2023-2024学年黑龙江省九校联盟高二下学期期中联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2黑龙江省九校联盟2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小颗选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，.故选：D.2.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选:C3.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，函数的定义域为，则，令，解得，所以，函数的单调递增区间为.故选：B.4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列，所以，且，所以，则.故选:C.5.设函数，若，则实数m的值为（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以即，解得，所以，由，得.故选：A6.第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）．A.781万元，60万元 B.525万元，200万元C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元〖答案〗C〖解析〗由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，所以这五年投入的资金总额是（万元）．由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，所以这五年的旅游收入总额是（万元）．故选：C．7.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，则，且定义域为，所以可构造函数，则，所以为增函数，则，则，故B正确.故选：B.8.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因为等差数列和等差数列的前项和分别为和，所以，又，所以，因此要为整数，当且仅当是正整数，又，则是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，则的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，所以使得为整数的正整数的个数为8.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，，则单调递增，所以，则在处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．10.已知等比数列前项积为，公比，则（）A. B.C.当时，最小 D.当时，最大〖答案〗BC〖解析〗对于选项A，B：由题意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A错误，B正确.对于选项C，D：因为，，所以数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当时，最小，故C正确，D错误.故选：BC11.已知，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗当时，，.，为增函数,，为减函数,且.其简图如下，设，由图可知当时，方程有三个根，因为方程恰好有6个不同的实数解，所以在上有两个不等的实数根，则，解得.故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象在点处的切线为，则直线的倾斜角为___________．〖答案〗〖解析〗因为，其中，则，则，设直线的倾斜角为，则，所以．故〖答案〗为：.13.记为数列的前项和，为数列的前项积，若，且，则____，当取得最小值时，___.〖答案〗①②6〖解析〗由题意知，因为，所以，故为公比为的等比数列，由得，，解得，所以，则，当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗为：；14.在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则______.〖答案〗348〖解析〗设公差为，由题意得，即，解得，解得或（舍去），故，，则，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗为：348四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且.（1）求的值；（2）求函数的图象在点处的切线方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.16.已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列前项和．解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或．当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以．又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为，（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即17.已知函数在处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求实数t的取值范围．解：（1），因为函数在处取到极值，所以，即，解得．经检验，当，时，在处取到极值，所以，．（2）因为存在，使得成立，所以，由（1）知，，令，得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以．又，所以，所以．所以实数t的取值范围是．18.已知数列的首项且满足．（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，，记，求数列的前n项和．解：（1）由题意，得，所以，又，所以，所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列．（2）由（1），得，所以，由，得，所以，，…，，当时，；当时，，满足上式，所以，，所以，①，②①-②得，所以．19.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数.（1）当时，试求的对称中心.（2）讨论的单调性；（3）当时，有三个不相等实数根，当取得最大值时，求的值.解：（1），，，令，，，故的对称中心为.（2），令，则，，当时，，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减；当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（3），，令，，，所以对称中心为，当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；；，要使得有三个解，故，，且，，是方程的根，由于对称性，为了简化研究，只研究的情况，，根据常数项知：，根据对称性知：，，且，故，即，.当时，取得最大值，此时.黑龙江省九校联盟2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小颗选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，.故选：D.2.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选:C3.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，函数的定义域为，则，令，解得，所以，函数的单调递增区间为.故选：B.4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.16 B.17 C.18 D.20〖答案〗C〖解析〗因为为等比数列，所以，且，所以，则.故选:C.5.设函数，若，则实数m的值为（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以即，解得，所以，由，得.故选：A6.第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）．A.781万元，60万元 B.525万元，200万元C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元〖答案〗C〖解析〗由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，所以这五年投入的资金总额是（万元）．由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，所以这五年的旅游收入总额是（万元）．故选：C．7.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，则，且定义域为，所以可构造函数，则，所以为增函数，则，则，故B正确.故选：B.8.已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因为等差数列和等差数列的前项和分别为和，所以，又，所以，因此要为整数，当且仅当是正整数，又，则是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，则的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，所以使得为整数的正整数的个数为8.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值〖答案〗ABC〖解析〗由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，，则单调递增，所以，则在处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．10.已知等比数列前项积为，公比，则（）A. B.C.当时，最小 D.当时，最大〖答案〗BC〖解析〗对于选项A，B：由题意知，由，得，所以，得，所以，且，所以，故A错误，B正确.对于选项C，D：因为，，所以数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当时，最小，故C正确，D错误.故选：BC11.已知，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗当时，，.，为增函数,，为减函数,且.其简图如下，设，由图可知当时，方程有三个根，因为方程恰好有6个不同的实数解，所以在上有两个不等的实数根，则，解得.故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象在点处的切线为，则直线的倾斜角为___________．〖答案〗〖解析〗因为，其中，则，则，设直线的倾斜角为，则，所以．故〖答案〗为：.13.记为数列的前项和，为数列的前项积，若，且，则____，当取得最小值时，___.〖答案〗①②6〖解析〗由题意知，因为，所以，故为公比为的等比数列，由得，，解得，所以，则，当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，所以或（舍）.故〖答案〗为：；14.在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则______.〖答案〗348〖解析〗设公差为，由题意得，即，解得，解得或（舍去），故，，则，，，，，，，，，，，，故故〖答案〗为：348四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，且.（1）求的值；（2）求函数的图象在点处的切线方程.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.16.已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列前项和．解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或．当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以．又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为，（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即17.已知函数在处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若存在，使得成立，求实数t的取值范围．解：（1），因为函数在处取到极值，所以，即，解