

【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次鬲、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质.

18.解不等式：5x-5<2(2+x)

【答案】x<3

【分析】

去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可.

【详解】解：5x-5<2(2+x),

5x-5<4+2x

5x-2x<4+5,

3x<9,

x<3-

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式步骤是解题的关键.

19.某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体

育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项)，得到如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息回

答下列问题：

咕取的学生■体育的蟾孽目的域计K

类别项目人数

A跳绳59

B健身操▲

C俯卧撑31

D开合跳▲

E其它22

抽取的学生■•爱体育悔嫌Ml目的就用统计囹

B

f

(1)求参与问卷调查的学生总人数.

(2)在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

(3)该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.

【答案】⑴200;(2)48;(3)1600

【分析】

(1)从统计图表中可得，“E组其它”的频数为22,所占的百分比为11%,可求出调查学生总数；

(2)“开合跳”的人数占调查人数的24%,即可求出最喜爱“开合跳”的人数；

(3)求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数.

【详解】解：⑴22X1%=200.

.♦•参与问卷调查的学生总人数为200人.

(2)200x24%=48.

答:最喜爱“开合跳”的学生有48人.

(3)抽取学生中最喜爱“健身擦’的初中学生有200-59-31-48-22=40(人)，

40

—x8000=1600.

200

.,•最喜爱“健身操”的初中学生人数约为1600人.

【点睛】本题考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键.

20.如图，的半径。4=2，OC±AB=^^C,NAOC=60。.

(1)求弦A8的长.

(2)求AB的长.

【答案】(1)2®(2)

【分析】

(1)根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；

(2)根据NAOC=60。，可以得到NAOB的度数，然后根据弧长公式计算即可.

【详解】解：(1)AB的半径Q4=2,OCJ_AB于点C,ZAOC=60°.

\AC=OAg;in60?2?第g,

AB=2AC=2百；

（2）OC±AB,ZAOC=60°,

:.ZAOB=\20°,

OA=2,

120万x2_4万

AB的长是

180

【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答

21.某地区山峰的高度每增加1百米气温大约降低06c.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象

解决下列问题：

(1)求高度为5百米时的气温.

(2)求T关于h的函数表达式.

(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.

【答案】⑴12c(2)T=-0.6h+15;(2)15;⑶该山峰的高度大约为15百米

【分析】

(1)根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃,由3百米时温度为13.2。。即可得出高度为5百米时的气温；

(2)应用待定系数法解答即可；

(3)根据⑵T=-0.6h+15的结论，将T=6代入,解答即可.

【详解】解：⑴由题意得高度增加2百米，则温度降低2x0.6=1.2(℃).

A13.2-1.2=12

，高度为5百米时的气温大约是12℃.

(2)设T=-0.6h+b(k/)),

当h=3时，T=13.2,

13.2=-0.6x3+b,

解得b=15.

；.T=-0.6h+15.

(3)当T=6时，6=-0.6h+15,

解得h=15.

该山峰的高度大约为15百米.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答

问题.

22.如图，在AABC中，AB=4日ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC边上的高线长.

(2)点E为线段A8的中点，点厂在边AC上，连结EF,沿所将折叠得到

①如图2,当点P落在BC上时，求NAEP的度数.

②如图3,连结AP,当PFLAC时，求AP的长.

【答案】(1)4;(2)①90。；②2"

【分析】

(1)如图1中，过点A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出AD即可.

(2)①证明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解决问题.

②如图3中，由(1)可知：AC=，^2_=®1,证明△AEFsaACB,推出=由此求出AF即可解决

sin60°3ABAC

问题.

【详解】解：(1)如图1,过点4作4QL8C于点。，

在RtzMBO中，AD=Agsin45°=4>/2x—=4.

2

（2）①如图2,VAAEF^APEF,

：.AE=EP,

又〈AE=BE,

：.BE=EP,

：.ZEPB=ZB=45°,

：.ZAEP=90°.

A

£/；

/XAf

BPC

ffi2

②如图3,由（1）可知：在RtZSADC中，AC=-^-=—

sin6003

VPF1AC,

・・・ZPFA=90°.

•・・AAEF^APEF,

：・NAFE=NPFE=45。,则NAFE=NB.

又・・・NE4F=ZCAB,

J△CAB,

：.AF=2G

在RtAAFP中，AF=PF,则AP=垃AF=2卡.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=—L（x—加）2+4图象的顶点为A与y轴交于点B,异于顶点A

的点C（l,"）在该函数图象上.

（1）当m=5时，求〃的值.

（2）当〃=2时，若点4在第一象限内，结合图象，求当yN2时，自变量x的取值范围.

（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点8在x轴上方，且在线段。。上时，求m的取值范围.

【答案】⑴-4（2）l<r<5（3）09?<1或1<“<2逝

【分析】

1）利用待定系数法求解即可.

（2）求出y=2时，x的值即可判断.

（3）由题意点3的坐标为（0,-《/+4）,求出几个特殊位置加的值即可判断.

【详解】解：⑴当加=5时，y=-1（x-5）2+4,

当X=1时，n=--?424=-4.

2

1,1

（2）当〃=2时，将。（1,2）代入函数表达式），=一5。一机）2+4,得2=-31-〃。2+4,

解得m=3或一1（舍弃），

,此时抛物线对称轴x=3,

根据抛物线的对称性可知，当y=2时，x=l或5,

\X的取值范围为啜！k5.

（3）点A与点C不重合，

抛物线的顶点A的坐标是(m,4),

•••抛物线的顶点在直线y=4上，

当x=0时，y---m2+4,

二点B的坐标为(0,-+4),

抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，加逐渐减小，点5沿轴向上移动,

当点3与。重合时，-：川+4=0,

解得机=2夜或一2&，

当点3与点。重合时，如图2,顶点A也与8,。重合，点8到达最高点，

二点伙0,4),

\--m2+4=4,解得m-0,

2

当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点8不在线段8上，

B点在线段OD上时，的取值范围是：0,,机＜1或1＜机＜2夜.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是

理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题.

24.如图，在平面直角坐标系中，正方形A80c的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB,OC的中点D,E

作AE,AD的平行线，相交于点F,已知OB=8.

(1)求证：四边形AEFD为菱形.

(2)求四边形AEFQ的面积.

(3)若点P在x轴正半轴上(异于点。)，点。在)，轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G为顶点的

四边形与四边形相似？若存在，求点尸的坐标；若不存在，试说明理由.

568

【答案】⑴证明见解析；⑵48；(3)点P的坐标为(12.0),(24.0),(―,0),(-,0),(16.0)

97

【分析】

(1)结合正方形性质求得△ACE名AABD,从而得至UAE=AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

(2)连接DE,求出^ADE的面积即可解决问题.

(3)首先证明AK=3DK,①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2,图3两种情形.②当AP为菱形的

边，点Q在x轴的下方时，有图4,图5两种情形.③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形.分

别利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)：DF〃AE,EF〃AD,

四边形AEFD是平行四边形.

:四边形ABOC是正方形，

.\OB=OC=AB=AC,NACE=/ABD=90°.

•.•点D,E是OB,OC的中点，

；.CE=BD,

.二△ACE也△ABD(SAS),

/.AE=AD,

是菱形

(2)如图1,连结DE

SAABD——AB-BD--x8x4=16,SAODE——OD-OE——x4x4=8,

2222

，SAAED=S正方彩ABOC-2SAABD一SAODE-64-2X16-8=24,

S英彩AEFD=2SAAED=48

(3)由图1,连结AF与DE相交于点K,易得AADK的两直角边之比为1:3

1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况：

•.,菱形PAQGs菱形ADFE,

.•.△APH的两直角边之比为1:3

过点H作HNLx轴于点N,交AC于点M,设AM=t

；HN〃OQ,点H是PQ的中点，

.•.点N是0P中点，

.••HN是AOPQ的中位线，

.\ON=PN=8-t

又：N1=/3=90。-N2,ZPNH=ZAMH=90°,

.,.△HMA^APNH,

.AM_MH_I

,•HN-PN-3'

，HN=3AM=3t,

；.MH=MN-NH=8-3t.

VPN=3MH,

.*.8-t=3(8-3t),解