第79讲、圆锥曲线中的圆问题（学生版）

第79讲圆锥曲线中的圆问题知识梳理1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．4、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．必考题型全归纳题型一：蒙日圆问题例1．（2024·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；(2)若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.例3．（2024·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.变式1．（2024秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.变式2．（2024·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；(3)若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于、两点，求证：．变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.（1）求的标准方程；（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,,求证：.变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．(1)求椭圆的方程；(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,①证明：；②求面积的最大值．题型二：内圆与外圆问题例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆及圆，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，求椭圆的离心率．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．(1)求圆与椭圆的方程；(2)若，求直线的方程．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示），当时，弦的长为．（1）求圆和椭圆的方程（2）若点是圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值．变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆过点两个焦点为和.圆O的方程为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过且斜率为的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当成等差数列时，求弦PQ的长.变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和圆（其中圆心为原点），过椭圆上异于上、下顶点的一点引圆的两条切线，切点分别为．(1)求直线的方程；(2)求三角形面积的最大值．变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．（Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；（Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．题型三：直径为圆问题例7．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．例8．（2024秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.例9．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．变式11．（2024秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.(1)求的方程；(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.变式12．（2024秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．(1)求方程；(2)已知点、均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线、分别交椭圆于另一点、，证明直线与直线垂直．变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.变式14．（2024秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最小值为，直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若以为直径的圆恒过点，求证：直线恒过定点，并求此定点的坐标.变式15．（2024秋·重庆·高三统考开学考试）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的方程；(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.变式16．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.

(1)求椭圆的方程；(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，则在轴上一定存在定点，使得以为直径的圆恒过点，试求出点的坐标.题型四：四点共圆问题例10．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.例11．（2024秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．(1)求和的值；(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．(1)求C的方程；(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．(1)求C的方程；(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．(1)求C的方程；(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．变式19．（2024·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心