幂函数与二次函数方程与不等式（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学幂函数与二次函数，方程与不等式近4年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2020年天津卷第3题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.（1）幂函数的定义、图像与性质（2）三个二次之间的关系2020年江苏卷第7题，5分2024年天津卷：第2题，5分2024年上海卷：第3题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】幂函数的定义及图像【题型2】由幂函数的单调性比较大小【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用【题型4】三个“二次”关系的应用本号资料全部来源于微信公众#号：数学第六感【题型5】由一元二次不等式的解集求参数本号资料全部来源*于微信公众号：*数学第六感【题型6】解含参一元二次不等式本号资料全部来源于微*信公众*号：数学第六感【题型7】二次函数的图象、单调性与最值【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）【题型12】一元二次方程根的分布模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】幂函数的定义及图像1.幂函数的解析式幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（

）A． B． C． D．【巩固练习1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知函数为幂函数，则（

）A．0 B． C． D．【题型2】由幂函数的单调性比较大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【巩固练习1】设，则大小关系是.【巩固练习2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【巩固练习3】（2024·河北衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.已知幂函数fx=xmnm,n∈ZA．m=−3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【巩固练习1】已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则.【巩固练习2】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【巩固练习3】（山东菏泽·三模）已知函数fx=x3+a−2xA．−2,4 B．−3,5 C．−52,2【题型4】三个“二次”关系的应用二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为：若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。知识点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式aA．−2,1 B．−∞,−2∪1,+∞ C．−2,1【巩固练习1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【巩固练习2】关于x的不等式的解集为，且，则a=A． B． C． D．【题型5】由一元二次不等式的解集求参数先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为D．【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．的解集为【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【题型6】解含参一元二次不等式对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏解关于的不等式：.解关于x的不等式.【巩固练习1】解不等式【巩固练习2】当时，解关于的不等式.【题型7】二次函数的图象、单调性与最值解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是.【巩固练习1】函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【巩固练习3】若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是.【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法一元二次不等式在R上的恒成立问题与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.方法是通过二次函数的图像来理解.1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0；2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0；3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0.（多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【巩固练习1】若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法本号*资料全部来源于微信公众号：数学#第六感含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题本号资料全*部来源于微信公众号：数学第六感参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,，使得，等价于，，使得，等价于当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是．【巩固练习1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【巩固练习2】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________.【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为．【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是．【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是．【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【巩固练习1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）本*号资料全部来源于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是．本号资料全部来源于微信公众号：数学#第六感【题型12】一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况

）.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0

恒成立）判定△符号.判定对称轴的位置.

总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在上根的分布情况①方程有两个不等的实数根;②方程有两个相等的实数根;③方程没有实数根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有两个不等正根；②方程有两个不等负根③方程有一正根和一负根,设两根为（3）一元二次方程的根的“”分布①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 类型一：类型一：根的“0”分布关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围．【解析】①当时，解得，满足条件；②当时，显然方程没有零根，由，得设方程的两个实数根为若方程有两异号实根，则，解得；若方程有两个负的实根，则，解得．综上，若方程至少有一个负的实根，则．【巩固练习】已知二次方程2m+1x2−2mx+∆=4m2类型二：类型二：两根与k的大小比较已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围.【巩固练习】若关于x