利用导数研究函数的单调性【8类题型】（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学热点专题3-3利用导数研究函数的单调性近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年甲卷(文)，第20(1),5分高考中，利用导数研究函数单调性为重要考点。考生需掌握导数定义、性质及求导方法，通过导数正负判断函数单调区间。此考点强调导数与函数单调性的直接联系，要求考生能准确求解导数并据此分析函数在特定区间的单调性。备考时，应注重基础知识的巩固与解题技巧的提升，通过大量练习增强实际应用能力。（1）函数的单调区间（2）单调性与导数的关系（3）含参函数单调性讨论2024年北京卷，第20(1),5分2023年I卷第第19(1),5分2023年乙卷(文)，第20(2)，7分2023年乙卷（理）第16题，5分2022年新高考II卷，第6题,5分2022年甲卷第12题，5分2021年浙江卷第7题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）【题型2】函数与导函数图像之间的关系【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解）模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为．【答案】【解析】当时，,由，解得，所以在区间上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以在区间上单调递增.函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导后，根据导函数的正负即可得到结果.【详解】由题意得：函数的定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为.已知函数，判断的单调性，并说明理由；【解析】令，在上递增，，，在上单调递增.（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.【解析】因为，定义域为，，令，因为，则，可得在上单调递减，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.【巩固练习1】函数的严格递减区间是.【答案】.【解析】函数的定义域为，，令，则且，即的严格递减区间为.【巩固练习2】函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，解不等式可得.【详解】的定义域为解不等式，可得，故函数的递减区间为.【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为.【答案】【解析】因为时，则，又，则，即，所以，令，即，即，又，则，解得，令，即，即，即，解得，所以在单调递增，又为奇函数，当时，在单调递增，所以的单调增区间为.【巩固练习4】（2024·河北保定·二模）已知函数.若，讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，当时，，所以，设，因为、都在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以时，单调递减；时，单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增.【巩固练习5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，若，求的单调区间.【解析】若，则的定义域为，且，令，解得；令，解得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【巩固练习6】（2024·全国·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性．【解析】当时，可得，其中，则，设，则，令，可得恒成立，所以为上的增函数，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以在上单调递增．【题型2】函数与导函数图像之间的关系原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在端点成立，其余点满足）．导数的绝对值与函数值变化的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，只有选项C符合函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的图象得到的单调区间，即得的取值情况，从而得解.本号资料全部来*源于微信公众号：数#学第六感【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，，当时，，由，得或，解得或，所以不等式的解集为.【巩固练习1】已知函数的导函数的图象如图所示，那么对于函数，下列说法正确的是（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得最大值 D．在处取得极大值【答案】D【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可.【详解】由导函数图像可知，当或时，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，本号资#料全部来源于微*信公众号：数学第六感故选项A，B错误；在处取得极大值，且，故C错误，D正确【巩固练习2】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.【巩固练习3】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设导函数与横轴的交点为，设，本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感由导函数的图象可知：当时，单调递减，排除C,D当时，单调递增，当时，单调递减，由此可以确定选项A符合【巩固练习4】的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象.【巩固练习5】（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的减区间是，B．函数的减区间是，C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点【答案】BC【分析】根据给定的函数图象，确定函数的单调区间及单调性，再逐项判断即得.【详解】观察图象，由，得或，显然当时，，当，，由，得或，显然当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．（23-24高三·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（）本号资#料全部#来源于微信公众号：数学第六感A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立，设，，当时，，所以，则，所以实数a的最小值为.（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.【巩固练习1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．【巩固练习2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.【巩固练习3】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围是．本*号资料全部来#源于微信公众号：数学第六感【答案】【分析】分与两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到答案.【详解】，当时，，令得，令，，在上恒成立，故在上单调递减，又，所以，解得；当时，，令得，令，，在上恒成立，故在上单调递减，其中，故，解得，由于，即在处连续，综上，.【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．若函数在区间单调递增，则的取值范围是；若函数在区间内不单调，则的取值范围是．本号资料全部来源*于微信公众号：数学第六感【答案】【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围．【详解】解：①由，得，由函数在区间单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，．的取值范围是；②函数在区间内不单调，在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由，解得，．而在区间上单调递减，在，上单调递增．的取值范围是．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】或【分析】将问题转化为有极值点，即有变号零点，从而得解.【详解】因为，所以，又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，则成立，当时，可化为，显然不成立；当时，，因为，，所以或，所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，或满足要求.【巩固练习1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围【巩固练习2】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是.【答案】(4，5)【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.【详解】解：函数，，若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，本号**资料全部来源于微信公众号：数学第六感由得，令，，，在递减，在递增，而，，，所以.【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：【巩固练习4】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解.【详解】，令，因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点，当时，，不成立；当时，只需，即，解得或，所以在上不单调的充要条件是或，所以在上不单调的一个充分不必要条件是本#号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感故，故实数的取值范围是.（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以【巩固练习1】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．本号资料全部来源于*微信公众号：*数学第六感【巩固练习2】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.本号资料全部来源于微信公众号：*数学第六感【答案】【解析】，由题意知，在上有实数解，即有实数解，当时，显然满足，当时，只需综上所述【巩固练习3】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解.【详解】由可得：.因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解.设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.所以.【巩固练习4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【答案】【解析】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求出导数的零点；（3）先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调（4）当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性；（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间.【分析】先求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2024·全国·高三专题练习）已知函数.判断函数的单调性.【解析】因为，定义域为，，令，因为，则，可得在上单调递减，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.【巩固练习1】已知函数.讨论函数的单调性；【解析】（1）函数的定义域是，因，①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增；综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增【巩固练习2】已知函数．讨论函数的单调性；【解析】由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.【巩固练习3】（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.讨论的单调性；【解析】因为，易知其定义域为，，当时，在上恒成立，当时，由，得到，所以，当时，，时，，综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的单调增区间为，减区间.【巩固练习4】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数,讨论的单调性；【解析】由题知，令，则，当时，在区间单调递增，当时，令，解得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.【巩固练习5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.讨论的单调性;【解析】，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下：第一步：求的定义域第二步：求出，通分第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间．注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.已知函数.讨论函数的单调性；【解析】（1）因为的定义域为，又，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得（舍去），；当，，在上单调递减；，，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.已知函数，讨论函数的单调性.【分析】（1）对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系。然后根据导数判断函数的单调性；【详解】（1）定义域：，I.时，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减；II.时当时，即时，令，解得或；令，解得；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；当时，即时，恒成立，所以在上单调递增；当时，即时，令，解得或；令，解得；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，则，①当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，②当时，令，解得，令，解得或，在上单调递减，在和上单调递增，③当时，恒成立，在上单调递增，④当时，令，解得，令，解得或，在上单调递减，在和上单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增【巩固练习2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数．(2)讨论的单调性．【解析】（2）的定义域为，且，当时，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，则有：若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；若，则，令，则单调递增；令，则或单调递减；若，则单调递减．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．【巩固练习3】已知函数，讨论函数单调性.【详解】，时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.当时，当或时，在和上单调递增；当时，在上为减函数.当时，上，在上为增函数.当时，当或时，在和为增函数；当时，在上为减函数.综上，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在和上单调递增，在上为减函数；时，在上为增函数；时，在和为增