2021-2022学年新教材苏教版选择性必修第一册-5.1.1-平均变化率-学案

5．1导数的概念5．平均变化率新课程标准解读核心素养，了解平均变化率的实际意义数学抽象数学运算下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图．[问题](1)从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增〞的时段，它的数学意义是什么？(2)如何比拟不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25℃，10时的气温是29℃，12时的气温是30℃，那么如何比拟从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？知识点函数的平均变化率函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)．eq\a\vs4\al()1．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化〞，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化〞．2．平均变化率可正可负，也可为零．但是，假设函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．1．函数f(x)＝x2在[1，3]上的平均变化率为()A．4 B．3C．2 D．1答案：A2．函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB，那么直线AB的斜率为()A．4 B．4xC． D．答案：C由函数的图象求平均变化率[例1](链接教科书第174页例1)某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图．(1)试分别求当x从0min变化到20min及x从20min变化到30min体温y相对于时间x的平均变化率；(2)利用(1)的结果说明哪段时间体温变化较快？[解](1)当时间x从0min变到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为eq\f－39,20－0)(℃/min)．当时间x从20min变到30min体温y相对于时间x的平均变化率为eq\f(38,30－20)(℃/min)．(2)由(1)知|－0.05|>|－0.025|，故体温从20min到30min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快．eq\a\vs4\al()由函数图象求函数平均变化率的步骤第一步：求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步：借助图象求函数值的增量Δy＝y2－y1；第三步：求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).[跟踪训练]地高辛是用来治疗心脏病的一种药物，mg，且x天后血液中剩余的剂量为ymg，y与x的局部数据如下表所示：x012345y将y看成x的函数，分别求函数在[0，2]和[3，5]上的平均变化率．解：f(x)在[0，2]上的平均变化率为eq\f,2－0)，f(x)在[3，5]上的平均变化率为eq\f,5－3)＝－0.043.由函数解析式求平均变化率[例2](链接教科书第175页例3)函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)在区间[，]上的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以函数f(x)在区间[，]上的平均变化率为eq\f(f〔0.2〕－f〔0.1〕,0.2－0.1)＝eq\f(3×2＋5－3×2－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(2,0)＋5)＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(2,0)－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(6x0Δx＋3〔Δx〕2,Δx)＝6x0＋3Δx.eq\a\vs4\al()1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1).2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用eq\f(f〔x0＋Δx〕－f〔x0〕,Δx)的形式．[跟踪训练]函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f〔2〕－f〔1〕,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－〔1＋1〕,1)＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f〔5〕－f〔3〕,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因为eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．求物体运动的平均速度[例3]某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sint，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)分别求s(t)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；(2)比拟(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．[解](1)物体在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的平均速度为eq\x\to(v)1＝eq\f(s〔t2〕－s〔t1〕,t2－t1)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－s〔0〕,\f(π,4)－0)＝eq\f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),π).物体在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度为eq\x\to(v)2＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq\f(4－2\r(2),π).(2)由(1)可知eq\x\to(v)1－eq\x\to(v)2＝eq\f(4\r(2)－4,π)>0，所以eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)1.作出函数s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的图象，如下图，可以发现，s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．eq\a\vs4\al()求物体运动的平均速度的主要步骤(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)；(2)再计算时间的改变量t2－t1；(3)得平均速度v＝eq\f(s〔t2〕－s〔t1〕,t2－t1).[跟踪训练]一物体按运动方程s(t)＝eq\f(1,t)运动，那么其从t1＝1到t2＝2的平均速度为()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：选Beq\x\to(v)＝eq\f(s〔2〕－s〔1〕,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).1．某物体的运动方程为s(t)＝1－t2，那么该物体在[1，2]内的平均速度为()A．2 B．3C．－2 D．－3解析：选Deq\x\to(v)＝eq\f(〔1－22〕－〔1－12〕,2－1)＝－3.2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C平均变化率为eq\f(f〔b〕－f〔a〕,b－a)＝eq\f(5〔b－a〕,b－a)＝5.3．物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s＝s(t)．在运动的过程中测得了一些数据，如下表：t/s025101315s/m069203244物体在0s到2s和10