第二十三章 《旋转》复习试题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上第二十三章《旋转》复习试题一．选择题（共10小题）1．下面图案中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（）A．45° B．90° C．135° D．180°3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．65°5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝4，将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（）A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，6） C．（7，4） D．（﹣3，4）6．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（2，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（）A．（1，﹣3） B．（0，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣2，3）7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．58．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，3），C（3，1），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB'C'，则点B'的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）9．如图，P是∠AOB平分线上一点，OP＝10，∠AOB＝120°，在绕点P旋转的过程中始终保持∠MPN＝60°不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①△PMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．110．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO'的面积是6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+，其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共6小题）11．已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a﹣b的值为．12．正五边形绕它的中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为度．13．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝2，AB＝3，∠BAC＝90°，则AE的长是．14．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝5，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是．16．如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE＝2，AE＝7，则CD的长是．三．解答题（共6小题）17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2并写出点C2的坐标．18．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的解题方法．例如将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则可以证明“EF＝BE+DF”，请写出证明过程．19．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC．（1）求证CP＝BQ；（2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求四边形APBQ的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．21．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．22．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．C．3．C．4．C．5．D．6．A．7．A．8．A．9．B．10．C．二．填空题（共6小题）11．4．12．72．13．5．14．．15．．16．5．三．解答题（共6小题）17．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；C2（4，﹣3）．18．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则AG＝AF，BG＝DF，∠BAG＝∠DAF，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三点在同一条直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE+BG＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．19．（1）证明：连接PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB；（2）解：∵PA＝6，PB＝8，PC＝10，∴PA＝6＝PQ，BQ＝PC＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64+36＝100，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．20．（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD．（2）连接DE，由（1）的结论知AE＝BD，∵BD＝5，∴AE＝5，由旋转可知∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵∠ADC＝30°∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，在Rt△ADE中，，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝DE＝421．解：（1）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；（2）∵∠OMN＝30°，∴∠N＝90°﹣30°＝60°，∵∠AOC＝60°，∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，旋转角为90°或270°，∵每秒顺时针旋转10°，∴时间为9或27，直线ON恰好平分锐角∠AOC时，旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°，∵每秒顺时针旋转10°，∴时间为12或30；（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．22．解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90